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函数单调性试讲稿


课题:函数的单单调性

一、教学目标 知识与技能目标 1、通过对一些函数图像的了解、观察、分析,逐步得出函数单调性的概 念。 2、能够掌握定义并熟练的应用定义来判断和证明函数的单调性。 过程与方法目标 通过学生运用数形结合的思想, 对单调函数进行研究, 培养学生运用 数学语言的概 括能力, 通过对函数单调性的证明, 提高学生的推理论 证能力。 情感态度与价值观

目标 函数来源于生活,描述事物运动和变化规律的数学模型,让学生探 究、思考、发现问题,激发学生对学习数学的乐趣。 二、教学重、难点 重点:理解函数单调性的概念和判断函数单调性的方法 难点:证明和判断函数单调性 三教学模式 探究式 四教学准备 教材、直尺、粉笔 五教学过程 1. 首先,简单的回顾函数的概念及表示方法。 如图是我市某一天 24 小时内的气温变化图,请同学们观察这张气温变 化图:

让同学们在观察后讨论,从图中能够反映出我们生活中的什么规律,随 着时间的变化气温是怎样变化的,结合我们的生活,我们有没有发现类似的 图像呢? 根据同学们的回答老师做出一个总结,让学生看图说明其变化趋势,把数学

与生活实际联系起来, 回忆生活中还有更多像这类函数图像,比如股票的起 跌、双色球彩票的走势等等。再让同学们画出两个函数图像: f(x)=x、
f (x) ? x
2

,让他们观察随着 x 的变化,f(x)是怎样变化的?

2 新课讲解 我们可以根据前一节课所学画图像的方法,可以简单作图为:
(1) f ( x ) ? x
(2) f ( x) ? x
2

观察函数 y=x 和 y=x^2 的图象,得出这两个图象的定义域是 R,函数 y=x 的图 象从左至右是上升的, 函数 y=x^2 的图象在 y 轴左侧是下降的,而在 y 轴右侧 是上升的,由引入的图象和这两个函数的图象得出:函数图象的“上升”或者 是“下降”反映了函数的一个性质,那是什么性质呢?这个性质就是我们讨论 的重点——函数的单调性。
2 以 f ( x ) ? x 我们可以列出一列数据为:

x f(x)

? ?

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

? ?

从表格中我们可以看出,在 y 轴的右侧 x 是增大的,f(x)也是增大的。可 能有同学就会有疑问, 因为我们取得是一些特殊值, 那么在 x 轴上随便取会怎 样呢?所以我们应该在 x 轴上随便取 x1、x2 ,那么在 y 轴就有相应的
f ( x1 ) ? x1 2



f ( x2 ) ? x2 2

;如果 x1<x2,有

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

。然后和同学一起用

数学语言概括出增函数的定义, 再让同学们根据增函数的定义和函数图像概括 出减函数的概念。 一般地,设函数 f(x)在定义域为 I。 若对定义域 I 内某个区间 D 的任意自变量 x1、2 ,当 x1<x2 时,f ( x1 ) ? x 则称 f(x)在区间 D 上是增函数。
f ( x2 )

,

若对定义域内某个区间 D 的任意自变量 x1、2 ,当 x1<x2 时,f ( x1 ) ? x 则称 f(x)在区间 D 上是减函数。 再观察下面的图像我们也可以得出单调函数和单调区间的概念。

f ( x2 )

,

如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说出函数具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y= f(x)单调区间。 定义分析:(1)x1、x2 的取值是在同一个区间上,(2)x1、x2 有任意性, (3)x1、x2 有大小。 例 1、如图是定义在闭区间[-10,10]上的函数 y=f(x)的图像,根据图像说出 函数的单调区间,以及每一单调区间上函数是增函数还是减函数。

解: 函数 y=f(x)的单调区间有[-10,-4),[-4,-1),[-1, 2),[2,8),[8,10]. 其中 y=f(x)在区间[-10, -4),[-1,2),[8,10]上是减函数; 在区间[-4,-1),[2,8]上是增函数. 注意: (1)在书写时区间与区间之间用逗号隔开,不能用集合中的“∪”连接. (2)因为孤立的点没有单调性,所以区间端点处若有定义写开写闭均

可。 例 2.物理学中的玻意耳定律 (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,

当体积 V 减小时,压强 P 增大,试用单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数证明 p ?
k V

在区间 ( 0 , ?? ) 上是增函数即可。 且

证明:根据单调性的定义,设 V 1 , V 2 是定义域上 ( 0 , ?? ) 的任意两个实数,
V1 <V 2

,则
k V1 ? k V2 ? k V 2 ? V1 V 1V 2

p (V 1 ) ? p (V 2 ) ?

V 1 , V 2 ? ( 0 , ?? ) ,得 V 1V 2 ? 0 ,

由 V 1 < V 2 ,得 V 1 - V 2 >0. 又 k ? 0 ,于是 p (V 1 ) ? p (V 2 ) ? 0 即 p (V1 ) ? p (V 2 ) 所以, p ?
k V

表示的函数 p ? p (V ) ,V

? ( 0 , ?? ) 是减函数,也就是说,当体

积 V 减小时,压力 p 将增大。 3.课堂练习:证明函数 f(x)=-2x+3 在 R 上是减函数 证明:设 x1、x2 是 R 上任意两个值,且 x1 ? x 2 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( ? 2 x1 ? 3) ? ( ? 2 x 2 ? 3) ? ? 2( x1 ? x1 ) ∵ ∴
x1 ? x 2 ,

? x1 ? x 2 ? 0, ? ? 2( x1 ? x 2 ) ? 0 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,



f ( x1 ) ? f ( x 2 )



∴ 函数 f(x)=-2x+3 在 R 上是递减。 注:通过两个例题以及一个练习,让同学们观察、思考、归纳总结出判断函数 单调性的方法,并让同学们思考是否还有其他方法? 4.课堂小结:增(减)函数的定义; 判断函数的单调性的方法。

5.作业布置:教材 39 页,习题 A 组第二题、B 组第一题。 6.板书设计:

课题 增(减)函数定义 单调函数、区间定义 例1 例2

课堂练习 小结 作业


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