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《金版新学案》新课标人教A版必修1教学课件:1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值


第2课时

函数的最大值、最小值

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.

1.利用函数单调性求函 数最值.(重点) 2.体会数形结合思想的 运用.(难点)

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必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.从函数f(x)=x2的图象上还可看出,当x=0 最小值 时,y=0是所有函数值中_______.而对于f(x) =-x2来说,x=0时,y=0是所有函数值中 最大值 _______.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2.二次函数的最值 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线, 4ac-b2 当 a>0 时,ymin= , 4a 4ac-b2 当 a<0 时,ymax= . 4a

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.函数的最大值、最小值 最值 最大值 最小值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意的x∈I, (1)对任意x∈I,都 条件 f(x)≤M f(x)≥M 都有________. 有_______. (2)存在x0∈I,使 (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M f(x0)=M ________. ________ M是函数y=f(x)的最 M是函数y=f(x)的 结论 大值 最小值
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

1.函数 f(x)(-2≤x≤2) 的图象如图所示,则函数 的最大值、最小值分别为 ( ) A.f(2),f(-2) 1 3 C.f( ),f(- ) 2 2
答案: C
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

1 B.f( ),f(-1) 2 1 D.f( ),f(0) 2

?2x+6 2. 函数 f(x)=? ?x+7

x∈[1,2] , f(x) 则 x∈[-1,1] 的最大值、最小值为( ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

解析: 本题为分段函数最值问题,其最大值 为各段上最大值中的最大值,最小值为各段上 最小值中的最小值. 当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10, 当-1≤x≤1时,6≤x+7≤8. ∴f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10. 答案: A

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

3.函数y=x2-4x+5,x∈[0,3]的最大值为 ________. 解析: ∵y=(x-2)2+1,x∈[0,3], ∴原函数在[0,2]上为减函数,在[2,2]上为增函 数. ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者,而f(0)=5, f(3)=2, ∴最大值为5. 答案: 5

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2 4.求函数 y= 在区间[2,6]上的最大值和最 x-1 小值.
解析:

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1 <x2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - x1-1 x2-1 2?x2-1?-2?x1-1? = ?x1-1??x2-1? 2?x2-x1? = . ?x1-1??x2-1? 由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1) >0,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2 所以, 函数 y= 是区间[2,6]上的减函数. 如 x-1 上图. 2 因此, 函数 y= 在区间[2,6]的两个端点上分 x-1 别取得最大值与最小值, 即在 x=2 时取得最大 值,最大值是 2,在 x=6 时取得最小值,最小 值是 0.4.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

图象法求函数的最值 如图为函数 y=f(x),x∈[-3,8]的图象, 指出它的最大值、最小值及单调区间.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

由题目可获取以下主要信息: ①所给函数解析式未知; ②函数图象已知. 解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意 义求解.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[解题过程] 观察函数图象可以知道,图象上 位置最高的点是(2,3),最低的点是(-1,-3), 所以函数y=f(x)当x=2时,取得最大值,最大 值是3,当x=-1.5时,取得最小值,最小值 是-3.函数的单调增区间为[-1,2],[5,7]. 单调减区间为[-3,-1],[2,5],[7,8].

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[题后感悟] 利用函数图象求最值是求函数最 值的常用方法.这种方法以函数最值的几何意 义为依据,对较为简单的且图象易作出的函数 求最值较常用.图象法求最值的一般步骤是:

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.试求函数 y=|x-2|+ ?x+1?2的最 值.
解析: 原函数变为 y=|x-2| +|x+1|=
?-2x+1 ? ?3 ? ?2x-1

?x≤-1? ?-1<x≤2? ?x>2?

其图象如下图所示,显然函数值 y≥3,所以函 数有最小值 3,无最大值.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大 x-1 值与最小值.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 则 f(x1)= ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? ∵2≤x1<x2≤5, ∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0, ∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. x-1 2 ∴f(x)max=f(2)= =2, 2-1 5 5 f(x)min=f(5)= = . 5-1 4 [解题过程]
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

[题后感悟] (1)如何根据单调性求函数值域或 最值? ①求函数的定义域; ②证明函数在相应区间上的单调性; ③求出函数在定义域上的最值; ④写出值域. [注意] 务必首先求出定义域. (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a ,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b); 若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a ,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

a 2.已知函数 f(x)= (x∈[2,6])的 x-1 最大值为 2,求 a 的值.

解析: 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性: 设 x1,x2∈[2,6],且 x1<x2,则 a a f(x1)-f(x2)= - x1-1 x2-1 a?x2-x1? = . ?x1-1??x2-1? ∵2≤x1<x2≤6, ∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

(1)当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[2,6]上为减函数. a 此时 f(x)max=f(2)= =2,∴a=2. 2-1 (2)当 a<0 时,f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[2,6]上为增函数, a 此时 f(x)max=f(6)= =2, 6-1 ∴a=10,与 a<0 矛盾,舍去. (3)当 a=0 时,f(x1)=f(x2), f(x)为常函数,此时 f(x)=0,与已知矛盾. 综上所述,a=2.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

二次函数的最大?小?值 求函数 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上 的最大值 g(a)和最小值 φ(a).
[策略点睛]

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[题后感悟] (1)如何求二次函数在闭区间[m, n]上的最值? ①确定二次函数的对称轴,如 x=a; m+n m+n ②根据 a<m, m≤a< , ≤a<n, a≥n 2 2 这 4 种情况进行分类讨论; ③结合图象明确函数的单调区间进而求解. (2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的 端点处及二次函数图象对称轴处取得.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

3.已知二次函数 f(x)=x2-2x+3, (1)当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的最值; (2)当 x∈[-2,3)时,求 f(x)的最值; (3)当 x∈[t,t+1]时,求 f(x)的最小值 g(t).
解析: ∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其对 称轴为x=1,开口向上. (1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上是单调递减 的, 故当x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11; 当x=0时,f(x)有最小值f(0)=3.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

(2)当x∈[-2,3)时,f(x)在[-2,3)上是先减后增 的, 故当x=1时,f(x)有最小值f(1)=2, 又|-2-1|>|3-1|, ∴f(x)的最大值为f(-2)=11. (3)①当t>1时, f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以当x=t时, f(x)取得最小值, 此时g(t)=f(t)=t2-2t+3.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

②当 t≤1≤t+1, 即 0≤t≤1 时, f(x)在区间[t,t+1]上先减再增, 故当 x=1 时,f(x)取得最小值, 此时 g(t)=f(1)=2. ③当 t+1<1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上单 调递减, 所以当 x=t+1 时,f(x)取得最小值, 2 此时 g(t)=f(t+1)=t +2,
?t2-2t+3 ? 综上得 g(t)=?2 ?2 ?t +2
必修1 第一章

?t>1? ?0≤t≤1? ?t<0?

.

集合与函数的概念

栏目导引

二次函数最值的应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元, 已知总收益满足函数: ? 1 2 ?400x- x ?0≤x≤400? 2 R(x)=? , ? ?80 000 ?x>400? 其中 x 是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最 大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
必修1 第一章 集合与函数的概念

栏目导引

先将利润表示成x的函数,再利用函数的单调性 求最值.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[解题过程] (1)设月产量为 x 台 则总成本为(20 000+100x)元, 从而 f(x)= ? 1 2 ?- x +300x-20 000 ?0≤x≤400? 2 ? , ? ?60 000-100x ?x>400?

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1 (2)当 0≤x≤400 时, f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 当 x=300 时,f(x)max=25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润 为 25 000 元.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[题后感悟] (1)实际问题.要理解题意,建立 数学模型转化成数学问题解决. (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

4.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当 每辆车的月租金为 3 000 元时, 可全部租出. 当 每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将 会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,能租出多 少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的 月收益最大?最大月收益是多少?

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

解析:

(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时, 3 600-3 000 未租出的车辆数为 =12.所以这时 50 租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金为 x 元,则租赁公司的月 收益为 x-3 000 x-3 000 f(x)=(100- )(x-150)- ×50, 50 50

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

整理得 x2 1 f(x)=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+ 50 50 307 050. 所以,当 x=4 050 时,f(x)最大,最大值为 f(4 050)=307 050.即当每辆车的月租金为 4 050 元 时, 租赁公司的月收益最大. 最大月收益为 307 050 元.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.准确理解函数最大值的概念 (1)定义中M首先是一个函数值,它是值域的一 个元素,如函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0, 有f(0)=0,注意对②中“存在”一词的理解. (2)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“ 任意”是说对每一个值都必须满足不等式.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

(3)这两条缺一不可,若只有①,M 不一定是最 大值,如 f(x)=-x2(x∈R),对任意 x∈R,都 有 f(x)≤1 成立,但 1 不是最大值,否则大于零 的任意实数都是最大值了.最大值的核心就是 不等式 f(x)≤M 成立,即①一定成立,所以不 能只有②. 2.函数的最值与值域、单调性之间的关系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不 1 一定有最值,如函数 y=x.如果有最值,则最值 一定是值域中的一个元素.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x) 在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b); ②若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x) 在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

◎求函数y=x2-2x-1在[2,4)上的最值、值 域. 【错解】 y=x2-2x =(x-1)2-2, ∴对称轴为x=1, ∴ymin=-2,ymax=8, 值域为y∈[-2,8]. 【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴 与区间[2,4)的位置关系,以及区间的端点.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

【正解】 y=(x-1)2-2,对称轴为x=1. ∴函数在[2,4)上是增函数, ∴当x=2时,ymin=-1,无最大值, ∴值域为y∈[-1,8).

必修1 第一章

集合与函数的概念

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练规范、练技能、练速度


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