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宁夏银川一中2012-2013学年高二上学期期末考试 数学文


银川一中 2012/2013 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(文科)
命题人:尹向阳
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1. 若复数 A.-3

a ? 3i (a ? R, i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1? i
B.3 C.-6 D.6

)

/>
2. 用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中 至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a、b、c 都是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 )

B.假设 a、b、c 都不是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数

3. 分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0”,求证 “ b2-ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<04.

4. 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0? a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q, 则 a+b=c+d? a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”. 其中类比结论正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

5.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是 ( ) A.① 6.复数 ( B.② ) B. ? 3 ? i
x

C.③

D.①和②

1 ? 3i 2 ) ( 1? i

A. ? 3 ? i

C. 3 ? i )

D. 3 ? i

7. 函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A. (??,2)
2

B. (0,3)

C. (1,4) )

D. (2,??)

8. 抛物线 y ? ax 的焦点坐标是(

A. (0,

1 ) 4a

B. (0, ?

1 ) 4a

C. (0,? )

a 4

D. (0, )

a 4

x2 y2 9. 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a b
为( ) B. y ? ?2 x C. y ? ?

A. y ? ? 2 x 10. 设函数 f ( x) ? ( )

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

1 3 x ? ax 2 ? 5 x ? 6 在区间[1,3]上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 3
B. (??,?3] C. (??,?3] ? [? 5 ,??) )表示 D. D. [? 5 , 5 ]

A. [? 5 ,??)

11. 为了表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度,我们常用( A.

?(y
i ?1

n

i

? ? yi )

B.

? ?(y
i ?1

n

i

? yi )

C.

?(y
i ?1

n

i

? yi )

?(y
i ?1

n

i

? ? yi ) 2

12. 过双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 2 a b
2

E, 延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P, E 为线段 FP 的中点, 若 则双曲线的离心率为( A. 5 B. 5 ? 1 C.

)

5 2

D.

5 ?1 2

二、填空题:(每题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 2 x ? y ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) , 则 m 的值是________ _.
2 2

14.曲线 y ? x ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为___________________.
3

15. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是 ________________. 1 1 1 3 5 16. 设 n 为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察上 n 2 3 2 2 述结果,可推测一般的结论为_______________________________. 三、解答题: 17.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 18.(本题满分 12 分) 某校为了探索一种新的教学模式,进行了一项课题实验,乙班为实验班,甲班为对比班, 甲乙两班的人数均为 50 人,一年后对两班进行测试,成绩如下表(总分:150 分) :

甲班 成绩 频数 乙班 成绩 频数

[80,90)
4

[90,100)
20

[100,110)
15

[110,120)
10

[120,130)
1

[80,90)
1

[90,100)
11

[100,110)
23

[110,120)
13

[120,130)
2

(1)现从甲班成绩位于 [90,120) 内的试卷中抽取 9 份进行试卷分析,请问用什么抽样方 法更合理,并写出最后的抽样结果; (2) 根据所给数据可估计在这次测试中, 甲班的平均分是 101.8, 请你估计乙班的平均分, 并计算两班平均分相差几分; (3)完成下面 2× 列联表,你认为在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下, “这两个班在 2 这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗?并说明理由。 成绩小于 100 分 甲班 乙班 合计 附: 成绩不小于 100 分 26 合计 50 50 100

a?
12 36

d?
64

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R) ,其图象在点(1, f (1) )处的切 3

线方程为 x ? y ? 3 ? 0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间,并求出 f ( x) 在区间[—2,4]上的最大值。 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

6 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦 2 3 a b

点的距离之和为 6。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A、B 两点,点 P(0,1) ,且|PA|=|PB|,求直线

l 的方程。
21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x , g ( x) ? a( x 2 ? x) (1)若 a ?
1 ,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; 2

(2)当 a ? 1 时,求证: f ( x) ? g ( x) . 22.(本题满分 12 分) 某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销 售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,
2 如果产品的销售价提高的百分率为 x ? 0 ? x ? 1? ,那么月平均销售量减少的百分率为 x .记

改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元) . (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

高二期末数学考试试题(参考答案)
一.选择题:BBCCB

ADACC

DD
n+2 2

二.填空题:13,-2; 14,2x-y+1=0; 15。Y=1.23x+0.08; 16,f( 2 n )≥ 三.解答题: 17.解:(1)设抛物线 y2=2px(p>0),将点(2,2)代入得 p=1. ∴y2=2x 为所求抛物线的方程.

1 (2)证明: lAB 的方程为: 设 x=ty+ , 代入 y2=2x 得: 2-2ty-1=0, AB 的中点为 M(x0, y 设 2 1+2t2 y0),则 y0=t,x0= . 2 1 1+2t 1 ∴点 M 到准线 l 的距离 d=x0+ = + =1+t2.又 AB=2x0+p=1+2t2+1=2+2t2, 2 2 2 1 ∴d= AB,故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 2 18.(1)用分层抽样的方法更合理;在 ?90,100 ?, ?100 ,110 ?, ?110 ,120 ? ,各分数段抽取 4 份,3 份, 2 份试卷。 ( 2
2























x乙 ? 85 ?

1 11 23 13 2 ? 95 ? ? 105 ? ? 115 ? ? 125 ? ? 105 .8 50 50 50 50 50

105.8-101。8=4,即两班的平均分数差 4 分。 (3) K ? 6.25 ? 5.024
2

所以,在犯错误的概率不超过 0。025 的前提下,认为两个班的成绩有差异。

19.J 解: (1) f A=-1 b=
/

/

?x ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ,由题意得。 f / (1) ? 1 ? 2a ? a 2 ? 1 ? ?1 得:

8 3
2

(2) f ( x) ? x ? x ? 0 得:x=1 或 x=0,有列表得,

8 f ( x)极大值 ? f(0) ,f(x) ? 1 ? 极小值 ? f( ) 2 3
而 f(-2)=-4,f(4)=8,所以,f(x)的最大值为 8

20.解: (I)由已知 2a ? 6,

c 6 ? ,解得 a ? 3, c ? 6 a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 3

? x2 y 2 ?1 ? ? (III)由 ? 9 得, (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 2 ?
直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k ? 12(1 ? 3k ) ? 0,
2 2

解得 k ?
2

1 . 9

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 3 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

12k 4 ?? , 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标为 E ( ,? ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
计算 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? 因为|PA|=|PB|,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1,

2 ?1 1 ? 3k 2 所以 ? k ? ?1 ,解得 k ? ?1 ,经检验,符合题意, 6k 1 ? 3k 2 ?
所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 2 ? 0. 21.解: (1) a ?
F ?( x) ?

1 1 , F ( x) ? ln x ? 2 x ? ( x 2 ? x) ( x ? 0) 2 2

1 3 2 ? 2 x 2 ? 3x ? (2 x ? 1)(x ? 2) ?x? ? ? x 2 2x 2x

∵ x ? 0 ,∴当 0 ? x ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, F ?( x) ? 0 , ∴ F (x) 的增区间为 (0,2) ,减区间为 (2,??) (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ( x ? 0) 则由 h?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? 1 ? 2 ? 2ax ? a ? ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 0 解得 x ?
x 2

1 a

1 1 ∵ h(x ) 在 (0, ) 上增,在 ( ,?? ) 上减 a a 1 ∴当 x ? 时, h(x ) 有最小值, h( 1 ) ? ln 1 ? 2 ? a( 1 ? 1 ) ? ln 1 ? 1 ? 1 a a a a a a a2 a

∵ a ? 1 ,∴ ln

1 1 ? 0 , ? 1 ? 0, a a

1 ∴ h( x) ? h( ) ? 0 ,所以 f ( x) ? g ( x) a

22.解:(Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为 20 ?1 ? x ? ,月平均销售量为 a 1 ? x 2 件,则 月平均利润 y ? a 1 ? x 2 ? ? 20 ?1 ? x ? ? 15? (元) , ? ? ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? 5a 1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 (Ⅱ)由 y ? ? 5a 4 ? 2 x ? 12 x 2 ? 0 得 x1 ? 当 0? x?

?

?

?

?

?

? ? 0 ? x ? 1?

?

?

1 2 , x ? ? (舍) 2 3

1 1 时 y ? ? 0 ; ? x ? 1 时 y ? ? 0 , ∴ 函 数 y ? 5a ?1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 ? 2 2 1 ? 0 ? x ? 1? 在 x ? 取得最大值. 2
? ? 1? ? ? 30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利 2?

故改进工艺后,产品的销售价为 20 ? 1 ? 润最大.


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