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2[1].2.1-3《换底公式及对数运算的应用》.ppt1


2.2.1 第三课时

对数与对数运算 换底公式及对数运算的应用

问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质? loga M ? loga N ? loga (M ? N ) (1 )
M log a M ? log a N ? log a (2 ) N

loga M ? n loga M (3 )


n
.

2.对数运算有哪三个常用结论? (1)loga a ? 1; (2) log a 1 ? 0 ; log N (3 ) a ? N.
a

3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算,可以进行乘、除运算吗?
18 18 4.由 1.01 ? 得 x ? log1.01 ,但这只 13 13
x

是一种表示,如何求得x的值?

知识探究(一):对数的换底公式

log2 5 ? x log2 3 ? log2 3 ,从而有 3 ? 5 . 进一步可得到什么结论?
x

log 2 5 ? x ,则 思考1:假设 log 2 3

x

log2 5 x ? log3 5,即 ? log3 5 log2 3

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗? lg 3 能 . log2 3 ? lg 2

思考3:一般地,如果a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;b>0,那么 与哪个 对数相等?如何证明这个结论?
logc b 结论 : ? loga b logc a
logc b 证明 :令 ? x ? logc b ? x logc a logc a
logc b ? ? loga b logc a

log c b log c a

? logc b ? logc a x ? b ? a x ? x ? loga b

log c b 思考4:我们把 log a b ? log c a

(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 叫做对数换底公式,该公式有什么特征?

一个对数可以用同底数 的两个对数的商来表示

思考5:通过查表可得任何一个正数的常用

18 对数,利用换底公式如何求log1.01 的值? 13 18 lg 18 lg 18 ? lg 13 13 log1.01 ? ? 13 lg 1.01 lg 1.01

思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用? 可以利用以10为底的对数的 值来求任何对数值

知识探究(二):换底公式的变式

思考1:loga b 与 logb a 有什么关系? 互为倒数 思考2: logan N 与 log a N 有什么关系?
log a n 1 N ? log a N n

思考3: (loga M ) ? (loga N ) 可变形为什么?

logN M

例1 计算:

(1) log8 9 ? log27 32 ;
lg 9 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 解 : 原式 ? ? ? ? lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 10 ? 9

(2).(log2 125? log4 25 ? log8 5) ? (log5 2 ? log25 4 ? log125 8)
lg125 lg 25 lg 5 解 : 原式 ? ( ? ? )? lg 2 lg 4 lg 8 lg 2 lg 4 lg 8 ( ? ? ) lg 5 lg 25 lg125

3 lg 5 2 lg 5 lg 5 lg 2 2 lg 2 3 lg 2 ?( ? ? )?( ? ? ) lg 2 2 lg 2 3 lg 2 lg 5 2 lg 5 3 lg 5
13lg 5 3 lg 2 ? ? ? 13 3 lg 2 lg 5

例2 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常 说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA- lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是 “标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20, 此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地 震的震级(精确到0.1);

解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001
20 4 ? lg ? lg 20000? lg 2 ? lg10 0.001 ? 4.3.

因此,这是一次约为里氏4.3 级的地震.

例2 20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准 地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差). (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍(精确到1).

解:(2)

由M ? lg A ? lg A0可得
A A M ? lg ? ? 10M ? A ? A0 ?10M . A0 A0

当M=7.6时,地震的最大振幅为 A1 ? A0 ?10

7.6

当M=5时,地震的最大振幅为 A2 ? A0 ?10
所以,两次地震的最大振幅之比是
A1 A0 ?10 7.6?5 2.5 ? ? 10 ? 10 ? 398. 5 A2 A0 ?10
7.6

5

答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅的398倍.

例3 生物机体内碳14的“半衰期”为 5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出 土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆古墓的年代. 解答过程见教科书P67页.

作业: P68 练习:4. P74 习题2.2A组: 6,11,12.


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