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一题多解专题六:等差数列前项和的最值问题


一题多解专题六:等差数列前 n 项和的最值问题
求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法 (1)函数法:利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn ? an2 ? bn ,通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法: ①a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?

?an ? 0 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 S m

; a ? 0 n ? 1 ? ?an ? 0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 S m . ?an ?1 ? 0
)

② 当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?

例、等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13, S3 ? S11 ,当 Sn 最大时,n 的值是( (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析: 选 C.方法一: 由 S3 ? S11 得 a4 ? a5 ? ? ? a11 ? 0 , 根据等差数列性质可得 a7 ? a8 ? 0 , 根据首项等于 13 可推知这个数列递减,从而得到 a7 ? 0, a8 ? 0 ,故 n=7 时, Sn 最大. 方法二:由 S3 ? S11 可得 3a1 ? 3d ? 11a1 ? 55d ,把 a1 ? 13 代入得 d ? ?2 ,故

Sn ? 13n ? n(n ?1) ? ?n2 ? 14n ,根据二次函数性质,当 n=7 时, Sn 最大.
方法三: 根据 a1 ? 13 , S3 ? S11 , 知这个数列的公差不等于零.由于 S3 ? S11 说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前 n 项 和是关于 n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,当 S3 ? S11 时,只有

n?
针对性练习:

3 ? 11 ? 7 时, Sn 取得最大值. 2

1.已知在等差数列 {an } 中, a1 ? 31, Sn 是它的前 n 项的和, S10 ? S 22 . ① 求 Sn ; ② 这个数列前多少项的和最大,并求出这个最大值. 解析:① ∵S10 ? a1 ? a2 ? ? a10 , S22 ? a1 ? a2 ? ? a22 ,又 S10 ? S 22 , ∴a11 ? a12 ? ? a22 ? 0 ,则 a11 ? a22 ? 2a1 ? 31d ? 0 ,又 a1 ? 31,? d ? ?2

∴S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? 32 n ? n 2 。 2

② 方法一:由① 中可知 Sn ? 32n ? n2 ? ?(n ?16)2 ? 256, ∴ 当 n=16 时, Sn 有最大值, Sn 的最大值是 256. 方法二:由 an ? Sn ? Sn?1 ,可得 an ? ?2n ? 33 . 由 an ? ?2n ? 33 ? 0 a,得 n ?

33 31 ;由 an?1 ? ?2n ? 31? 0 ,得 n ? n; 2 2

又 n 为正整数,所以当 n=16 时, Sn 有最大值 256. 2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围.(2)求{an}前 n 项和 Sn 最大时 n 的值.
?12a 1 ? 66d ? 0, ? 解析:(1)∵S12>0,S13<0,∴ ?13a 1 ? 78d ? 0, ?a ? 2d ? 12. ? 1

∴-

24 <d<-3. 7

(2)由 S13 ?

13 ? a1 ? a13 ? ? 13a 7 ? 0, 知 a7<0, 2

S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,知 a6>0, 又∵d<0,∴n≤6 时,an>0,n≥7 时,an<0, ∴S6 最大,即 n=6. 3.已知数列{an}是等差数列,且 a2=-1,a5=5. (1)求{an}的通项 an. (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最小值.

?a ? d ? ?1, 解析:(1)设{an}的公差为 d,由已知条件, ? 1 解得 a1=-3,d=2. ?a1 ? 4d ? 5,
所以 an=a1+(n-1)d=2n-5. (2)Sn= na1 ?
n ? n ? 1? 2 d ? n 2 ? 4n ? ? n ? 2 ? ? 4 . 2

所以 n=2 时,Sn 取到最小值-4.


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