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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 大题专项练4 高考中的立体几何 文 北师大版


高考大题专项练 4
1.

高考中的立体几何
高考大题专项练第 8 页

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD=,三棱锥 P-ABD 的体积 V=,求 A 到平面 PBC 的距离.

/>(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO? 平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)解:V=PA·AB·AD=AB,由 V=,可得 AB=. 作 AH⊥PB 交 PB 于 H, 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH. 故 AH⊥平面 PBC. 又 AH=, 所以 A 到平面 PBC 的距离为.?导学号 32470876? 2.

如图,四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ABC=60°的菱 形,M 为 PC 的中点. (1)求证:PC⊥AD; (2)证明在 PB 上存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面; (3)求点 D 到平面 PAM 的距离. (1)证明:

(方法一)取 AD 中点 O,连接 OP,OC,AC,依题意,可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 所以 OC⊥AD,OP⊥AD, 又 OC∩OP=O,OC? 平面 POC,OP? 平面 POC, 所以 AD⊥平面 POC,又 PC? 平面 POC, 所以 PC⊥AD. (方法二)连接 AC,依题意,可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM⊥PC,DM⊥PC, 又 AM∩DM=M,AM? 平面 AMD,DM? 平面 AMD, 1

所以 PC⊥平面 AMD, 又 AD? 平面 AMD,所以 PC⊥AD. (2)证明:当点 Q 为棱 PB 的中点时,A,Q,M,D 四点共面,证明如下: 取棱 PB 的中点 Q,连接 QM,QA,又 M 为 PC 的中点,所以 QM∥BC, 在菱形 ABCD 中,AD∥BC,所以 QM∥AD,所以 A,Q,M,D 四点共面. (3)解:点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离. 由(1)可知 PO⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, PO? 平面 PAD,所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P-ACD 的高. 在 Rt△POC 中,PO=OC=,PC=, 在△PAC 中,PA=AC=2,PC=,边 PC 上的高 AM=, 所以△PAC 的面积 S△PAC=PC·AM=, 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h, 由 VD-PAC=VP-ACD,得 S△PAC·h=S△ACD·PO, 2 又 S△ACD=×2 =,所以·h=,解得 h=, 所以点 D 到平面 PAM 的距离为.?导学号 32470877? 3.

如图所示,△ABC 为正三角形,CE⊥平面 ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点. 求证:(1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA. 证明:(1)取 CE 的中点 F,连接 DF.∵CE⊥平面 ABC,∴CE⊥BC. ∵BD∥CE,BD=CE=CF=FE,∴四边形 FCBD 是矩形, ∴DF⊥EC. 又 BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.

(2)取 AC 中点 N,连接 MN,NB, ∵M 是 EA 的中点,∴MNCE. 由 BDCE,且 BD⊥平面 ABC,可得四边形 MNBD 是矩形, 于是 DM⊥MN. ∵DE=DA,M 是 EA 的中点, ∴DM⊥EA.又 EA∩MN=M, ∴DM⊥平面 ECA,而 DM? 平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ECA.?导学号 32470878? 4.

如图所示,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: 2

(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明:

(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点, 所以 EF∥AB.因为 EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC.同理 EG∥平面 ABC. 又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF? 平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC.因为 BC? 平面 SBC, 所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB? 平面 SAB, 所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA? 平面 SAB,所以 BC⊥SA.?导学号 32470879? 5.

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,且 PA⊥底面 ABCD,BD⊥PC,E 是 PA 的中点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 EBD; (2)若 PA=AB=AC=2,求三棱锥 P-EBD 的体积. (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD, 又 BD⊥PC,PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC, ∵BD? 平面 EBD,∴平面 PAC⊥平面 EBD. (2)解:由(1)可知 BD⊥AC,∴四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=120°,

∴S△ABD=BD·OA=×2×1=. ∴VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=×2-×1=.?导学号 32470880?
6.

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中 点,AB=1,PA=2. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)求三棱锥 E-PAC 的体积. (1)证明:

3

取 AD 中点 F,连接 EF,CF, ∴在△PAD 中,EF 是中位线,可得 EF∥PA. ∵EF?平面 PAB,PA? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. ∵Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60°, ∴AC==2. 又∵Rt△ACD 中,∠CAD=60°, ∴AD=4,结合 F 为 AD 的中点,得△ACF 是等边三角形, ∴∠ACF=∠BAC=60°, 可得 CF∥AB. ∵CF?平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴CF∥平面 PAB. ∵EF,CF 是平面 CEF 内的相交直线, ∴平面 CEF∥平面 PAB. ∵CE? 平面 CEF,∴CE∥平面 PAB. (2)解:∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴PA⊥CD. 又∵AC⊥CD,PA,AC 是平面 PAC 内的相交直线, ∴CD⊥平面 PAC. ∵CD? 平面 DPC, ∴平面 DPC⊥平面 PAC. 过 E 点作 EH⊥PC 于 H,由面面垂直的性质定理, 得 EH⊥平面 PAC,∴EH∥CD. 在 Rt△ACD 中,AC=2,AD=4,∠ACD=90°, ∴CD==2. ∵E 是 PD 的中点,EH∥CD,

∴EH=CD=. ∵PA⊥AC,∴S△PAC=×2×2=2. 因此,三棱锥 E-PAC 的体积 V=S△PAC×EH=.?导学号 32470881? 7.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上. (1)当 AE∶EA1=1∶2 时,求证:DE⊥BC1. (2)是否存在点 E,使三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1 体积的?若存在,求 AE 的长,若不存 在,请说明理由. (1)证明:因为三棱柱 ABC-A1B1C1 为正三棱柱,所以△ABC 是正三角形, 又因为 D 是 AC 的中点,所以 BD⊥AC,又平面 ABC⊥平面 CAA1C1,所以 BD⊥DE, 因为 AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=, 所以 AE=,AD=1, 所以在 Rt△ADE 中,∠ADE=30°, 在 Rt△DCC1 中,∠C1DC=60°, 所以∠EDC1=90°,即 DE⊥DC1. 因为 C1D∩BD=D,所以 DE⊥平面 BC1D, 所以 DE⊥BC1. (2)解:假设存在点 E,满足题意. 设 AE=h,则 A1E=-h, 所以-S△AED=2h-(-h)-h.
4

因为 BD⊥平面 ACC1A1,

h.
又 V 棱柱=×2×=3, 所以 h=1,解得 h=. 故存在点 E,当 AE=,即 E 与 A1 重合时,三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1 体积的.?导 学号 32470882? 8.(2015 安徽,文 19)

如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上,存在点 M,使得 AC⊥BM,并求的值. (1)解:由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得 S△ABC=·AB·AC·sin 60°=. 由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高, 又 PA=1, 所以三棱锥 P-ABC 的体积 V=·S△ABC·PA=. (2)证明:

在平面 ABC 内,过点 B 作 BN⊥AC,垂足为 N.在平面 PAC 内,过点 N 作 MN∥PA 交 PC 于点 M,连接 BM. 由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC,所以 MN⊥AC.由于 BN∩MN=N,故 AC⊥平面 MBN.又 BM? 平面 MBN,所以 AC ⊥BM. 在 Rt△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC=,从而 NC=AC-AN=.由 MN∥PA,得.?导学号 32470883?

5


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