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四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二数学4月月考试题文(新)

时间:2016-07-13


绵阳南山中学 2016 年春季高 2017 届 4 月月考 文 科 数 学 试 题 卷
本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷共 4 页;答题卷共 4 页.满分 100 分.考试结束后将答 题卡和答题卷一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 48 分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把

答题卡上对 应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮檫檫干净后,再选 涂其他答案,不能答在试题卷上. 一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分;每小题只有唯一符合题目要求的答案) 1.已知 a, b, c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 .那么下列选项中一定成立的是 A. ab ? ac C. cb ? ab
2 2

B. c(b ? a ) ? 0 D. ac(a ? c) ? 0

2.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 A. 2 C. 4
2

B. 2 D. 6

3.不等式 ? x ? 2 x ? 5 ? ?2 x 的解集是 A. {x x ? 5或x ? ?1 } C. {x ? 1 ? x ? 5} 4.已知 a ? c ? b ,则 A. a ? b ? c C. a ? b ? c B. a ? c ? b D. a ? b ? c B. {x x ? 5或x ? ?1 } D. {x ? 1 ? x ? 5}

5.圆 ? ? ( 2 cos? ? sin ? ) 的圆心的极坐标是 A. ? ,

?1 ? ? ? ?2 4?

B. ?1,

? ?? ? ? 4?

C. ? 2 ,

? ?

??
? 4?

D. ? 2,

? ?

??
? 4?

6.给出四个命题:

4 的最大值为 2-4 3; x x2 ? 1 4 2 (3) logx 10 ? lg x 的最小值为 2; (4) sin x ? 的最小值为 4. sin 2 x
(1) 的最小值为 2; (2) 2 ? 3x ? 其中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 7.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可 获得最大利润为 A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万

x2 ? 2





原料限额

? (吨)

3
1

2
2

12

? (吨)

8
-1-

元 8.在极坐标系中,点 M ( 4, A.2 9.若圆的方程为 ? 置关系是 A.相交过圆心 C.相切 10.函数 f ( x ) ? B.相交但不过圆心 D.相离 B.4

?
3

) 到曲线 ? cos( ? ?
C.6

?
3

) ? 2 上的点的距离的最小值为
D.8

? x ? ?1 ? 2 cos? ? x ? 2t ? 1 ( ? 为参数),直线的方程为 ? ( t 为参数),则直线与圆的位 ? y ? 6t ? 1 ? y ? 3 ? 2 sin ?

x 的最大值为 x ?1
B.

A.

2 5

2 2

C.

1 2

D.1

11.下列关系式中一定成立的是
4 4 3 3 A.若 a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ? a b ? ab

B. 7 ? 5 ? 2 6 C.若 a ? 1, b ? 1 ,则

a?b ?1 1 ? ab

D. a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

?3x ? y ? 6 ? 0 2 3 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 ) 的最大值为 12, 则 ? a b ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为 A.4 B.

8 3

C.

11 3

D.

25 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 52 分) 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上. 2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. 把答案填在题中横线上 . 13.已知 a, b, m ? R
?

,且 a ? b ,则

a?m a 与 的大小关系是 b?m b

14.在极坐标系中,圆心在( 2,? )且过极点的圆的方程为

1 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 15.二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 1 3 或x ? 2} ,则关于 x 的不等式
2 2

-2-

. 16.已知不等式 x 2 ? px ? 1 ? 2 x ? p 当 p ? 2 时恒成立,则实数 x 的取值范围是 三.解答题(共 4 个小题,每小题 10 分,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 。 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1,2? ,求 a 的取值范围。

18.以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐

? π (8, ) 标为 ,若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、8 为半径. 3 2
(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 和圆 C 相交于点 A、B,求 PA ? PB 的值。

19 . 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两 个矩形栏目(即图中阴影部分) ,这两栏 的面积之和为 18000 cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的 高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?
2

20.解关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 2 x ? ax ( a ? R )
2

-3-

高 2017 届 4 月月考文科数学试题参考答案 一.选择题(12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) AABD BCDA BCCD 二.填空题(4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.

a?m a > b?m b

14. ? ? ?2 2 cos? 16. ( ? ?,?1) ? (3,??)

15. {x ? 3 ? x ? ?2}

三.解答题(共 4 个小题,每小题 10 分) 17. 解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x ) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ?

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? 或? …………3 分 ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ?x ? 2 ?x ? 3 或 x ?? 或 ? ?? ?x ?1 ?x ? 4
∴ x ? 1或 x ? 4 ∴不等式 f ( x ) ? 3 的解集是 {x x ? 1或x ? 4} 【注:也可以用绝对值的几何意义数形结合求解】 (2)由题 f ( x) ? x ? 4 ? x ? a ? x ? 4 ? x ? 2 …………① 当 x ? [1,2] 时,①式 ? x ? a ? 4 ? x ? (2 ? x) …………7 分 …………5 分 …………4 分

? x?a ?2 ??2?a ? x ? 2?a,
由条件得 ?

?? 2 ? a ? 1 ,∴ ? 3 ? a ? 0 , 2 ? a ? 2 ?

故满足条件的 a 的取值范围是 [?3,0] 。 …………10 分 18.解 (1)由题意,直线 l 的普通方程是 y+5=(x-1)tan π y+5 x-1 y+5 ,此方程可化为 = ,令 3 π π π sin cos sin 3 3 3



x-1
π cos 3

= t ( t 为参数),

1 ? x ? 1 ? t ? 2 得直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) …………3 分 ? y ? ?5 ? 3 t ? 2
如图,设圆上任意一点为 P(ρ ,θ ),则在△POM 中,由余弦定理,得 PM =PO +OM -2·PO·OMcos∠POM,
2 2 2

-4-

π? ? 2 2 2 ∴8 =ρ +8 -2×8ρ cos?θ - ?. 2? ? 化简得 ρ =16sin θ ,即为圆 C 的极坐标方程. …………6 分

(2)由(1)可进一步得出圆 C 的直角坐标方程是 x 2 ? ( y ? 8) 2 ? 64 将直线 l 的参数方程代入上式有 t 2 ? (1 ? 13 3)t ? 106 ? 0 设点 A、B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 106。 故 PA ? PB = t1 ? t2 ? t1 ? t2 =106 …………10 分

19.解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. ①…………1 分 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S =(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab ? 24500 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. …………7 分 …………3 分

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8
…………9 分

故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. …………10 分 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

y ? 25 , 其中 x>20,y>25 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0, 所以 S≥2

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

当且仅当

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20
2

此时有(x-20) =14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

18000 +25,得 y=175, x ? 20

故当广告 的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 20.解: 原不等式可化为

ax2+(a-2)x-2≥0? (ax-2)(x+1)≥0.

…………2 分

(1)当 a=0 时,原不等式化为 x+1≤0? x≤-1; …………3 分 (2)当 a>0 时,

-5-

2 ? 2? 原不等式化为?x- ?(x+1)≥0? x≥ 或 x≤-1; …………4 分

?

a?

a

? 2? (3)当 a<0 时,原不等式化为?x- ?(x+1)≤0. ?
a? a a

…………5 分

2 2 ①当 >-1, 即 a<-2 时,原不等式等价于-1≤x≤ ;

a

2 ②当 =-1,即 a=-2 时,原不等式等价于 x=-1; 2 2 ③ 当 <-1,即-2<a<0 时,原不等式等价于 ≤x≤-1. …………8 分

a

a

2? ? 综上所述:当 a<-2 时,原不等式的解集为?-1, ?;

?

a?

当 a=-2 时,原不等式的解集为{-1};

?2 ? 当-2<a<0 时,原不等式的解集为? ,-1?; ?a ?
当 a=0 时,原不等式的解集为(-∞,-1] ;

?2 ? 当 a>0 时,原不等式的解集为(-∞ ,-1]∪? ,+∞?.…………10 分 ?a ?

-6-


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