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2014年重庆市高考数学试卷(文科)

时间:2014-06-24


2014 年重庆市高考数学试卷(文科)

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2014 年重庆市高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2014?重庆)实部为﹣2,虚部为 1 的复数

所对应的点位于复平面内的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分) (2014?重庆)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A .5 B.8 C.10 ) D.14

3. (5 分) (2014?重庆)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从 该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 4. (5 分) (2014?重庆)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x﹣1 B.f(x)=x2+x ) C.f(x)=2x﹣2
﹣x

D.f(x)=2x+2

﹣x

5. (5 分) (2014?重庆)执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为(



A.10

B.17

C.19

D.36

6. (5 分) (2014?重庆)已知命题: p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,q:x=1 是方程 x+2=0 的根;则下列命题为真命题的是( ) A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q 7. (5 分) (2014?重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12

B.18

C.24

D.30

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www.jyeoo.com 8. (5 分) (2014?重庆)设 F1,F2 分别为双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使

得(|PF1|﹣|PF2|) =b ﹣3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C .4 9. (5 分) (2014?重庆)若 log4(3a+4b)=log2 A.6+2 B.7+2 ,则 a+b 的最小值是( C.6+4 )

D.

D.7+4

10. (5 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)=

,且 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 在(﹣

1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. (﹣ ,﹣2]∪ (0, ] (﹣ ,﹣2]∪ (0, ] (﹣ ,﹣2]∪ (0, ]

D. (﹣

,﹣2]∪ (0, ]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. (5 分) (2014?重庆)已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩ B= _________ .

12. (5 分) (2014?重庆)已知向量 与 的夹角为 60°,且 =(﹣2,﹣6) ,| |=

,则 ? =

_________ .

13. (5 分) (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 一半,纵坐标不变,再向右平移

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的 )= _________ .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f(
2 2

14. (5 分) (2014?重庆)已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、B 两点,且 AC⊥ BC, 则实数 a 的值为 _________ . 15. (5 分) (2014?重庆)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _________ (用数字作 答) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (2014?重庆)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ )求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ )设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 17. (13 分) (2014?重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ )求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ )分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ )从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

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18. (13 分) (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ )若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ )若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

19. (12 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切 线垂直于直线 y= x. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间与极值. 20. (12 分) (2014?重庆) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO⊥ 底面 ABCD, AB=2, ∠ BAD= M 为 BC 上一点,且 BM= . (Ⅰ )证明:BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )若 MP⊥ AP,求四棱锥 P﹣ABMO 的体积. ,

21. (12 分) (2014?重庆)如图,设椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥ F1F2,

=2

,△ DF1F2 的面积为



(Ⅰ )求该椭圆的标准方程; (Ⅱ )是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂 直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

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2014 年重庆市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2014?重庆)实部为﹣2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面内的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 专题: 分析: 解答: 复数的代数表示法及其几何意义. 数系的扩充和复数. 根据复数的几何意义,即可得到结论. 解:实部为﹣2,虚部为 1 的复数所对应的点的坐标为(﹣2,1) ,位于第二象限, 故选:B. 点评: 本题主要考查复数的几何意义,比较基础.
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2. (5 分) (2014?重庆)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A .5 B.8 C.10 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列.

) D.14

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由等差数列{an}中,a1=2,且有 a3+a5=10,利用等差数列的通项公式先求出公差 d,再求 a7. 解:∵ 等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10 ∴ 2+2d+2+4d=10, 解得 d=1, ∴ a7=2+6×1=8. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等差数列通项公式的合理运用. 3. (5 分) (2014?重庆)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从 该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算 n 值. 解答: 解:分层抽样的抽取比例为 = ,
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总体个数为 3500+1500=5000, ∴ 样本容量 n=5000× =100.

故选:A. 点评: 本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键. 4. (5 分) (2014?重庆)下列函数为偶函数的是( 2 A.f(x)=x﹣1 B.f(x)=x +x ) C.f(x)=2x﹣2
﹣x

D.f(x)=2x+2

﹣x

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考点: 专题: 分析: 解答:

www.jyeoo.com 函数奇偶性的判断. 计算题. 根据偶函数的定义,依次分析选项,先分析函数的定义域,再分析 f(﹣x)=f(x)是否成立,即可得答案. 解:根据题意,依次分析选项: A、f(x)=x﹣1,其定义域为 R,f(﹣x)=﹣x﹣1,f(﹣x)≠f(x) ,不是偶函数,不符合题意;
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B、f(x)=x +x,其定义域为 R,f(﹣x)=x ﹣x,f(﹣x)≠f(x) ,不是偶函数,不符合题意; ﹣x ﹣x x x C、f(x)=2 ﹣2 ,其定义域为 R,f(﹣x)=2 ﹣2 ,f(﹣x)=﹣f(x) ,是奇函数不是偶函数,不符合 题意; D、f(x)=2 +2 ,其定义域为 R,f(﹣x)=2 +2 ,f(﹣x)=f(x) ,是偶函数,符合题意; 故选:D. 点评: 本题考查函数奇偶性的判断,注意要先分析函数的定义域. 5. (5 分) (2014?重庆)执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为( )
x
﹣x ﹣x

2

2

x

A.10 考点: 专题: 分析: 解答:

B.17

C.19

D.36

程序框图. 计算题;算法和程序框图. 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 k<10,跳出循环体,计算输出 S 的值. 解:由程序框图知:第一次循环 S=2,k=2×2﹣1=3; 第二次循环 S=2+3=5,k=2×3﹣1=5; 第三次循环 S=5+5=10,k=2×5﹣1=9; 第四次循环 S=10+9=19,k=2×9﹣1=17, 不满足条件 k<10,跳出循环体,输出 S=19. 故选:C. 点评: 本题考查了当型循环结构飞程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
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6. (5 分) (2014?重庆)已知命题: p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,q:x=1 是方程 x+2=0 的根;则下列命题为真命题的是( ) A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q 考点: 专题: 分析: 解答: 复合命题的真假. 简易逻辑. 判定命题 p,q 的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论. 解:根据绝对值的性质可知,对任意 x∈R,总有|x|≥0 成立,即 p 为真命题, 当 x=1 时,x+2=3≠0,即 x=1 不是方程 x+2=0 的根,即 q 为假命题, 则 p∧¬q,为真命题,
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www.jyeoo.com 故选:A. 点评: 本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定 p,q 的真假是解决本题的关键,比较基础. 7. (5 分) (2014?重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12

B.18

C.24

D.30

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高,判断三棱锥与 三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图: 三棱柱的高为 5,消去的三棱锥的高为 3, 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的等腰直角三角形,
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∴ 几何体的体积 V= ×3×4×5﹣ × ×3×4×3=30﹣6=24. 故选:C.

点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.

8. (5 分) (2014?重庆)设 F1,F2 分别为双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使

得(|PF1|﹣|PF2|) =b ﹣3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C .4

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 2 根据(|PF1|﹣|PF2|) =b ﹣3ab,由双曲线的定义可得(2a) =b ﹣3ab,求得 a= ,c=
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=

b,即

可求出双曲线的离心率. 2 2 解答: 解:∵ (|PF1|﹣|PF2|) =b ﹣3ab, 2 2 ∴ 由双曲线的定义可得(2a) =b ﹣3ab, 2 2 ∴ 4a +3ab﹣b =0, ∴ a= ,

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www.jyeoo.com ∴ c= ∴ e= = = . b,

故选:D. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 9. (5 分) (2014?重庆)若 log4(3a+4b)=log2 A.6+2 B.7+2 ,则 a+b 的最小值是( C.6+4 ) D.7+4

考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则可得 >0,a>4,再利用基本不等式即可得出
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解答: 解:∵ 3a+4b>0,ab>0, ∴ a>0.b>0 ∵ log4(3a+4b)=log2 , ∴ log4(3a+4b)=log4(ab) ∴ 3a+4b=ab,a≠4,a>0.b>0 ∴ ∴ a>4, 则 a+b=a+ =(a﹣4)=a+ =(a﹣4)+ +7 +7=4 +7,当且 >0,

仅当 a=4+2 取等号. 故选:D. 点评: 本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于中档题.

10. (5 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)=

,且 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 在(﹣

1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. (﹣ ,﹣2]∪ (0, ] (﹣ ,﹣2]∪ (0, ] (﹣ ,﹣2]∪ (0, ]

D. (﹣

,﹣2]∪ (0, ]

考点: 专题: 分析: 解答:

分段函数的应用. 函数的性质及应用. 由 g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即 f(x)=m(x+1) ,作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论. 解:由 g(x)=f(x)﹣mx﹣m=0,即 f(x)=m(x+1) , 分别作出函数 f(x)和 y=g(x)=m(x+1)的图象如图: 由图象可知 f(1)=1,g(x)表示过定点 A(﹣1,0)的直线,
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当 g(x)过(1,1)时,m═ 此时两个函数有两个交点,此时满足条件的 m 的取值范围是 0<m≤ , 当 g(x)过(0,﹣2)时,g(0)=﹣2,解得 m=﹣2,此时两个函数有两个交点, 当 g(x)与 f(x)相切时,两个函数只有一个交点, 此时
2



即 m(x+1) +3(x+1)﹣1=0,
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www.jyeoo.com 当 m=0 时,x= ,只有 1 解,

当 m≠0,由△ =9+4m=0 得 m=﹣ ,此时直线和 f(x)相切, ∴ 要使函数有两个零点, 则﹣ <m≤﹣2 或 0<m≤ , 故选:A

点评: 本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. (5 分) (2014?重庆)已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩ B= {3,5,13} . 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 根据题意,分析集合 A、B 的公共元素,由交集的意义即可得答案. 解:根据题意,集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13}, A、B 公共元素为 3、5、11, 则 A∩ B={3,5,13}, 故答案为:{3,5,13}. 点评: 本题考查集合交集的运算,注意写出集合的形式.
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12. (5 分) (2014?重庆)已知向量 与 的夹角为 60°,且 =(﹣2,﹣6) ,| |= 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的模、夹角形式的数量积公式,求出即可 解答: 解:∵ =(﹣2,﹣6) ,
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,则 ? =

10 .

∴ ∴ =2 =10.

故答案为:10. 点评: 本题考查了向量的数量积公式,属于基础题.
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www.jyeoo.com 13. (5 分) (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 一半,纵坐标不变,再向右平移 ≤φ< )图象上每一点的横坐标缩短为原来的 )= .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f(

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 哟条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 sin(2ωx+φ﹣
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ω)=sinx,可得 2ω=1,且 φ﹣ )的值.

ω=2kπ,k∈z,由此求得 ω、φ 的值,可得 f(x)的解析式,从而求得 f( 解答: 解:函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 变,可得函数 y=sin(2ωx+φ)的图象. 再把所得图象再向右平移 =sin(2ωx+φ﹣ ∴ 2ω=1,且 φ﹣ ∴ ω= ,φ= ∴ f( 个单位长度得到函数 y=sin[2ω(x﹣ )+φ)] ≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不

ω)=sinx 的图象, ω=2kπ,k∈z, ) , .

,∴ f(x)=sin( x+ + )=sin =

)=sin( .

故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 14. (5 分) (2014?重庆)已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 相交于 A、B 两点,且 AC⊥ BC, 则实数 a 的值为 0 或 6 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线和圆的方程的应用. 直线与圆. 根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论.
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2

2

解:圆的标准方程为(x+1) +(y﹣2) =9,圆心 C(﹣1,2) ,半径 r=3, ∵ AC⊥ BC, ∴ 圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 即 d= = , ,

2

2

即|a﹣3|=3, 解得 a=0 或 a=6, 故答案为:0 或 6. 点评: 本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本题的关键.

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www.jyeoo.com 15. (5 分) (2014?重庆)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用数字作答) .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域
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为 Ω={(x,y|7 ≤x≤7 ,7 ≤y≤7 }是一个矩形区域,则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y ﹣x≥ }作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则求解即可.

解答: 解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的 区域为 Ω={(x,y|7 ≤x≤7 ,7 ≤y≤7 }是一个矩形区域,对应的面积 S= 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥ A(7 ,7 ) ,当 x=7 时,y=7 + 则三角形 ABC 的面积 S= =7 , }作出符合题意的图象, = , ,

,则 AB=7 ﹣7

由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为

=



故答案为:



点评: 本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则,求出对 应区域的面积是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (2014?重庆)已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (Ⅰ )求 an 及 Sn; 2 (Ⅱ )设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比为 q 满足 q ﹣(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ )直接由等差数列的通项公式及前 n 项和公式得答案; 2 (Ⅱ )求出 a4 和 S4,代入 q ﹣(a4+1)q+S4=0 求出等比数列的公比,然后直接由等比数列的通项公式及前 n 项和公式得答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ {an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴ an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1. ; (Ⅱ )由(Ⅰ )得,a4=7,S4=16. 2 2 ∵ q ﹣(a4+1)q+S4=0,即 q ﹣8q+16=0, 2 ∴ (q﹣4) =0,即 q=4. 又∵ {bn}是首项为 2 的等比数列, ∴ .

. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查了等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,是基础题. 17. (13 分) (2014?重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ )求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ )分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ )从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )根据频率分布直方图求出 a 的值; (Ⅱ )由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为 0.1 和 0.15,用样本容量 20 乘以对应的频率, 即得对应区间内的人数,从而求出所求. (Ⅲ )分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ )根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得 a=0.005. (Ⅱ )成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2, 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (Ⅲ )记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A,B,成绩落在[60,70)中的 3 人为 C,D,E,则成绩在[50,70) 的学生任选 2 人的基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个, 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 CD,CE,DE 共 3 个,
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故所求概率为 P=



点评: 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题. 18. (13 分) (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8.
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www.jyeoo.com (Ⅰ )若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ )若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a+b+c=8,根据 a=2,b= 求出 c 的长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边长代入求出 cosC 的值即
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可; (Ⅱ )已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变 形,再利用正弦定理得到 a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代 入 S= sinC 求出 ab 的值,联立即可求出 a 与 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a=2,b= ,且 a+b+c=8, ∴ c=8﹣(a+b)= ,

∴ 由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ;

(Ⅱ )由 sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC 可得:sinA?

+sinB?

=2sinC,

整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵ sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, ∴ sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵ a+b+c=8, ∴ a+b=6① , ∵ S= absinC= sinC, ∴ ab=9② , 联立① ② 解得:a=b=3. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (12 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)= + ﹣lnx﹣ ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切 线垂直于直线 y= x. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )由曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x 可得 f′ (1)=﹣2,可求出 a 的值;
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(Ⅱ )根据(I)可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数 f(x)的单调区
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www.jyeoo.com 间与极值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ f(x)= + ﹣lnx﹣ , ∴ f′ (x)= ﹣ ﹣ ,

∵ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线垂直于直线 y= x. ∴ f′ (1)= ﹣a﹣1=﹣2, 解得:a= ,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知:f(x)= +

﹣lnx﹣ ,f′ (x)= ﹣

﹣ =

(x>0) ,

令 f′ (x)=0, 解得 x=5,或 x=﹣1(舍) , ∵ 当 x∈(0,5)时,f′ (x)<0,当 x∈(5,+∞)时,f′ (x)>0, 故函数 f(x)的单调递增区间为(5,+∞) ; 单调递减区间为(0,5) ; 当 x=5 时,函数取极小值﹣ln5. 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数 的极值,是导数的综合应用,难度中档.

20. (12 分) (2014?重庆) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面是以 O 为中心的菱形, PO⊥ 底面 ABCD, AB=2, ∠ BAD= M 为 BC 上一点,且 BM= . (Ⅰ )证明:BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )若 MP⊥ AP,求四棱锥 P﹣ABMO 的体积.



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )连接 OB,根据底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,AB=2,∠ BAD=
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,M 为 BC 上一点,

且 BM= ,结合菱形的性质,余弦定理,勾股定理,可得 OM⊥ BC 及 PO⊥ BC,进而由线面垂直的判定定理 得到 BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )设 PO=a,利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值,及四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S,代入棱 锥体积公式,可得答案. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ 底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥ 底面 ABCD,

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www.jyeoo.com 故 O 为底面 ABCD 的中心,连接 OB,则 AO⊥ OB, ∵ AB=2,∠ BAD= , )=1,

∴ OB=AB?sin∠ BAO=2sin( 又∵ BM= ,∠ OBM=
2


2 2

∴ 在△ OBM 中,OM =OB +BM ﹣2OB?BM?cos∠ OBM= , 即 OB =OM +BM ,即 OM⊥ BM, ∴ OM⊥ BC, 又∵ PO⊥ 底面 ABCD,BC?底面 ABCD, ∴ PO⊥ BC, 又∵ OM∩ PO=O,OM,PO?平面 POM, ∴ BC⊥ 平面 POM; (Ⅱ )由(Ⅰ )可得:OA=AB?cos∠ BAO=2cos(
2 2 2 2 2 2 2

)=



设 PO=a,由 PO⊥ 底面 ABCD 可得:△ POA 为直角三角形, 故 PA =PO +OA =a +3, 由△ POM 也为直角三角形得: PM =PO +OM =a + , 连接 AM,
2 2 2 2

在△ ABM 中,AM =AB +BM ﹣2AB?BM?cos∠ ABM= 由 MP⊥ AP 可知:△ APM 为直角三角形, 则 AM =PA +PM ,即 a +3+a + = 解得 a= ,即 PO= , ,
2 2 2 2 2

2

2

2

=





此时四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S=S△AOB+S△BOM= ?AO?OB+ ?BM?OM= ∴ 四棱锥 P﹣ABMO 的体积 V= S?PO= 点评: 本题考查的知识点是棱锥的体积,直线与平面垂直的判定,难度中档.

21. (12 分) (2014?重庆)如图,设椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥ F1F2,

=2

,△ DF1F2 的面积为



(Ⅰ )求该椭圆的标准方程;

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www.jyeoo.com (Ⅱ )是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂 直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(Ⅰ )设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,依题意,可求得 c=1,易求得|DF1|= 得 2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程;

=

,|DF2|=

,从而可

(Ⅱ )设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

+y =1 相交,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用

2

圆和椭圆的对称性,易知 x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由 F1P1⊥ F2P2,得 x1=﹣ 或 x1=0,分类讨论即可求 得圆心及半径,从而可得圆的方程. 解答: 解: (Ⅰ )设 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中 c =a ﹣b , 由 从而 从而|DF1|= 因此|DF2|= =2 ,得|DF1|= c=
2 2 2 2

=

c,

= |DF1||F1F2|=

,故 c=1. = + = ,

,由 DF1⊥ F1F2,得 , ,故 a=

所以 2a=|DF1|+|DF2|=2

,b =a ﹣c =1, +y =1; +y =1 相交,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,
2 2

2

2

2

因此,所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ )设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

y1>0, y2>0, F1P1, F2P2 是圆 C 的切线, 且 F1P1⊥ F2P2, 由圆和椭圆的对称性, 易知 x2=﹣x1, y1=y2, |P1P2|=2|x1|,

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www.jyeoo.com 由(Ⅰ )知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,所以 得﹣ + =0, =(x1+1,y1) , =(﹣x1﹣1,y1) ,再由 F1P1⊥ F2P2,

由椭圆方程得 1﹣

=

,即 3

+4x1=0,解得 x1=﹣ 或 x1=0.

当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在; 当 x1=﹣ 时,过 P1,P2,分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C,设 C(0,y0)

由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,知 CP1⊥ F1P1,得 故 y0= ,

?

=﹣1,而|y1|=|x1+1|= ,

故圆 C 的半径|CP1|=
2

=



综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x +

=



点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析 与运算能力,属于难题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;maths;翔宇老师;清风慕竹;danbo7801;sxs123;whgcn;wfy814;刘 长柏;caoqz(排名不分先后)
菁优网 2014 年 6 月 13 日

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