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2013年1月厦门市高三质检数学理科阅卷分析

时间:2017-03-12


2013 年 1 月厦门市高三质检 数学理科阅卷分析
第 16 题 题组长 厦门二中 祝国华 一、考查知识、能力及数学思想方法 本题主要考查数列基本概念、数列通项、数列求和以及一元二次不等式解法等基础知识,考查运算求解能力 及推理论证能力. 二 、本题阅卷后得到的部分数据 平均分:9.92 标准差:3.44 难度值:0.83

三、本题各分数点人数分

布情况(考生总数:8531) 各分数点 人数 百分比 0 572 3.9 1 360 2.4 2 291 1.98 3 103 0.7 4 150 1.02 5 70 0.5 6 1130 7.7 7 176 1.2 8 414 2.8 9 379 2.6 10 1403 9.52 11 1111 7.54 12 8575 58.2

从上述数据中可以看出,0 分率约为 3.9%,而满分率约为 58.2%,得分不低于 10 分的人数超过了总人数的 75%. 四、试题评析 本题作为全卷的第一道解答题,难度较低,考查的都是高中数学最为基础与常规的知识,能力要求并不高, 侧重的是对知识的考查,但仍然较好地体现了“注重数学基础” 、 “体现数学本质” 、 “关注数学素养”等课标思想, 较好地考查了考生数学基础知识掌握水平. 五、学生解答中出现的优秀解法 优秀解法:在(Ⅱ)的解答中,构造函数 f (n) ? S n ? an ,分析函数单调性,并示出函数零点,得出结论: 当 1 ? n ? 14 时, S n ? an ,于是得出结论:使 S n ? an 的最小正整数 n ? 15 .这种方法虽说也不是非常简便,但 运算量也不大,并且用函数的观点研究数列,体现了考生灵活运用知识的能力,不失为一种好方法。 其他值得一提的方法: (列举法)有部分考生将 a1 ~ a15 , S1 ~ S15 逐一罗列,再得出结论.我认为,这虽然 是一种正确的方法,但不值得提倡.有部分考生采用了这种罗列的方法,但未全部罗列,中间部分使用少省略号 “?” ,则被视为“利用不完全归纳得出结论” ,导致严重失分. 六、典型错误分析 (1) 数列概念理解不透,表示方法不正确.如出现“ ?an ? ? n ? 7 ”的错误书写; (2) 公式记忆混淆.不少考生将前 n 项和 S n 公式错记为通项 an 的公式; (3) 公式记忆错误.将求前 n 项和 S n 的公式错记为 S n ? na n ? 或错记为 S n ? na1 ?

n( n ? 1) d 2

(n ? 1) d 等; 2

(4) 解题不严谨,列举不全面,以偏概全.在(Ⅱ)的解答中,部分学生采用逐一罗列的方法,但未全部 列举,出现由不完全归纳产生结论的错误;

(5) 知识细节注意不够.如得到 n ? 14 后,回答结论是“最小正整数 n ? 14 ” ; (6) 一元二次不等式与方程混淆. 解一元二次不等式, 莫名其妙的突然转换为方程, 得出 “ n ? 1 或 n ? 14 ” , 之后又突然写为“ n ? 1 或 n ? 14 ” ; (7) 逻辑思维不清.在解答的过程中,发现有些同学虽然结论是正确的,但在解题的过程中出现许多与本 题无关的内容,让阅卷老师看的一头雾水; (8) 运算错误频繁.在解一元二次不等式的过程中,出现了大量的各式各样的错误,导致严重失分; (9) 书写不够规范, 缺乏必要的文字叙述, 条件交待不清, 部分同学甚至将一些关键性步骤计算在草稿上, 在试卷上只是直接写出答案. 七、对今后教学的建议 (1) 加强基础知识教学,力争使学生解答过程中不出现定义记错、公式混淆的现象; (2) 加强基本运算能力训练,切实减少低级运算错误和粗枝大叶造成失分的现象; (3) 加强学生逻辑思维能力的训练,弄清问题的来龙去脉,书写时,逻辑性要强,既杜绝无用的废话,也 要做到因果清晰,不随意跳步. 第 17 题 题组长 湖滨中学 李明 全市平均分:6.38 分 1. 试题能力要求:见参考答案。 2. 得分分析: 0分 1468 人 占 18% 4分 1323 人 占 16.2% 11 分 2487 人 占 30.5% 12 分 523 人 占 6.4%

3.存在的主要问题: (1)对“圆上存在两点关于直线对称”无法理解为“直线过圆心”因此不得分; (2)交于 A、B 两点,没有通过“ ? ”进行检验扣 1 分,因此得 11 分; (3)误将 O 当成圆心得: OA ? OB ? ?r 2 ? ?3, 或 OA ? OB ? OA ? OB ? COS180 ? ?3 ;
0

4.其他特殊解法: (1)向量法:设半径为 R, OA ? OB ? (OC ? CA)(OC ? CB) ? ... ? OC ? R 2 ? ?3 ? R ? 2 …… (2 ) 利用点差法求出 m=1. 第 18 题 题组长 外国语学校 第 19 题 题组长 科技中学 郑英昇 曲道强
2

第 20 题 题组长 双十中学

林敬松

一、考查知识、能力及数学思想方法 本题主要考查函数和不等式等基础知识,考查阅读理解能力及问题解决能力和数学建模能力. 二 、本题阅卷后得到的部分数据 平均分:4.6 难度值:0.33

三、本题各分数点人数分布情况(考生总数:8153)

得分

0分

1分

2分 495

3分 397

4分 429

5分

6分

7分

8分

9分

10 分 11 分 12 分 13 分 14 分 66 489 40 47 0.06 0.005 0.006

人数

3370 915

6040 367

1266 536

1577 273

占比例

0.413 0.112 0.061 0.049 0.053 0.741 0.045 0.155 0.066 0.193 0.033 0.008 四、试题评析

本题作为全卷的倒数第二道解答题,对学生的阅读理解能力和如何准确地建立数学模型解决实际问题有较高 的要求。 五、学生解答中出现的优秀解法 优秀解法:在(Ⅱ)的解答中,构造函数 f (n) ? S n ? an ,分析函数单调性,并示出函数零点,得出结论: 当 1 ? n ? 14 时, S n ? an ,于是得出结论:使 S n ? an 的最小正整数 n ? 15 .这种方法虽说也不是非常简便,但 运算量也不大,并且用函数的观点研究数列,体现了考生灵活运用知识的能力,不失为一种好方法。 其他值得一提的方法: (列举法)有部分考生将 a1 ~ a15 , S1 ~ S15 逐一罗列,再得出结论.我认为,这虽然 是一种正确的方法,但不值得提倡.有部分考生采用了这种罗列的方法,但未全部罗列,中间部分使用少省略号 “?” ,则被视为“利用不完全归纳得出结论” ,导致严重失分. 六、典型错误分析 (10) 对文字量比较大的阅读题心存害怕,不敢下手,直接放空,其实只要多读几遍应该是有能力将第一问 准确地完成; (11) 第一问中有些同学没有详细的过程,直接给出结论; (3)第二问的解答中对问题(若 x1 ? x2 ? 8 ,只需运行多少年,方案二的总费用 就不超 ... 过方案一的总费用 ?)的理解不够准确,大部分同学都按照 5n ? x1 ? x2 不等式恒成 ... 立求出 5n ? 16 ? n ? 3.2 来作答.假如我们将这个作为一个命题进行判断,那么我 们可以举出一个反例: “当 x1 ? 3 或 5 ,即 x1 (8 ? x1 ) ? 15 时,经过 3 年,方案二的 总费用与方案一的总费用相同,就可以满足题意。这就说明 ①满足题意的年数与 x1 , x2 的具体的值是相关的,不同的 x1 , x2 对应不同的 n; ②假如本题中 x1 x2 的取值范围更大一点,比如 [15, 22] ,那么就会有更多的讨论情况; ③由于我们平时研究“不等式恒成立”或“不等式有解”的问题做多了,形成了思维的定势,本题就是有意 特地打破思维的定势,从问题的实际出发,针对不同的情况会有不同的结论; ④比较遗憾的是在评分标准的建立上没有做到再人性化一点,其实给出不等式恒成立可以考虑给一半的分值 可能更好一点. 七、对今后教学的建议 1.从福建省去年的第一大题来看,不论是统计型的概率问题还是常规的应用题,其阅读量都是比较大的,今 后我们要加强阅读理解能力的培养; 2.我们首先要建立“解题的模式化” ,然后再“破除解题的模式化” ,即先模式化,而后去模式化. 第 21 题 题组长 厦门一中 肖文辉 一、本题的考查情况分析 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面角及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法,考查

空间想象能力、计算能力、推理论证能力以及运用代数手段解决几何问题的能力,考查方程、不等式、函数综合 的思想方法..满分 14 分 本题难度系数为 0.21,全市均分为 2.82 分.方差为 2.52;最低 0 分,最高 14 分;
分数 人数 0 3038 1 545 2 1094 3 306 4 2061 5 403 6 202 7 65 8 52 9 92 10 35 11 78 12 28 13 21 14 29

二、优秀解法介绍和点评 第二问: 另解法 1:(不同建系法)以 H 点为原点建立空间直角坐标系.
D E H P

Z
C

? PE ? AC,EF ? AC ,? 二面角 P ? AC ? B 的平面角为 ?PEC ? 60?

? a ? 2b ,? AC ? 3b , ?DEA ? ?CDA ,? DE ? PE ? 6 b
3
? EH ?

A

x

F

y

B

2 6 , b ? EF ,? H 、F 重合, b ? PH ? 2 6
2 2 3 3 3 6 3 6

? 设 D(0, ? 6 b, 0), P(0, 0, 2 b), A( 3 b, ? 6 b, 0), B(? 3 b, 6 b, 0), C (? 2 3 b, ? 6 b, 0) ,
??? ? ? ? ? 3 ? ? ? , ??? 6 2 ? , ??? 6 3 6 2 ? ? DP ? ? b, b? b , b , 0 PB ?? ? 0, ? CB ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 b, 6 b, ? 2 b ? ? 2 2 6 ? ? ? ? ? ?

? ? 令平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , ? ? ?

3 bx ? 3 ? ?? 3 bx ? ? ? 3

6 ?x ? ? 2 by ? 0 ? 3 ? ? y ?1 6 2 ? by ? bz ? 0 ? z? 3 6 2

6 6 ??? ? ? b? b ? DP?n 2 ? 2 ,? DP 与平面 PBC 所成的角为 45 . ? sin ? ? ??? ? ? ? 2 2 DP ? n 2b 2 6

点评:不少同学用此法来求解,关键是要看出并证明 H 、F 重合(还可用相似三角形和射影定理更容易证明 两点重合). 另解法 2: (等积法) 设 P 到平面 DCB 的距离为 d , D 到平面 PCB 的距离为 h ,因此有:
1 1 1 2 2, VP ? DCB ? ?S?DCB ?d ? VD ? PCB ? ?S ?PCB ?h ,易知 S?DCB ? ? 2b ? b= b 3 3 2 2
d ? PH ? PE ? sin 60? ? DE ? sin 60? ? 3 6 2 , ? b? b 2 3 2

又由射影定理,得 DE ? DA?AC ? 1? 2 b ? 6 b ,
AC 3 3

2 又? DH ? DE ? 1 DE ? 6 b ? DF ,? H 、F 重合,? PF ? PH ? b, 2 2 2

? PF ? BCD ? PF ? BC ;又? AB ? BC , AB ? PF ? F ,? BC ? PAB,BC ? PB
1 2 1 b ?b ? PB ? FB2 ? PF 2 ? b , S ?PCB ? b 2 ,? h ? S?DCB ? d ? 2 ? b, 2 1 2 S?PCB 2 b
? 又? DP ? DF 2 ? PF 2 ? ? 6 b ? ? ? 2 b ? ? 2b ,?sin ? ? b ? 2 ,?? ? 45 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2b ? ? ? ?
2 2

点评:有课外钻研的同学会用用此法来求解,避开传统法中要作出线面角的难点, 但关键是要看出并证明 H 、F 重合.

第三问:

1 1 3 3 VP ? ABC ? S?ABC ? PH ,易知 S ?ABC ? ab , PH ? ? PE ? ? DE ; 2 3 2 2
? DE ? DA ? DC ab ? AC a 2 ? b2



?VP? ABC ?

3 a 2b 2 3 ? ? ? 12 a 2 ? b2 12

1 a b ? a 4b 4 a 4b 4
2 2

?

3 ? 12

1 1 1 ? a 2b 4 a 4b 2



? a ? b ? 2 ,? a ? b ? 2 ab ,? ab ? 1 , a3b3 ? 1 ,
? 1 1 1 1 2 ? 4 2 ? 2 2 4 ? 4 2 ? 3 3 ? 2 ,? ab ab ab ab ab
2 4

1 ? 1, ab
3 3

1 1 1 ? 4 2 4 ab ab
2

?

2, 2

?VP ? ABC ?

3 ? 12

1 1 1 ? 4 2 ab ab
2 4

?

3 2 6 ,当且仅当 a ? b ? 1 时取到最值. ? ? 12 2 24

点评:本题其实只要看出 H 、F 重合,后两问均不难,第三问还有多种解法(如:三角换元法;柯西不等式 法等) 三、典型错误分析和点评 主要错误有: 1.总体上讲,学生由于前面题的“磕磕碰碰”与“解题不顺” ,到此以无力(时)再战或“浑浑噩噩”了.再者 对立体几何中的“翻折类型”的问题的强化训练较少(当然也较难) ;并没有掌握好“翻折”问题解决的 两个重要关键点: (ⅰ)翻折前后“变”与“不变”量的关系问题; (ⅱ)翻折前后“空间”与“平面”的转化问题. 2.都知道 EF ? AC ,但不理解 DE ? AC 就是 PE ? AC,也即“翻折”中的“不变”问题, 从而证不出 AC ? 平面 PEF 得 0 分;全市有 3038 人,很可观的数字及说明问题;证出后,对线面垂直的判 定和性质又不会转换及应用. 3.计算能力不足,尤其是平面几何上的计算,导致很多知识点无法展开求解.如:各线段的长度或点的坐标 只要一个求解出错,就做不下去了;不会以 DA 的长度为单位长度建系,简化计算,而是用字母代来代去 容易出错;点的坐标运算错误,法向量计算错误等等. 4.概念不清,如:二面角 60 不会用,可能与现在立几题中的二面角问题,往往只出现在求解或探索题中才 涉及有关,忽视了概念教学导致(不妨试试一个很简单的线面角求解,学生可能只会用向量法来解,根本 不知道什么是线面角). 5.做为压轴题,第二问的关键点 H 、F 重合突破不了. 导致很多问题复杂化. 6.无法列出体积的函数关系式;或列出后对双变量问题,不会转化为单变量或均值不等式求解;应加强立几 中的推理论证能力、计算能力以及几何与代数的综合等能力 四、补救措施和后阶段复习建议 1.重视立体几何基础知识的复习,特别要重视定义、公式的理解与记忆巩固。比如,线线平行、线面平行、 面面平行之间的相互推导,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互推导等等. 2.注意解答过程中逻辑思维及书写的严谨性的训练,做到不缺漏,且有条理. 注意通过课堂的板演、作业的 批改等,养成学生的书写规范及认真细心答题的习惯,减少无谓失分. 3. 空间向量是解决立体几何问题的一个重要工具, 应清楚地理解立体几何的结论与相应的空间向量的结论之 间是什么关系?并且,在用空间向量解决了立体几何问题之后一定要“回到”几何结论.
?

4.重视运算能力的培养与训练,运算准确性与敏捷性是最重要的得分手段。 “多思少算”只是一个理想化的 东西,不能片面去理解,没有运算能力的支撑,一切都将成空,运算本身也包含了思维. 5. 重视应试心理和策略的训练, 引导学生克服畏难情绪, 增强做压轴题的自信心, 注意考试不要模式化训练, 以致思维僵化,如:以为立几就必出在前三题,导函数就一定压轴等等;应选择一些难度适中的问题进行 逐级训练,实质上压轴题第一问均很容易。通过各种有效的针对性训练,使学生增强解决压轴题的信心和 能力,缩小各校间的差距。


2013-2014厦门市高三质检数学(理科)阅卷分析

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