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2012年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模拟试卷1(理科)

时间:2013-03-26


2012 年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模 拟试卷 1(理科)

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2012 年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模 拟试卷 1(理科)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 分)已知集合 P={x|2≤x<4},集合 Q={x|3x﹣7≥8﹣2x},则 P∩Q=( (5 ) A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<4} D.{x|x≥2} 2. 分)复数 2+i (5 A.2+i
2011

=(

) B.﹣1

C.2﹣i

D.3 )

3. 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) (5 ,若 P(ξ>1.3)=p,则 P(﹣1.3<ξ<0)=( A. B.1﹣p C.1﹣2p D.

4. 分)下列命题中正确的个数是( (5 ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ②若直线 l 平行平面 α,则 l 与平面 α 内的任一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. A.3 B.2 C.1

D.0 )

5. 分)已知直线 l1: (5 (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( A.﹣7 B.﹣1 C.﹣1 或﹣7 D.

6. 分) (5 (2011?重庆)若函数 f(x)=x+ A.1+ B.1+

(x>2) ,在 x=a 处取最小值,则 a=( C.3 D.4



7. 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=( (5 ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 8. 分)已知点 P 是椭圆 16x +25y =400 上一点,且在 x 轴上方,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF2 的 (5 斜率为 A. ,则△ PF1F2 的面积是( B. ) C. D.
2 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题全答的,只计 算前一题得分.(一)必做题(9~13 题) (二)选做题(14、15 题) 9. 分)已知向量 (5 共线,则 x= _________ .

10. 分)右面框图表示的程序所输出的结果是 (5 _________ .

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11. 分)二项式 (5

的展开式中的常数项是 _________



12. 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) (5 ,则

= _________ .

13. 分)规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算,即 a*b= (5 值域是 _________ .

+a+b, ,已知 1*k=3,则函数 f(x)=k*x 的

14. 分) (5 (几何证明选讲选做题)已知圆的直径 AB=13cm,C 为圆上一点,CD⊥AB,垂足为 D,且 CD=6cm, 则 AD= _________ cm.

15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为 离是 _________ .

,则点(0,0)到这条直线的距

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16. (14 分)已知 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2 (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值; (2)当 时,已知 ,求 f(α)的值.

17. (14 分)某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有 K 和 D 两个动作.比赛时每位运动员自 选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩.假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独 立的.根据赛前训练的统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表: 表 1:甲系列 动作 K 动作 D 动作 100 80 401﹣ 得分 概率 表 2:乙系列 动作 K 动作 90 得分 概率

D 动作 50

20 0

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www.jyeoo.com 现该运动员最后一个出场,之前其他运动员的最高得分为 115 分 (Ⅰ)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列?说明理由,并求其获得第一名的概率; (Ⅱ)若该运动员选择乙系列,求其成绩 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 18. (14 分)如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中 点,DE⊥面 CBB1. (1)证明:DE∥面 ABC; (2)求四棱锥 C﹣ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比; (3)若 BB1=BC,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.

19. (14 分)等比数列{an} 中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个 数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 3 2 10 第一行 6 4 14 第二行 9 8 18 第三行 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn} 满足 ,记数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn,证明 .

20. (14 分)如图,在 x 轴上方有一段曲线弧 Γ,其端点 A、B 在 x 轴上(但不属于 Γ) ,对 Γ 上任一点 P 及点 F1(﹣ 1,0) 2(1,0) ,F ,满足: .直线 AP,BP 分别交直线 于 R,T 两点.

(1)求曲线弧 Γ 的方程; (2)求|RT|的最小值(用 a 表示) ; (3)曲线 Γ 上是否存点 P,使△ PRT 为正三角形?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

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21. (14 分)已知函数



(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (III)试证明:对?n∈N ,不等式
*

恒成立.

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2012 年广东省深圳市宝安区松岗中学高考数学模 拟试卷 1(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 分)已知集合 P={x|2≤x<4},集合 Q={x|3x﹣7≥8﹣2x},则 P∩Q=( (5 ) A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<4} D.{x|x≥2} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 解一次不等式求出集合 Q,再利用两个集合的交集的定义求出 P∩Q. 解:∵集合 P={x|2≤x<4},集合 Q={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|5x≥15}={x|x≥3}, ∴P∩Q={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|4>x≥3}, 故选 A. 点评: 本题主要考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法,一次不等式的解法,属于基础题.
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2. 分)复数 2+i (5 A.2+i

2011

=(

) B.﹣1

C.2﹣i

D.3

考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的乘方运算,式子中的 2011 次方,用 2011 除以 4,得到余数是 3,所以 i2011=i3=﹣i,再进行 复数的加法运算,得到最简形式即可. 2011 解答: 解:∵复数 z=2+i
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=2+i =2+i =2﹣i, 故选 C. 点评: 本题需要先对所给的复数式子整理,展开运算,得到 a+bi 的形式,这是一个基础题,考查复数的简单的加 减乘运算. 3. 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) (5 ,若 P(ξ>1.3)=p,则 P(﹣1.3<ξ<0)=( A. B.1﹣p C.1﹣2p D. )

4×502+3

3

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,得到正态曲线关于 ξ=0 对称,根据对称轴一侧的数据所占的概率 是 0.5,做出 P(0<ξ<1.3) ,根据对称性做出结果. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) , ∴正态曲线关于 ξ=0 对称, ∵P(ξ>1.3)=p,
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www.jyeoo.com ∴P(0<ξ<1.3)= ﹣p ∴P(﹣1.3<ξ<0)= ﹣p 故选 D. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题解题的关键是看出正态曲线的对称轴,根据对称 性做出结果. 4. 分)下列命题中正确的个数是( (5 ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ②若直线 l 平行平面 α,则 l 与平面 α 内的任一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行; ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. A.3 B.2 C.1

D.0

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据直线与平面之间的位置关系:依次分析命题, ①若直线与平面相交,则除了交点以外的任何一个点都不在平面内,这样的点有无数个; ②若直线 l 平行平面 α,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点,所以 l 与平面 α 内的任一条直线有 两种位置关系:平行、异面; ③此题需注意考虑直线是否有可能在平面内; ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 没有公共点,所以 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点. 解答: 解:①若直线与平面相交,则除了交点以外的无数个点都不在平面内,故①错误; ②若直线 l 平行平面 α,则 l 与平面 α 内的任一条直线有两种位置关系:平行、异面,故②错误; ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面可能平行,也有可能就在面内,故 ③错误; ④用反证法易得:若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点,故④正确. 故选 C. 点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力和思维能力.
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5. 分)已知直线 l1: (5 (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( A.﹣7 B.﹣1 C.﹣1 或﹣7 D.



考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 分析: 直接利用两条直线平行的充要条件,求解即可. 解答: 解:因为两条直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8,l1 与 l2 平行.
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所以

,解得 m=﹣7.

故选:A. 点评: 本题考查直线方程的应用,直线的平行条件的应用,考查计算能力. 6. 分) (5 (2011?重庆)若函数 f(x)=x+ A.1+ 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. B.1+ (x>2) ,在 x=a 处取最小值,则 a=( C.3 D.4 )

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www.jyeoo.com 分析: 把函数解析式整理成基本不等式的形式,求得函数的最小值和此时 x 的取值. 解答: 解:f(x)=x+ =x﹣2+ +2≥4 当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立. ∵x=a 处取最小值, ∴a=3 故选 C 点评: 本题主要考查了基本不等式的应用.考查了分析问题和解决问题的能力. 7. 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=( (5 ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最后根据等比数列的性质 5 求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
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8. 分)已知点 P 是椭圆 16x +25y =400 上一点,且在 x 轴上方,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF2 的 (5 斜率为 A. ,则△ PF1F2 的面积是( B. ) C. D.

2

2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 将椭圆方程化成标准形式,可得它的焦点为 F1(﹣3,0) 2(3,0) ,F .再设点 P(m,n) ,结合题意建立关
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于 m、n 的方程组,解之得 m= ,n=2 解答: 解:椭圆 16x +25y =400 化成标准形式: ∴a =25,b =16,可得 c=
2 2 2 2

,最后用三角形面积公式可算出△ PF1F2 的面积.

=3

所以椭圆的焦点为 F1(﹣3,0) 2(3,0) ,F

设位于椭圆 x 轴上方弧上的点 P(m,n) ,则



解之得 m= ,n=2

(舍负) =6

∴△PF1F2 的面积 S= ×F1F2×2 故选 C

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www.jyeoo.com 点评: 本题已知椭圆上一点与右焦点连线的斜率,求该点与椭圆两个焦点构成三角形的面积,着重考查了椭圆的 标准方程与简单性质、直线与椭圆位置关系等知识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题,两题全答的,只计 算前一题得分.(一)必做题(9~13 题) (二)选做题(14、15 题) 9. 分)已知向量 (5 共线,则 x= ﹣4 .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,由平面向量平行的坐标表示公式,可得 3x=2×(﹣6) ,解可得答案. 解答: 解:根据题意, 、 共线,即 ∥ ,
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则有 3x=2×(﹣6) , 解可得,x=﹣4; 故答案为﹣4. 点评: 本题考查向量平行的坐标表示,已知 =(m1,n1) =(m2,n2) 、 ,则 ∥ ?m1×n2=m2×n1.

10. 分)右面框图表示的程序所输出的结果是 (5 1320 .

考点: 程序框图. 分析: 先判断循环的主体为 s=s×i,然后根据判断框找到终止循环时 i 的值,此时即可求出计算结果 解答: 解:纵观本程序框图,考查输出连乘的结果 通过循环结构发现,为“当型“结构, 循环体可以判断,s 为 1 从 12 开始连乘,每次循环乘数减 1 根据判断框可知乘到 10 为止 ∴s=1×12×11×10 然后执行 i=i﹣1,i 变为 9,不满足 i≥10 的循环条件,跳出循环体 此时输出 s 的值,s=1320 故答案为 1320 点评: 本题考查循环体程序框图输出结果问题,属于计算题,本题为基础题
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11. 分)二项式 (5

的展开式中的常数项是 ﹣252 .

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www.jyeoo.com 考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 由二项式

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的展开式中的通项 Tr+1=

?2

10﹣r

?x

3(10﹣r)

?

?x

﹣3r

, x 的幂指数 令

为 0 即可求得展开式中的常数项. 解答: 解:设二项式 则 Tr+1= =(﹣1) ?
r

的展开式中的通项为 Tr+1,
10﹣r

?2

?x

3(10﹣r)

? ,

?x

﹣3r

?2

10﹣2r

?x

30﹣6r

令 30﹣6r=0,得 r=5. ∴展开式中的常数项为:T6=(﹣1) ?
5

=﹣252.

故答案为:﹣252. 点评: 本题考查二项式定理,考查二项展开式中的通项公式,考查分析运算能力,属于中档题.

12. 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) (5 ,则

=



考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ) ,代入已知条件进行运算.
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解答: 解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ ,

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值. 13. 分)规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算,即 a*b= (5 值域是 (1,+∞) . +a+b, ,已知 1*k=3,则函数 f(x)=k*x 的

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 先根据 1*k= ,求得 ,进而求得 k.把 k 代入 f(x)=k*x 得出 f(x)= 函数 f(x)的定义域.再根据二次函数的单调性求得函数 f(x)的值域. 解答: 解:1*k= ,解得 =1, ∴k=1
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+x+1,进而可求得

∴f(x)=k*x= = +x+1 对于 需 x≥0,又由定义,a,b 是正实数,可得 x>0 ∴对于 f(x)= +x+1>1 故函数 f(x)的值域为(1,+∞) 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题主要考查了函数的值域的问题.属基础题.
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www.jyeoo.com 14. 分) (5 (几何证明选讲选做题)已知圆的直径 AB=13cm,C 为圆上一点,CD⊥AB,垂足为 D,且 CD=6cm, 则 AD= 4 或 9 cm. 考点: 专题: 分析: 解答: 与圆有关的比例线段. 计算题. 根据圆的直径 AB,C 为圆上一点,CD⊥AB,垂足为 D,根据射影定理可求 AD 的长. 解:设 AD=x,则 BD=13﹣x, ∵圆的直径 AB,C 为圆上一点,CD⊥AB,垂足为 D, 2 ∴根据射影定理可得 6 =x(13﹣x) 2 ∴x ﹣13x+36=0 ∴x=4 或 9 故答案为:4 或 9 点评: 本题考查圆的知识,考查射影定理的运用,考查计算能力,属于基础题.
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15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为 离是 .

,则点(0,0)到这条直线的距

考点: 简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式求出点(0,0)到这条直线的距离. 解答: 解: 由于直线的极坐标方程为 , 即 + = , x+y﹣1=0. 即
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∴点(0,0)到这条直线的距离是 故答案为 .

=



点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 16. (14 分)已知 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2 (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值; (2)当 时,已知 ,求 f(α)的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 及相应的 x 值. (2)由已知
2 2

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,由此求得 f(x)的最大值

,求出 sinα 的值,再由同角三角函数的基本关系求出 cosα 的值,代入

f(α)=(sinα+cosα) +2cos α﹣2 运算求得结果. 2 解答: 解: (1)f(x)=1+2sinxcosx+2cos x﹣2(1 分) =1+sin2x+1+cos2x﹣2(3 分)

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www.jyeoo.com =sin2x+cos2x= 所以 f(x)的最大值是 (2)∵ ∴ 又∵ . (10 分) ,∴
2 2

. 分) (5 ,且当 ,即 , 分) (9 时取得 (7 分)

, (11 分)

∴f(α)=(sinα+cosα) +2cos α﹣2(12 分) = = . (14 分) (13 分)

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域和值域,属 于中档题. 17. (14 分)某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列,每个系列都有 K 和 D 两个动作.比赛时每位运动员自 选一个系列完成,两个动作得分之和为该运动员的成绩.假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独 立的.根据赛前训练的统计数据,某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表: 表 1:甲系列 动作 K 动作 D 动作 100 80 401﹣ 得分 概率 表 2:乙系列 动作 K 动作 90 得分 概率 现该运动员最后一个出场,之前其他运动员的最高得分为 115 分 (Ⅰ)若该运动员希望获得该项目的第一名,应选择哪个系列?说明理由,并求其获得第一名的概率; (Ⅱ)若该运动员选择乙系列,求其成绩 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题. 分析: (I)若运动员希望获得该项目的第一名,应选择甲系列,选择甲系列最高得分为 100+40=140>115,可能 获得第一名; 而选择乙系列最高得分为 90+20=110<115,不可能获得第一名,记“该运动员完成 K 动作得 100 分”为事件
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D 动作 50

20 0

A,“该运动员完成 D 动作得 40 分”为事件 B,则 P(A)= ,P(B)= ,记“该运动员获得第一名”为事件 C,根据 P(C)=P(AB)+P( B)从而求出该运动员得第一名的概率; (II)若该运动员选择乙系列,ξ 的可能取值是 50,70,90,110,然后利用相互独立事件的概率乘法公式 求出相应的概率,列出分布列,最后利用数学期望公式解之即可. 解答: 解: (I)若运动员希望获得该项目的第一名,应选择甲系列 理由如下: 选择甲系列最高得分为 100+40=140>115,可能获得第一名;
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50

70

90

110

+70×

+90×

+110×

=104

点评: 本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列,以及相互独立事件的概率乘法公式,同时考查了计算能 力,属于中档题. 18. (14 分)如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中 点,DE⊥面 CBB1. (1)证明:DE∥面 ABC; (2)求四棱锥 C﹣ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比; (3)若 BB1=BC,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角;用空间向量求直线与平面的夹 角. 专题: 数形结合. 分析: (1)先证明四边形 AOED 是平行四边形,即可得到 DE∥OA,从而证得 DE∥面 ABC. (2)由 CA⊥AB,且 AA1⊥CA,可得 CA⊥面 AA1B1B,即 CA 为四棱锥的高,设圆柱高为 h,底半径为 r, 2 则 V 柱=πr h,求出椎体的体积,即可得到四棱锥 C﹣ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比.
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www.jyeoo.com (3)先证 A1O1⊥面 CBB1C1,则∠A1CO1 为 CA1 与面 BB1C 所成的角,在 Rt△ A1O1C 中,由

求得 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值. 解答: 解: (1)证明:连接 EO,OA.∵E,O 分别为 B1C,BC 的中点,∴EO∥BB1. 又 DA∥BB1,且 .∴四边形 AOED 是平行四边形,

即 DE∥OA,DE?面 ABC.∴DE∥面 ABC. (2)由题 DE⊥面 CBB1,且由(1)知 DE∥OA.∴AO⊥面 CBB1,∴AO⊥BC, ∴AC=AB.因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA⊥AB,且 AA1⊥CA, ∴CA⊥面 AA1B1B,即 CA 为四棱锥的高. 设圆柱高为 h,底半径为 r,则 V 柱=πr h, ∴V 锥:V 柱 = .
2



(3)解:作过 C 的母线 CC1,连接 B1C1,则 B1C1 是上底面圆 O1 的直径, 连接 A1O1,得 A1O1∥AO,又 AO⊥面 CBB1C1, ∴A1O1⊥面 CBB1C1,连接 CO1, 则∠A1CO1 为 CA1 与面 BB1C 所成的角, 设 BB1=BC=2,则 A1O1=1. (12 分) 在 Rt△ A1O1C 中, . ,

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点评: 本题考查证明线面平行的方法,求棱锥的体积和直线与平面成的角,找出∠A1CO1 为 CA1 与面 BB1C 所成 的角,是解题的难点. 19. (14 分)等比数列{an} 中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个 数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 3 2 10 第一行 6 4 14 第二行 9 8 18 第三行 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn} 满足 ,记数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn,证明 .

考点: 数列的求和;归纳推理. 专题: 计算题. 分析: (I)当 a1=3 时,不合题意;当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意;当 a1=10 时,不合题意.因 此 a1=2,a2=6,a3=18,由此能求出数列{an} 的通项公式.
762128

(II)因为

,所以

,由此利用裂项求和法能够证明



解答: 解: (I)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意.…(4 分) (只要找出正确的一组就给 3 分) 因此 a1=2,a2=6,a3=18, 所以公比 q=3,…(4 分) 故 (II)因为 .…(6 分) ,

所以

…(9 分)

所以 Sn=b1+b2+b3+…+bn…(10 分)

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www.jyeoo.com = = = 故 .…(14 分) , …(12 分)

点评: 本题考查数列的通项公式和数列前 n 项和的求法,考查不等式的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注 意裂项求和法的合理运用. 20. (14 分)如图,在 x 轴上方有一段曲线弧 Γ,其端点 A、B 在 x 轴上(但不属于 Γ) ,对 Γ 上任一点 P 及点 F1(﹣ 1,0) 2(1,0) ,F ,满足: .直线 AP,BP 分别交直线 于 R,T 两点.

(1)求曲线弧 Γ 的方程; (2)求|RT|的最小值(用 a 表示) ; (3)曲线 Γ 上是否存点 P,使△ PRT 为正三角形?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的定义;圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: (1)由椭圆的定义和简单性质求得 Γ 的方程.

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(2) 设出 P,R,T 的坐标,由 A,P,R 三点共线,得

①,由 B,P,T 三点共线得:

②,变形得即

.利用基本不等式求出|RT|的最小值.

(3) P 0, 0) 线 AP, 的斜率存在, 设 (x y , BP 分别设为 k1、 2 , k 由正三角形的性质得



而由椭圆的方程知

,矛盾,故不存在点 P,使△ PRT 为正三角形.

解答: 解: (1)由椭圆的定义,曲线 Γ 是以 F1(﹣1,0) 2(1,0)为焦点的半椭圆, ,F ,∴Γ 的方程为 .

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www.jyeoo.com (2)解:设 P(m,n) ,R(a,y1) ,T(a,y2) ,则由 A,P,R 三点共线,得 ①,

同理,由 B,P,T 三点共线得:

②,由①×②得:





,代入上式,





. ,

当且仅当|y1|=|y2|,即 y1=﹣y2 时,取等号. 即|RT|的最小值是 .

(3)设 P(x0,y0) ,依题设,直线 l∥y 轴,若△ PRT 为正三角形,则必有∠PAB=180°﹣∠PBx=30°, 从而直线 AP,BP 的斜率存在,分别设为 k1、k2,由 ; ,

于是有

,而由椭圆的方程知

,矛盾.

∴不存在点 P,使△ PRT 为正三角形. (14 分) 点评: 本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,正确进行式子的运算是本题的难点.

21. (14 分)已知函数



(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值; (Ⅱ)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (III)试证明:对?n∈N ,不等式
*

恒成立.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ)由函数 ,得 f′(x) ,令 f′(x)=0,得此方程的解;从而求得函数 f(x)的最大
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值. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 故①当 0<2m≤1,即 时,f(x)在[m,2m]上单调递增,最大值是 f(2m) ;

②当 m≥1 时,f(x)在[m,2m]上单调递减,最大值是 f(m) ; ③当 m<1<2m,即 时,最大值是 f(1) . ,

(Ⅲ) (Ⅰ) 由 知, (0, x∈ +∞) 时,(x) =f f =﹣1, 即在 (0, +∞) 上, 恒有 max (1)

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www.jyeoo.com 当且仅当 x=1 时“=”成立,即是恒有 lnx≤x(x﹣1) ;由于 即证. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 是此方程的解; 令 g(x)=x +lnx﹣1,其中 x∈(0,+∞) ,则
2

,∴



,∴

,令 f′(x)=0,得 x =1﹣lnx,显然 x=1

2



∴函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,又 x=1 是方程 f′(x)=0 的唯一解, ∴当 x=1 时,函数有最大值 f(x)max=f(1)=﹣1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 故①当 0<2m≤1,即 时,f(x)在[m,2m]上单调递增, ; ;

②当 m≥1 时,f(x)在[m,2m]上单调递减, ③当 m<1<2m,即 时,f(x)max=f(1)=﹣1.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(1)=﹣1, ∴在(0,+∞)上恒有 ∴对任意的 x∈(0,+∞)恒有 lnx≤x(x﹣1) ; ∵ ,∴
*

,当且仅当 x=1 时“=”成立,

, 恒成立.

即对?n∈N ,不等式

点评: 本题综合考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性求得函数的最值问题,也考查了利用 函数证明不等式恒成立的问题,属于较难的题目.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;涨停;danbo7801;742048;minqi5;wfy814;wubh2011;ccxiking;zhwsd; 俞文刚;zlzhan;若尘;庞会丽;lily2011;lcb001(排名不分先后)
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