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2015-2016学年甘肃省永昌县第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题


永昌县第一高级中学 2015-2016-2 期末考试卷
高二数学
第 I 卷(选择题)

一 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上。 1. i 是虚数单位,已知复数 Z ? A.第一象限
1 ? 3i ? (1 ? i ) 4 ,

则复数 Z 对应点落在 3?i B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





2.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 且 f ?(?1) ? 4 ,则实数 a 的值等于 A.
16 3

( D.
13 3



B.

19 3

C.
^

10 3

3.4.已知一个线性回归方程为y=1.5x+45,其中 x 的取值依次为 1,7,5,13,19, 则y= A.58.5 B.46.5 C.60 D.75 ( )

4.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (-1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-l) D.(-∞,+∞) ( )

5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a2 ? 3 , an?2 ?| an?1 ? an | ,则 a2009 = A.0 B. 1 C. 2 D.3

6.函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为
y y y y





o o A 1 x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

7.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于(



第 1 页 共 7 页

A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D.0
2 ,没有平局.若采 3

8.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是

用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率( A.
20 27



B.

4 9

C.

8 27

D.

16 27

9.从正方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点中选取 4 个作为四面体的顶点,可得到的不同 四面体的个数为 A.66 B.64
n

( C.62 D.58

).

1? ? 3 10. 设 ? 3 x ? ? 的展开式的各项系数的和为 P, 所有二项式系数的和为 S, 若 P+S=272, x? ?
则n为 A.4 B.5 C.6 D.8
C




B

11.某城市的交通道路如图,从城市的东南角 A 到城市的 西北角 B,不经过十字道路维修处 C,最近的走法种数有( A.33 B.60 C.66 D.126 )
A

12. 假设每一架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为 1-p, 且各引擎是否有故障是相 互独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞 机要 2 个引擎全部正常运行, 飞机才可成功飞行, 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全, 则 p 的取值范围是( 2 A.( ,1) 3 ) 1 B.( ,1) 3 2 C.(0, ) 3 1 D.(0, ) 3

第 II 卷(非选择题) 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知长轴长为 2a , 短轴长为 2b 椭圆的面积为 ?ab , 则 14.(x y-y x)4 的展开式中 x3y3 的系数为________. 15.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),已知 P(X<-1.96)=0.025,则 P(︱X︱<1.96)= _ .

?

3

?3

2 1?

x2 dx = 9



16.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以 A1, A 2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,
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白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事 2 件. 则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①P(B)= ; ②P(B|A1) 5 = 5 ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是两两互斥的事件. 11

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: 年收入 x/ 万元 年饮食支 出 y/万元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10

0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

(1)根据表中数据作散点图,确定家庭的年收入和年饮食支出是否具有相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出.

^

i=1

?xiyi-n x y
^ 2 ^

n

(公式b=

xi2-n i=1

?

n

,a= y -b x ) x

18.(12 分)某同学参加科普知识竞赛需回答 3 个问题,竞赛规则规定:答对第 1、2、3 个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第 1、2、3 个问题的概 率分别为 0.8、0.7、0.6.且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.

19.(12 分)设

f (x) ? -

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2

?2 ? (1)若 f ( x) 在 ? ,?? ? 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ?3 ?

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(2)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ?1,4? 上的最值.

20.(12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数?

21.(12 分)在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一巨大汽油 罐.已知只有 5 发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每 2 次射击命中率都是 ,每次命中与否相互独立. 3 (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹打光则停止射击, 设射击次数为 ξ .求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望.

22.(12 分)已知函数 f ( x ) ?

ax ? 1 . ex

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间;
1 (2)若对任意 x ? [ , 2] , f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

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2015-2016-2 高二期末考试试卷答案 1-12:BCABB 13. 3? ABADA CB 15.0.95 `16.②④

14.6

17 解 (1)由题 意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变 量,作散点图如下图所示:

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可 以用线性回归方程刻画它们之间的关系. (2) x =6, y =1.83, ?x2 i =406,
i=1 ^ ^ ^ ^ 10

i=1

?y2 i =35.13,?xiyi=11 7.7,b≈0.172,a= y -b x =0.798,从而得到回归直线方程为y=
i=1

10

10

0.172x+0.798.
^

当 x=9 时,y=0.172×9+0.798=2.346(万元). 18 .解 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3), 则 P(A1)=0. 8, P(A2)=0. 7, P(A3)=0. 6. (1)这名同学得 300 分的概率为: P1=P(A1 A 2A3)+P( A 1A2A3)=P(A1)P( A 2)P(A3)+P( A 1)P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为: P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564. 19.解: (1)由 f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? 当 x ? [ , ??)时, f ?( x)的最大值为f ?( ) ? 令

1 2

1 ? 2a 4

2 3

2 3

2 ? 2a; 9

2 1 ? 2a ? 0, 得a ? ? 9 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x)在( , ??) 上存在单调递增区间 9 3 ? ? (2)当 a=1 时, f ( x) ? ? x ? ? x ? ? ? x ? ?
f '( x) ? ? x 2+x+2,令 f '( x) ? ? x 2+x+2=0 得 x1=-1,x2=2

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因为 f ( x)在(1, 2) 上单调递增,在 (2, 4) 上单调递减. 所以在[1,4]上的 f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ? 因为 f (1) ?

10 . 3

13 16 16 , f (4) ? ? ,最小值为 f (4) ? ? 6 3 3

3 20.解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第一类:0 在个位时有 A5 个;

1 第二类:2 在个位时,首位从 1,3,4,5 中选定 1 个(有 A4 种),十位和百位从余下的数字中选(有

1 2 1 2 2 种) ,于是有 A4 个; 第三类:4 在个位时,与第二类同理,也有 A4 个. · A4 · A4 A4

3 1 2 1 2 由分类加法计数原理知,共有四位偶数: A5 ? A4 · A4 ? A4 · A4 ? 156 个.

(2)符合要求的五位数中 5 的倍数的数可分为两类:个位数上的数字是 0 的五位数有 A54 个;个位
1 3 1 3 数上的数字是 5 的五位数有 A4 个.故满足条件的五位数的个数共有 A54 ? A4 · A4 · A4 ? 216 个.

(3)符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类:
1 3 第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共 A4 个; · A5

1 2 第二类:形如 14□□,15□□,共有 A2 个; · A4

1 1 第三 类:形如 134□,135□,共有 A2 个; · A3

由分类加 法计数原理知,无重复数字且比 1325 大的四位数共有:
1 3 1 2 1 1 A4 · A5 ? A2 · A4 ? A2 · A3 ? 270 个.

21.解 (1)记“油罐被引爆”为事件 A,其对立事件为 A , 2 14 15 2 1 4 1 5 232 则 P( A )=C1 ( ) +( ) ,∴P(A)=1-[C1 ( ) +( ) ]= . 5· · 5· · 3 3 3 3 3 3 243 2 4 212 8 (2)射击次数 ξ 的可能取值为 2、3、4、5.P(ξ=2)=( )2= ;P(ξ=3)=C1 2· · · = ; 3 9 3 3 3 27 2 122 4 1 1 1 2 1 3 P(ξ=4)=C1 ( ) · = ;P(ξ=5)=C4 ·· ( ) +( )4= . 3· · 3 3 3 27 3 3 3 9 故 ξ 的分布列为 ξ P 2 4 9 3 8 27 4 4 27 5 1 9

4 8 4 1 79 E(ξ)=2× +3× +4× +5× = . 9 27 27 9 27

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22、解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

x ?1 ?x ? 2 ? f ?( x) ? x ex e

2分

由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 2, f ?( x ) ? 0 得 x ? 2

? f ( x ) 的单调递增区间为 (??,2) ,单调递减区间为 (2, ??) ······· 4 分
(2)若对任意 x ?

ax ? 1 ?1 ? , 2 ? 时, x > x 恒成立, ? e ?2 ?

即x?

1 ?1 ? , 2 ? 时, a ? e x ? 恒成立, ·················· 5 分 ? x ?2 ?
x

1 1 , x ? [ , 2] ,即 a ? g ( x)max , x 2 1 1 g ?( x ) ? e x ? 2 , x ? [ , 2] x 2 1 2 1 x x 设 h ( x ) ? e ? 2 , ∴ h?( x ) ? e ? 3 ? 0 在 x ? [ , 2] 上恒成立 x x 2 1 ? h( x ) 在 x ? [ , 2] 上单调递增 2 1 1 x 即 g ?( x ) ? e ? 2 在 x ? [ , 2] 上单调递增 ··················· 8 分 x 2
设 g ( x) ? e ?
1 1 1 Q g ?( ) ? e 2 ? 4 ? 0 , Q g ?(2) ? e2 ? ? 0 4 2

? g ?( x ) ? e x ? ? g ( x) ? e x ?

1 1 在 [ , 2] 有零点 m 2 x 2

1 1 在 [ , m ] 上单调递减,在 (m,2] 上单调递增 ··········· 10 分 2 x

?a ? e ? 2 1 ? a ? g( ) 1 ? 2 ?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 ,即 ? ? 1 ,? a ? e ? 2 · 2 a ? e ? ? ? ? a ? g (2) ? 2

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