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2013高数竞赛辅导(多元积分)


高等数学
竞赛辅导

多元函数积分学

多元函数积分学 重点、难点


解题技巧
2013.5.4-5

I.重积分
?1.计算二重积分时积分次序的选择,以及二次积 分交换次序问题 ?2.利用对积分区域的可加性计算二重积分的几种 情况 ?3.利用对称性简化

二重积分的计算 ?4.计算三重积分时,“切片法”的使用

?5.利用对称性和轮换对称性,简化三重积分
的计算

?6.可利用形心坐标公式,较快地求某些重积分
?7.重积分的一般变量替换 ?8.杂例

1.计算二重积分时积分次序的选择,以及
二次积分交换次序问题
当 D既是 X ? 型区域又是Y ?型区域时,有

?? f ( x, y )dxdy ? ? dx?
b a

y2 ( x )

D
d

y1 ( x )
x2 ( y )

f ( x, y )dy

? ? c dy ?x1 ( y ) f ( x, y )dx

即在计算时可根据“既能计算出来,又尽量简单” 的 原则,选择一个适当的次序进行.极坐标下一般先对

? 积分.

以上等式也表明,此时可以交换二次积分的积 分次序.当按一种次序积分有困难时,可将其交换次

序后,再进行计算. 关键是根据二次积分的两对上、下限,画出
相应二重积分的积分域,即使题目简单也应画出.

例1.1(07竞赛) 计算 I ? ?0 dx ?x2
1 1

xy 1? y xy
3 3

dy.



I ? ?0 dx ?x2
1 1

xy 1? y
3

dy ? ??
D

1? y
1

dxdy

? ?0 dy ?0
1

y

y 1? y
1
3

xdx ? ?0

y

2 3

1

y

D
O

y?x
1

2

1 1 ? y3 ? 1 ? 0 3 3
x

?

2 ?1 .

?

2 1? y

dy

例1.2(09考研) f ( x, y)连续, 则 设 2 2 2 4? y ?1 dx ?x f ( x, y )dy ? ?1 dy ? y f ( x, y )dx ? ( C ). 2 4? x 2 4? x (A)?1 dx?1 f ( x, y)dy (B)?1 dx?x f ( x, y)dy 2 4? y 2 2 (C) ?1 dy ?1 f ( x, y )dx (D) ?1 dy ? y f ( x, y)dx
解 由?1 dx?x f ( x, y)dy得D1(见图), y 2 4? y 由?1 dy ? y f ( x, y )dx得D2(见图), 记D ? D1 ? D2 , 则 2 D1 D2 D ? {( x, y) 1 ? x ? 4 ? y,1 ? y ? 2}.
2 2

? ?1 dx ?x f ( x, y )dy ? ?1 dy ? y
2 2 2

4? y

f ( x, y )dx
O

1

4 1 2

? ?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d?
D1 D2

x

? ?? f ( x, y )d? ? ?1 dy ?1
2 D

4? y

f ( x, y )dx.

值得注意的是,一般的二次积分就是做一次 定积分后再做一次定积分,而定积分的上限不一 定大于等于下限;然而,由二重积分化成的二次 积分其上限必须大于等于下限! 当给定的二次积分之上限小于下限时,若要 交换积分次序,则先应将上、下限颠倒过来(同时 改变二次积分的符号),然后再按前述步骤进行.

sin y 例1.3 求I ? ? dx ? dy. y π π π sin y x sin y 解 I ? ?02 dx ?π dy ? ? ?02 dx ?x2 dy 2 y y
π 2 0 x π 2 π sin y y sin y ? ? ?? dxdy ? ? ?02 dy ?0 dx y y D

? ?? sin ydy ? ?1.

π 2 0

π 2

y

D

y?x
π 2

O

x

2.利用对积分区域的可加性计算二重积分 的几种情况
(2)D为X ? 型区域时, y1 ( x)或y2 ( x)在[a, b]上是
分段函数;(在极坐标系中有类似情况.)
2a y

(1)先对y(或x)积分时D不是X ? 型(或Y ? 型);

? 2a cos ?

D ? ? 2a sin ?
O

2a

x

例1.4(12考研数3) 由曲线y ? 4 与直线y ? x及 x 4ln 2 y ? 4 x在第一象限中所围成图形的面积为____.
解 所围图形D如右图所示.
y
4
D1 D D
2

y ? 4x

y?x

将D分为D1 , D2 ,即D ? D1 ? D2 .

S ? ?? d? ? ?? d? ? ?? d?
D
1 4x

y?4 x

O

1 2

x

D1
2

D2
4 x x

? ?0 dx ?x dy ? ?1 dx ? dy

? ?0 3 xdx ? ?1 4 ? x dx
1 2

?x ?

? 3 ? 4ln 2 ? 3 ? 4ln 2. 2 2

(3)被积函数是D上的分片函数.

例1.5(08考研数2) 求I ? ?? max{xy,1}dxdy,
其中D ? ?( x, y ) 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2?.
D

2

y
D21

解 用曲线xy ? 1将D分为D1 , D2 . I ? ?? xydxdy ? ?? 1dxdy 可不分D ?D ? D O
? ?1 dx ? xydy ? ?? dxdy ? ?? dxdy 2
2 1 x D21 D22

D1
D22
1 2

D2

2
1

x

D1 2

D2

2

21

22

SD ? 4 ? SD
2

? 4 ? ? 1 dx ? 1 dy
2 2 2 x

15 ? ln 2 ? dx 2 dy ? 12 dx dy ? 4 ? ? 3 ? 2ln 2 ? ? ? ?0 ?2 ? 4 15 ? ln 2 ? 1 ? 2ln 2 ? 19 ? ln 2. ? 1 ? 2ln 2 ? 4 4

1 2 0

1 x 0

例1.6(07,09竞赛) 计算I ? ?? f ( x, y) y ? x dxdy,
2 D

其中D ? {( x, y) (0 ? x ? 1,0 ? y ? 1},
f ( x, y ) ? max ? x, y?.

y

1
D1

y ? x2 y?x

解 ? ( x, y ) ? f ( x, y ) y ? x

D

D2
2

D3

O

1

x

? y y ? x2 , ? ?? x y ? x2 , ? ? ? y ? y ? x2 ? , ? ? ? ?? x ? y ? x 2 ? ? ?? x ? x2 ? y ? ?? ??

x ? y ? 1, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x, 0 ? x ? 1,
x ? y ? 1, 0 ? x ? 1, x 2 ? y ? x, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1.

? I ? ?? y ? y ? x ? dxdy ? ?? x ? y ? x ? dxdy
2 2

? ?? x ? x ? y ? dxdy
2 D3
1 1 2 2

D1

D2

? ?0 dx ?x ( y ? yx )dy ? ?0 dx ?x ? xy ? x ? dy
1 x 3
2

? ?0 dx ?0 ? x ? xy ? dy
1 x2 3
1

? ?0 1 ? x ? x ? x dx ? ?0 x ? x 4 ? x dx 3 2 3 2 2 2 5 1 x ? ?0 dx 2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 11 . ? 3 6 12 10 8 5 12 12 40
1

?

2

3

4

?

?

3

5

?

3.利用对称性简化二重积分的计算
当积分域 D 对称于坐标轴或原点,且被积函数
f ( x, y ) 具有相应对称性时,二重积分的计算可以简化.
①当 D对称于 x ? 0 (即 y 轴) 时, 10若f (? x, y) ? ? f ( x, y) ( f ( x, y) 是 x 的奇函数),则

?? f ( x, y )dxdy ? 0;
20若 f (? x, y) ? f ( x, y) ( f ( x, y) 是 x 的偶函数),则
D

?? f ( x, y )dxdy ? 2 ??
D

f ( x, y )dxdy.

D右

②当 D对称于 y ? 0 (即 Ox 轴) 时, 10若 f ( x, ? y ) ? ? f ( x, y ) ( f 是 y 的奇函数),则

?? f ( x, y )dxdy ? 0;
D

20若 f ( x, ? y) ? f ( x, y) ( f 是

y 的偶函数),则

?? f ( x, y )dxdy ? 2 ??
D

f ( x, y )dxdy.

D上

③当 D对称于原点时, 10若 f (? x, ? y ) ? ? f ( x, y )则

y
D上

?? f ( x, y )dxdy ? 0;
D

O
D下

x

20若 f (? x, ? y) ? f ( x, y)则

?? f ( x, y )dxdy ? 2 ??
D

f ( x, y )dxdy.

? 2 ?? f ( x, y )dxdy.
D下

D上

④当 D对称于 y ? x时,

1 ?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy;
? D
?

D

2 若f ( x, y) ? f ( y, x), 则

?? f ( x, y)dxdy ? 2?? f ( x, y)dxdy
D

y

D1

D2
D1

? 2 ?? f ( x, y )dxdy.
D2

O

x

1 ? xy 例1.7(06考研) 求I ? ?? dxdy, 2 2 D 1? x ? y
其中D ? ( x, y) x ? y ? 1, x ? 0 .
2 2

?

?

xy 解 I ? ?? dxdy ? ?? dxdy 2 2 2 2 D 1? x ? y D 1? x ? y 1 ? 2 ?? dxdy ? 0 2 2 DI 1 ? x ? y 1
1 ? d? ? π ln(1 ? ? 2 ) 1 ? 2? d? ?0 2 0 2 1+?
1 π 2 0

? π ln 2. 2

例1.8(1) 设f (u )是关于u的奇函数,D是由曲 线x ? 1, y ? ? x , y ? 1所围成的平面区域,则二重
3

积分I ? ?? ? x ? f ( xy ) ? dxdy ? ( C ).
3 D

(A)0

(B) 1 4

(C) 2 7

(D) ?? f ( xy )dxdy
D

解 D如图所示. 3 用曲线y ? x 将D分为D1 ? D2 , 则

y ? ?x

y
3

1

I ? ?? ? ?? ? 0 ? ?? x dxdy
3 D1 D2 D2

D1
?1

O

DD

2

1

x

选C.

? 2?0 dx ?0 x dy ? 2?0 x dx ? 2 . 7
1 x3 3 1 6

?1

例1.8(2) 求I ? ?? e
D

max{ x 2 , y 2 }

dxdy, 其中
y
D2
D1

D ? ?( x, y ) 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1?.

O

x

解 I ? 2?? e
D1 1

max{x2 ,y 2 }

dxdy ? 2 ?? e dxdy
x2 D1 1 x2 x2 1 0

? 2?0 dx ?0 e dy ? 2?0 xe dx ? e
x x2

? e ? 1.

例1.9 求I ? ?? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? x ? y )dxdy, D y 其中D ? ?( x, y) x ? y ? 1?.
解 I ? ?? (1 ? x ? y )dxdy
D

1

??? x(1 ? x ? y )dxdy
D

DI

O

1

x

??? y(1 ? x ? y )dxdy
D

? ?? xy(1 ? x ? y )dxdy ? ?? (1 ? x ? y )dxdy ? 0 ? 0 ? 0
D

? 4 ?? (1 ? x ? y )dxdy
? 4V四面体 ? 4 ? 1 ?1?1?1 ? 2 . 6 3
DI

D

例1.10(09考研) 如图,正方形{( x, y) x ? 1, y ? 1}

被其对角线分为四个区域 Dk (k ? 1,2,3,4), 记 y I k ? ?? y cos xdxdy, 则 max{I k } ? ( A ). 1 D 1? k ? 4 Dk D1 (A) I1 (B) I 2 ?1 D2 O D4 1 D3 (C) I3 (D) I 4
?1

x

解 因为D2 , D4均对称于y ? 0即Ox轴, 而y cos x
是y的奇函数, 故I 2 ? 0, I 4 ? 0. 在D1上y cos x ? 0, 而

在D3上y cos x ? 0, 故I1 ? 0, I3 ? 0. 所以I1最大.

例1.11(10考研数3) 求I ? ?? ( x ? y)3dxdy, 其中D
D

是由曲线x ? 1 ? y 及直线x ? 2 y ? 0, x ? 2 y ? 0
2

所围成的有界闭域.

y
2 3
1
x ? 2y ? 0

解 I ? ?? ( x +3x y ? 3xy ? y )dxdy
3 2 D

? 2 ?? ( x 3 ? 3 xy 2 )dxdy
D1

D1

x ? 1 ? y2

O
2

D
x ? 2y ? 0

x

? 2?0 dy ?
1
1

1? y 2 2y

( x ? 3xy )dx
3

1 ? 2 y 2 ? 9 y 4 dy ? 2?0 4 4 1 ? 2 ? 9 ? 14 . ?2 4 3 20 15

?

?

?

?

4.计算三重积分时, “切片法”的使用
当积分域? 介于平面z ? c1 , z ? c2 (c1 ? c2 ) 之间时,用任一平面z ? z(c1 ? z ? c2 )去截??
??? f ( x, y, z )dxdydz ? ?c1 dz ?? f ( x, y, z )d? ,
c2

得平面域D( z )(c1 ? z ? c2 ), 则将三重积分化为
?
D( z)

这就是“切片法”,或称“先2后1”法.

当被积函数与x, y无关,或 ?? f ( x, y, z )d? D( z) 容易计算时,使用此法比较方便.

例1.12 求I ? ???
?

e dxdydz, 其中? 是由 2 2 x ?y

z

锥面z ? x 2 ? y 2 与平面z ? 1和z ? 2所围成的立体.
解 用z ? z 截? 得 D( z ) : x ? y ? z (1 ? z ? 2).
2 2 2

2 z e 1 ? I ? ??? dxdydz ? ?1 e dz ?? d? 2 2 2 2 ? D( z ) x ?y x ?y 2 z 2π z ? d? 2 z ? ?1 e dz ?0 d? ?0 ? 2π ?1 ze dz ? z 2 ? ze ? ? 2 e z dz ? ? 2πe 2 . ? 2π ? 1 1 ?

z

例1.13 求I ? ??? z dxdydz, 其中? 是由yOz平
2

?

面内直线z ? 1, z ? 2及曲线y ? 1 ? z 所围平面
2

区域绕z轴旋转而成的空间区域.
解 旋转体侧面? 的方程为x2 ? y 2 ? z 2 ? 1. 用z ? z截? 得D( z ) : x ? y ? 1 ? z (1 ? z ? 2).
2 2 2

I ? ??? z dxdydz ? ?1 z dz ?? d?
2 2 2

?

D( z)

?z ? z ? ? π ?1 z (1 ? z )dz ? π ? 3 5 ?1 ? ? ? 7 ? 31? ? 128 π. ?π ? 3 5 ? 15 ? ?
2 2 2 3 5

2

5.利用对称性和轮换对称性,简化三重 积分的计算 关于对称性计算三重积分的结论与
二重积分的结论相仿,只要注意到x ? 0, y ? 0, z ? 0是坐标面即可.例如,

若? 关于z ? (即xOy面)对称,则 0
f 是z的奇函数, ? 0, ? ??? f ( x, y, z )dV ? ?2 ??? f ( x, y, z )dV, f 是z的偶函数. ? ? ?上 ?

若三个积分变量 x, y, z (或其中两个)在 ? 的方 程中具有轮换对称性,或曰地位一样,则有

??? g ( x)dV ?
?

??? g ( y)dV ?
?

g ( z )dV ? 1 ??? ? g ( x) ? g ( y ) ? g ( z ) ?dV . ??? 3 ? ?

例如,

x 2 dV ? 1 ??? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ?dV ??? 2 3 x2 ? y2 ? z 2 ?1 2 x ? y 2 ? z ?1

1 2π d? π sin?d? 1 r 4dr ? 4 π. ? ? ?0 ?0 3 0 15

(09考研)

x 2 ? y ? z ?1

??? 2 z dxdydz ? ________. 2
2

例1.14 求I ? ??? (2 x ? 3 y ? 5z )dV , 其中
2 2 2

? ? ?( x, y, z ) x ? y ? z ? 1, z ? 0?.
2 2 2

?

解???记?0 ? ( x, y, z ) x ? y ? z ? 1 ,则
2 2 2

?

?

I ? 1 ??? (2 x 2 ? 3 y 2 ? 5z 2 )dV 2 ?0 1 ?? 2 ? 3 ? 5? x 2 dV ? ? ? ??? ? 2? ?0 ? ? 5 ??? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? dV 3 ?0 5 2 π d? π sin ? d? 1 r 4 dr ? 4π . ? ?0 ?0 ?0 3 3

6.利用形心坐标公式可较快地求出某 些重积分
例1.15 求I ? ?? ? x ? y ? dxdy, 其中 D 2 2 D ? ?( x, y) x ? y ? x ? y ? 1?.
解 显然D ? ( x, y ) ? x ?
1 形心 x, y ? 1 , ; 面积A ? 3π . 2 2 2
D D

? ?

? ?

?

1 2

?

2

??y?

1 2

?

2

?3 的 2

?

? ?? ? x ? y ? dxdy ? ?? xdxdy ? ?? ydxdy
D

? xA ? yA ? 1 A ? 1 A ? 3π . 2 2 2

又如
x2 ? ( y ? 2) ? z 2 ?1 a2 b2 c2
2

???

ydxdydz ? yV椭球 ? 2 ? 4π abc ? 8π abc. 3 3

例1.16 求I ? ??? ydxdydz, 其中

? ? ( x, y , z ) x ? ? y ? 2 ? ? z 2 ? 4 .
2 2

?

?

?



显然? ? ( x, y, z ) x ? ? y ? 2 ? ? z 2 ? 4 的
2 2

?

?

形心的y坐标 y ? 2; 体积V ? 32π . 3

64π . ? I ? ??? ydxdydz ? yV ? 3 ?

? x ? x(u , v), 定理 设变换 ? 是从坐标平面uOv中 ? y ? (u, v) 的有界闭域D?到坐标平面xOy中的有界闭域D上的 双射,函数x(u, v), y (u, v)在D ?上有连续的一阶偏导 数, f ( x, y )在D上连续.若除有限个点或有限条线段 ? ( x, y ) xu? 外Jacobi行列式 ? ? (u, v) yu ? xv? ? 0, 则 yv?

7.重积分的一般变量替换 (1)二重积分的一般变量替换公式

?( x, y) dudv. ?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ? x(u, v), y (u, v) ? ?(u, v) D D?

注 : 做怎样的变换, 要根据两条: ①使得对新变量u, v积分的积分限容易确定;
②使得对新变量u, v积分比原来的积分容易计算.

? ( x, y ) ? ( x, y ) 此外,计算 时可利用关系式 ? 1 . ? (u, v) ? (u, v) ?(u, v) ? ( x, y )
例如极坐标系中二重积分的计算公式,可理解为
? x ? ? cos ? , ? ?( x, y) cos ? 极坐标变换 ? ? ?( ? ,? ) ? sin ? ? y ? ? sin ? ?
D D?

? ? ? sin ? ? ??: ? cos ? ?

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ? ? cos ? , ? sin ? ? ? d? d? .

(2)三重积分的一般变量替换公式
类似地, 有 ??? f ( x, y, z )dxdydz
?

?( x, y, z ) ? ??? f ? x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w) ? dudvdw, ?(u, v, w) ??
? xu ?(x, y, z ) ? 其中Jacobi行列式 ? yu ?(u, v, w) ? zu xv? yv? ? zw ? xw ? yw ? 0. ?? zw

例如球坐标变换的Jacobi行列式 sin? cos ? rcos? cos ? ?r sin ? sin ? ?(x, y, z ) ? sin ? sin ? r cos ? sin ? r sin ? cos ? ? r 2 sin ?. ? (r , ? , ? ) cos ? ?r sin ? 0

例1.17 求由曲线xy ? 2, xy ? 3, y ? x, y ? 2 x所围
2 2

成的闭域D的面积.
? xy ? u, ? 2 解 作变换 : ? y 则D? ? {(u, v) 2 ? u ? 3,1 ? v ? 2}, ? x ? v, ? ? ( x, y ) 1 ? = ? 1 2 ? 1 ,故 ? (u , v) ? (u, v) 3v 3y y x ? ( x, y ) x y2 2 y ? 2 x x

?( x, y) 1 3 du 2 1 dv ? 1 ln 2. S ? ?? dxdy ? ?? dudv ? ?2 ?1 3 v 3 D D ? ? (u , v)

y? ? ( x ? y )ln ?1 ? ? x? ? 例1.18(09全国竞赛) 求?? dxdy, 其中 D 1? x ? y D由直线x ? y ? 1与两坐标轴所围成的三角形.
y 解 令x ? y ? u, ? v, 则D? ? {(u, v) 0 ? u ? 1,0 ? v ? ??}, x ?u 1 1 ? v (1 ? v) 2 u , y ? uv ,? ? ( x, y ) ? ?x ? ? u 2 , 于是 1? v 1? v ? (u, v) (1 ? v) v u 1 ? v (1 ? v) 2
原式 ? ?? u ln(1 ? v) 1? u
D?

u dudv ? 1 u 2 du ?? ln(1 ? v) dv ?0 ?0 2 (1 ? v) (1 ? v)2 1? u
? ?

? 16 ?1 ? 16 . 15 15

分部积分

8.杂例
若F (u , v) ? ??
Duv

y
x2 ? y 2 ? u 2

例1.19 (08考研)设函数f 连续, f (x ? y )
2 2

x2 ? y 2 ? 1

x2 ? y 2

dxdy, 其中
v
O
2

?F . Duv为图中阴影部分,求 ?u
解 ? F (u, v) ? ??
Duv

x

f (x ? y )
2

x ?y
2

2

dxdy

? ?F ? v u f ( ? 2 )d? ? ? vf (u 2 ). ? ? ?1 ?u
?u

? ?0 d? ?1
v

u

f (? )
2

? d? ? v ?1 f ( ? 2 )d?
u

例1.20(09考研) 计算二重积分?? ( x ? y)dxdy, 其中
D ? {( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2, y ? x}.
2 2

D

y

解 如图,在极坐标下 D ?0 ? ? ? 2(sin ? ? cos? ), ? x D:?π O ? ? ? 3π . ?4 4 ? 3π 2(cos ? ? sin ? ) 4 ? ?? ( x ? y)dxdy ? ? π d? ?0 ( ? cos ? ? ? sin ? ) ? d?
D 4

8 (cos ? ? sin ? )3 (cos ? ? sin ? )d? ? ? 3 8 (cos ? ? sin ? )3 d(cos ? ? sin ? ) ? ? 3 3π 2 (cos ? ? sin ? )4 4 ? ? 8 . ? π 3 3 4

3π 4 π 4 3π 4 π 4

例1.21(11考研数2) 设平面区域D由直线y ? x, 圆x ? y ? 2 y及y轴所围成, 则?? xydxdy ?
2 2 D

7 _________ . 12

解 如图,在极坐标下
? 0 ? ? ? 2sin ? , ? D : ?π ?? ? π. ?4 2 ?

y

D
O

x

? ?? xydxdy ? ? d? ?0
D π 2 π 4

π 2 π 4

2sin ?

? cos? ? ? sin ? ? ? d?

? 4? sin ? cos? d?
5

? 4 sin ? ? 7 . 6 12
6

π 2 π 4

例1.22(1)(10考研数 2) 求I ? ?? r sin? 1 ? r cos 2? drd? ,
2 2

其中D ? (r ,? ) 0 ? r ? sec? ,0 ? ? ? π . 4

?

D

?

y (1,1) y?x
??π
4

解 D如右图所示.

D

r ? sec?

对I在直角坐标系下计算.

O

1

x

I ? ?? r 2 sin? 1 ? r 2 cos 2 ? ? r 2 sin 2 ? drd?
D
1 x ? 1 ?0 dx ?0 1 ? x 2 ? y 2 d(1 ? x 2 ? y 2 ) ? ?? y 1 ? x ? y dxdy 2 D 3 1? 2 2 ? 1 1 ? (1 ? x ) dx 1 π ? ?0 ? ?02 ?1 ? cos3 t ? cos tdt ? 3 ? ? ? 3 1 ? 1 π cos 4 tdt ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? π ? 1 ? π . ? ?02 3 3 3 3 4 2 2 3 16

2

2

例1.22(2)(12考研数3) 设f (t )连续, 则二次积分
d? ?2 cos ? f ( r 2 )rdr ? ( B ). ?
2

π 2 0

y
2
r?2

(A) ?0 dx ?
2

4? x2 2 x ? x2 4? x2 2 x? x
2

x ?y
2

2

f ( x ? y )dy
2 2

D
r ? 2cos?

(B) ?0 dx ?
2 2

f ( x 2 ? y 2 )dy
x ?y
2 2

(C) ?0 dx ?1?
2

4? x2 2 x ? x2 4? x2 2 x ? x2

f ( x ? y )dy
2 2

O

2

x

(D) ?0 dx ?1?

f ( x 2 ? y 2 )dy

解 D如上图所示,在直角坐标系下表示为
D ? {( x, y ) 2 x ? x 2 ? y ? 4 ? x 2 ,0 ? x ? 2},d? ? dxdy,
π 2 0
2

? ? d? ?2 cos ? f (r )rdr ? ?? f ( x ? y )d? ? ?0 dx ? D 选B.
2 2 2
2

4? x2 2 x ? x2

f ( x ? y )dy.
2 2

n ? ( D ). 2 2 n ?? i ?1 j ?1 (n ? i )(n ? j ) 1 x 1 x 1 1 (A) ? dx ? dy. (B) ? dx ? dy. 2 0 0 (1 ? x )(1 ? y ) 0 0 (1 ? x )(1 ? y )
1 (C) ? dx ? dy. 0 0 (1 ? x )(1 ? y )
解 原式 ? lim ??
n ?? i ?1 n n

例1.23(10考研) lim ??

n

n

1

1

(D) ? dx ?
0

1

1 dy. 2 0 (1 ? x )(1 ? y )

1

? ? ?? n ? ? n ? 1 1? ? lim ? ?? 1 1 ? ? ? n ?? ? i n ? j ?1 ? ? j ?2 ? n ? ? ? i ?1 1 ? n ? ?1 ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ? ? j ?2 ? j ?1 2 n 1 ? i ?1 ? ? ? ? n ? ?n? ? ? ?

? ?

? ?

? n ? ? lim ?? n ?? ? i ?1 ?

? ?

= ? 1 dx 0 1? x

?

? ? ? ?? n 1 1 ? ?lim 1 1? ? ? i n ? ?n?? ? ? ? j ?2 ? n ? j ?1 1? ? n ?? ?1 ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1

?

1 dy ? 1 dx 1 1 ?0 1+y 2 ?0 ?0 (1 ? x)(1 ? y 2 ) dy.

1

选 D.

例1.24 设? ( x)是[0, 1]上的正值连续函数,a与b 为任意常数, 区域D ? ?( x, y ) 0 ? x, y ? 1? ,则 a? ( x) ? b? ( y ) I ? ?? dxdy ? ( D ). D ? ( x) ? ? ( y ) (A) a (B) b (C) a ? b (D) a ? b 2 1 1 a? ( x ) ? b? ( y ) 解 I ? ?0 dx ?0 dy 交换x, y得 ? ( x) ? ? ( y )

?

?

a? ( y ) ? b? ( x) ? ?0 dy ?0 dx ? I , ? ( y ) ? ? ( x) 1 ? a? ( x) ? b? ( y ) ? a? ( y ) ? b? ( x) ? dxdy I ? ?? ? 2 D ? ? ( x) ? ? ( y ) ? ( y ) ? ? ( x) ? ? ? 1 ?? ? a ? b? dxdy ? a ? b . 选D. 2D 2
1 1

事实上D关于y ? x对称,故

a? ( x) ? b? ( y ) a? ( y ) ? b? ( x) I ? ?? dxdy ? ?? dxdy D ? ( x) ? ? ( y ) D ? ( y ) ? ? ( x)

? a? ( x) ? b? ( y ) a? ( y ) ? b? ( x) ? ? 2I ? ?? ? ? ? dxdy ? ( y ) ? ? ( x) ? D ? ? ( x) ? ? ( y )

? ?? ? a ? b? dxdy ? (a ? b) ?1,
D

从而 I ? a ? b . 2

例1.25 设f 连续,若F (t ) ? ??? ? z ? f ( x ? y ) ? dV ? ? ?
2 2 2

? x ? y ? t , dF (t ) 其中? : ? 求 . dt ?0 ? z ? h. 解 ? F (t ) ? ??? z 2 dV ? ??? f ( x 2 ? y 2 )dV
2 2 2

?
t

?

? ?0 d? ?0 ?d? ?0 z dz ? ?0 d? ?0 f ( ? ) ? d? ?0 dz
2π h 2 2π t 2 h

πh3t 2 ? 2πh t f ( ? 2 ) ? d? ? ?0 3 dF (t ) 2πh3t 2 ? ? ? 2πhtf (t ). dt 3

例1.26 设f , g连续,试用二重积分证明定积分的
Cauchy不等式: ? ?a f ( x) g ( x)dx ? ? ? ?ab f 2 ( x)dx ? ? ?ab g 2 ( x)dx ? . ? ? ? ?? ?
b 2

提示:考虑积分 ?? ? f ( x) g ( y ) ? f ( y ) g ( x) ? dxdy,
2 D

其中D ? {( x, y) a ? x ? b, a ? y ? b}.

例1.27 设f ( x)在[0,1]上连续、单调减且恒大于零,
?0 xf ( x)dx ?0 f ( x)dx 试证: 1 ? 1 . ?0 xf ( x)dx ?0 f ( x)dx
2 2 1 1


1

? f ( x) ? 0,
2 1

xf ( x)dx ?0 f 2 ( x)dx ?0 ? 1 ? 1 ?0 xf ( x)dx ?0 f ( x)dx ? ?0 xf ( x)dx ??0 f ( x)dx ? ?0 xf ( x)dx ? ?0 f 2 ( x)dx
1 1 2 1 1 1

? ?0 xf ( x)dx ? ?0 f ( x)dx ? ?0 xf ( x)dx ??0 f ( x)dx ? 0.
1 2 1 2 1

记D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1}.

? I ? ?0 xf ( x)dx ? ?0 f ( x)dx ? ?0 xf ( x)dx ??0 f ( x)dx
1 1 2 1 2 1

? ?0 xf ( x)dx ?0 f ( y )dy ? ?0 f ( x)dx ?0 yf ( y )dy
1 1 2 1 1 2

? ?? xf ( x) f ( y )dxdy ? ?? yf ( x) f ( y )dxdy
2 2 D 2 D

? ?? f ( y ) f ( x)( x ? y )dxdy;..........................(1)
D

又I ? ?0 yf ( y )dy ?0 f ( x)dx ? ?0 f ( y )dy ?0 xf ( x)dx ? ?? yf ( y ) f 2 ( x)dxdy ? ?? xf ( y ) f 2 ( x)dxdy
1 1 2 1 1 2 D 2 D

? ?? f ( y ) f ( x)( y ? x)dxdy;.........................(2)
D

(1) ? (2)得 2 I ? ?? f ( x) f ( y )( x ? y )[ f ( y ) ? f ( x)]dxdy.
D

? f ( x) ? 0, f ( y ) ? 0, 且由f ( x)单调减知 ( x ? y )[ f ( y ) ? f ( x)] ? 0, ? 2 I ? ?? f ( x) f ( y )( x ? y )[ f ( y ) ? f ( x)]dxdy ? 0,
D

即I ? 0.
例1.28(09竞赛) 设f (t )为连续函数,求证 ?? f ( x ? y )dxdy ? ?? A f (t )( A ? t )dt ,
A

其中D ? ( x, y ) x ? A , y ? A . 2 2

?

D

?

证 ?? f ( x ? y)dxdy ? ? dx ?
D

A 2 ?A 2

A 2 ?A 2

f ( x ? y)dy

t

A
A 2 ?A 2

x? y ?t

? dx ?

A 2 ?A 2

x? A 2 x? A 2

f (t )(?1)dt

A t ? x? A ? 2 ?A2 2

O

x

? ? dx ?
0

A 2 ?A 2

x? A 2 x? A 2

f (t )dt
t? A 2 A ? 2

? t ? x? A 2 ?A
A A 2 t? A 2

? ?? A f (t )dt ?
0

dx ? ?0 f (t )dt ?
A

dx

? ?? A f (t )( A ? t )dt ? ?0 f (t )( A ? t )dt
? ?? A f (t )( A ? t )dt ? ?0 f (t )( A ? t )dt
0 A

? ?? A f (t )( A ? t )dt.
A

例1.29 设I ? ??? ? ex ? e y +ez ? dV , 其中

? ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, z ? 0}, 则I =( D ).
(A)??? 3e dV
z

?

(C)??? (2e z ? e y )dV
?

?

(B)??? 3e x dV
?

(D)??? (2e x ? e z )dV
?


?

? 在?的方程中x, y具有轮换对称性,
x y

? ??? e dV ? ??? e dV,从而有 I ? ??? ? e ? e +e ? dV ? ??? ? 2e +e ? dV .
x y z x z

?

?

?

选 D.

例1. 30(12考研数3) 计算I ? ?? e xydxdy, 其中D是以
x D

曲线y ? x与y ? 1 及y轴为边界的无界区域. x

? 1 , 0 ? x ? 1? (见下图). 解 D ? ?( x, y) x ? y ? ? x ? ? y
I ? ?? e xydxdy ? lim ? dx ? ?
x D 1

1 1 ex x 1 ? x dx ? lim ? O 1 ? ?0? 2 ? x 1 1 ex 1 ? x2 dx ? 1 1 ex 1 ? x2 dx ? lim ? ? ? 2 ?0 ? ? ? ? ?0 2 ? 1 1 e x dx ? 1 1 x 2e x dx ? 1 . ? ? 2 0 2 ?0 2

? ?

? ?0

?

1 x x

e x xydy
D

y? 1 x

y? x

x

例1. 31(11竞赛) 设f ( x, y )是连续函数,且满足 f ( x, y ) ? xy ? ?? f ( x, y )dxdy, 其中D是由x轴、y轴及直线
xy ? 1 x ? y ? 1所围区域, 则f ( x, y ) ? ________ . 12
D

解 记?? f ( x, y)dxdyA, 则f ( x, y) ? xy ? A, 积分得
A ? ?? xydxdy ? A?? dxdy
? ? dx ?
0

D

y

1

D 1

1? x

0

xydy ? A?? d?
D

D

x ? y ?1

D

O

于是

? 1 ? 1 A, ? A ? 1 . 24 2 12 f ( x, y) ? xy ? 1 . 12

1

x

例1. 32(05竞赛) 设正值函数f ( x)在闭区间[ a, b]上连续,

?

b

a

f ( x)dx ? A, 证明:

?

b

a

f ( x)e

f ( x)

dx ?

b

a

1 dx ? (b ? a)(b ? a ? A). f ( x)

证 记D ? {( x, y) a ? x ? b, a ? y ? b}.
1 dx ? b f ( x)e f ( x ) dx b 1 dy. ?a f ( x)e dx ?a f ( x) ?a ?a f ( y) f ( x) f ( x ) f ( y) f ( y ) ? ?? e dxdy ? ?? e dxdy f ( y) f ( x) D D
f ( x) b b

f ( x )? f ( y ) f ( x) f ( x ) f ( y ) f ( y ) ? 1 ? ? ?? ? e ? e ? dxdy ? ?? e 2 dxdy 2 D ? f ( y) f ( x) ? D

? f ( x) f ( y ) ? 2 ? ?? ?1 ? ? ? dxdy ? (b ? a) ? ?? f ( x)dxdy 2 2 ? ? D D b b ? (b ? a)2 ? ? dy ? f ( x)dx ? (b ? a)2 ? (b ? a) A.
a a

例1. 33(10竞赛) 在曲面z ? 4 ? x 2 ? y 2上求一点P,使该曲面 在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面( x ? 1)2 ? y 2 ? 1所围空 间区域的体积最小.

解 记V1是以曲面z ? 4 ? x2 ? y2为顶、以z ? 0为底、以圆
柱面( x ?1)2 ? y2 ? 1为侧面的立体的体积,显然为常数. 记V2是 以P点处的切平面为顶、以z ? 0为底、以圆柱面( x ?1)2 ? y 2 ? 1
为侧面的立体的体积, 所求区域的体积V ? V1 ? V2 .于是问题可 化为求V2的最大值点P.
设P点坐标为(? ,?, ? ).则曲面在P点处的法向量为(2? , 2?, ?1),

切平面方程为2? ( x ? ? ) ? 2? ( y ?? ) ? ( z ? ? ) ? 0, 又? ? 4 ? ? 2 ?? 2 ,

故 z ? 2? x ? 2? y ? 4 ? ? 2 ?? 2 . 于是
V2 ? ?? zd? ? ?? (4 ? ? 2 ?? 2 )d? ? 2?? (? x ?? y)d? , D : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1.
D D D

由对称性及几何意义(并使用极坐标计算)得
V2 ? (4 ? ? 2 ?? 2 )π ? 2?? ? xd? , D : ? ? 2 cos? .
D
2 2 π 2 ?π 2 π 2
0

? (4 ? ? ?? )π ? 2? ? cos ? d? ?
? (4 ? ? ? ? )π ? 4? ?
2 2

2cos?

0

? 2d?

8cos 4 ? d? 3

? (4 ? ? 2 ?? 2 )π ? 2? π ? π(4 ? 2? ? ? 2 ?? 2 ),(? ,? ) ? D:(? ?1)2 ?? 2 ? 1.

? ?V2 ? ?? ? 2π(1 ? ? ) ? 0, ? 由? 解得唯一驻点(1, 0). 且V2 (1,0) ? 5π; ? ?V2 ? ?2π? ? 0 ? ?? ? 当(? ,? ) ??D : (? ?1)2 ?? 2 ? 1时,有2? ? ? 2 ?? 2 ? 0, 故V2 ? 4π. 于是经
比较知V2 (1,0) ? 5π是最大值. 因此, P(1,0,5)为所求点.

? x ? ? cos ? , ? : ? y ? ? sin ? , 例1. 11竞赛经管)设(1)闭曲线? 是由圆锥螺线OA ? 34( ? z ?? ? (0 ? ? ? 2π)与直线段 AO构成, 其中O(0, 0, 0), A(2π, 0, 2π); (2)闭曲线? 将其所在的圆锥面z ? x 2 ? y 2 划分成两部分, ? 是其中有界部分. ? 在xOy面上的投影区域为D. (I)求D上以 ? 为曲顶的曲顶柱体的体积. (II)求曲面 ? 的面积.
?
A

z

? 解 ? ? OA ? AO在xOy面上的投影
L ? C ? OA?(见右图),其中C为阿
O

O

y

y
2π B
D

x
x

基米德螺线,C的极坐标方程为

? ? ? (0 ? ? ? 2π),而OB : ? ? 0(0 ? ? ? 2π). D就是L所围区域.

(I) V ? ??

D

x ? y dxdy ? ?
2 2

2π 0

d? ? ? d?
2 0

?

1 3 4 4 ?? ? d? ? π . 0 3 3 (II) ? ? 的曲面面积元素


? 2 ? z? 2 ? 1d? ? 2d? , dS ? z x y
? S ? ?? dS ? ??
D D

2 d? ? 2 ? d? ? ?d?
0 0



?

2 2π 2 4 2 3 ? ? 0 ? d? ? 3 π . 2

解 画出D的草图如右. 易得三直线两两的交点依次为 (0,0),(2,6),(6,2).(见图)

例1.35(13考研数2, 设平面区域D由直线x ? 3 y, 3) y ? 3x, 及x ? y ? 8围成, 计算?? x 2dxdy. D y y ? 3x
6
2
D1

(2,6)

y ?8? x D y?1x D
2

(6, 2)

3

用直线x ? 2将D分为 O ? 1 x ? y ? 3 x, ? 1 x ? y ? 8 ? x, ?3 ?3 D1 : ? 与D2 : ? ?0 ? x ? 2 ?2 ? x ? 6. ? ?
2
1 2

2

6

8

x

3 8 ? ?? x dxdy ? ?? ? ?? ? ?02 x 2dx ?x x dy ? ?26 x 2dx ? x ? x dy D D D 3 3

8 2 x3dx ? 6 (8 x 2 ? 4 x3 )dx ? 32 ? 1664 ? 1280 ? 416 . ? ?0 ?2 3 3 3 3 3 3

例1.36(13考研数1)设直线L过点A(1,0,0), B(0,1,1)两 点, 将L绕z轴旋转一周得到曲面? .? 与平面z ? 0, z ? 2 所围成的立体为? .

(I)求曲面? 的方程;
? x ? 1 ? t, x ? 1 ? y ? z ? L : ? y ? ?t , 解 (I)(已讲)易知L : ? 1 ?1 ?1 ? z ? ?t. ?
设M ( x, y, z )即M (1 ? t , ?t , ?t )为? 上任意一点, 则有
? x ? y ? (1 ? t ) ? (?t ) , ? ? z ? ?t.
2 2 2 2

(II)求?的形心坐标.

消去参量t得? ?的方程为 x ? y ? (1 ? z ) ? z ,即
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 2 z ? 1.

(II)设形心坐标为 x, y, z .由对称性知x ? y ? 0.
?V ? ??? dxdydz ? ?0 dz ?? dxdy ? ?0 dz dxdy ?? ? Dz x ? y ? 2 z ? 2 z ?1 2 ? ?0 (2 z 2 ? 2 z ? 1)dz ? 10π , 3 2 2 M xy ? ??? zdxdydz ? ?0 zdz ?? dxdy ? ?0 z (2 z 2 ? 2 z ? 1)dz
2 2
2 2 2

?

?

?

Dz

M xy ??? zdxdydz 7 ? 14π , ? z ? ? ? ? . 3 V ??? dxdydz 5 ? 于是?的形心坐标为 0,0, 7 .. 5

?

?

例1.37 (12竞赛) 设? 是以原点及点(0,1,0),(1,1,1) 和(0,1,1)为顶点的四面体.
(I)将 ??? e
?
x2 ? y 2 ? z 2

dV 表示为"先z次y后x "的三次积分;

(II)证明 : ??? e
?

x2 ? y 2 ? z 2

1 2 e x dx 3 . dV ? ?0 z 6
2

?

?

? x ? z ? y, ? 解 (I)? : ? x ? y ? 1, 见右图. ? 0 ? x ? 1. ?
??? e
?
1

1

(0,1,1)

z ? y?
?

?
z ? x (0,1, 0)
1
y
(1,1,1)

O

D

x2 ? y 2 ? z 2

dV ? ?? dxdy ?x e
y D
x2 ? y 2 ? z 2

x2 ? y 2 ? z 2

dz
x

1

y?x

? ?0 dx ?x dx ?x e
1 y

dz.

?1 ? z ? 1, ? (II)记?0 : ?1 ? y ? 1, 见右图. ?1 ? x ? 1. ? 由轮换对称性知

z

?0
O

1

?
1
y

??? e
?

x2 ? y 2 ? z 2

dV ? 1 ??? e x ? y ? z dV 6 ?0
2 2 2 2
2 2

1

x
2

1 e x e y e z dV ? 1 1 e x dx 1 e y dy 1 e z dz ? ??? ?0 ?0 6 ?0 6 ?0
2 2

? 1 ?0 e dx . 6
1 x2

?

?

3

II.曲线积分、曲面积分
?1.第一类曲线积分、曲面积分与重积分 之比较 ?2.第二类曲线积分、曲面积分与向量值 函数的曲线、曲面积分

?3.曲线积分的计算 ?4.曲面积分的计算
?5.曲线积分、曲面积分与积分路径无关问题
以及全微分式的原函数的求法

?6.杂例

1.第一类曲线积分、曲面积分与重积分 之比较 (1)Riemann积分? ? f (M )d?概念
设? 为有界的可度量的几何形体(比如可求长的
直线段、曲线段,可求面积的平面域、曲面块,可求体积 的空间区域等等), f ( M )是在? 上有定义的函数.

将? 任意分割为n个可度量的子块??1 , ??2 ,?, ??n , 将所有子块??i的直径(??的任意两点间距离的最大值) 的最大值记为? , 将??i的度量(长度,面积,体积等)仍 记为??i (i ? 1,2,?, n); 在每个??i 上任意取一点M i , n 作乘积f (M i )??i (i ? 1,2,?, n); 作和式:? f ( M i )??i ;
i

i ?1

若不论对? 如何分割, 也不论点M i 如何选取,当? ? 0 n 时Riemann和式? f ( M i )??i的极限都存在且相等(设
为I ), 则称f (M )在? 上Riemann可积,并将极限值I 称
i ?1

为f (M )在? 上的Riemann积分,记为 ? ? f ( M )d? ,即

? ? f ( M )d? ? lim ? f ( M i )??i ? I , ? ?0
其中? 称为积分域, f (M )称为被积函数,d? 称为?的 度量元素(面积元素、弧长元素、体积元素等). 由定义可知,R-积分存在的必要条件是f ( M )在 ? 上有界. 可积的一个充分条件是f (M )在? 上连续. 还可得出Riemann积分具有线性性、对积分域的可 加性、保序性以及中值定理.
i ?1

n

(2)上限大于下限的定积分、重积分、对弧
长的曲线积分、对面积的曲面积分都是Riemann积分.
当Riemann积分

??

中 ? ? L ? R2 f (M )d?

(平面曲线段) 或 ? ? ? ? R3 (空间曲线段), f 是定义在

L 或 ? 上的函数时,就是对弧长的曲线积分,也称为第一
类曲线积分,记为

?

L

f ( x,y )d s 或 ? ? f (x, y, z )ds ,其中

ds 是 L或? 的弧长元素(弧微分).

当Riemann积分

? ? f (M )d? 中 ? ? ? ? R ,
3

f 是定义在? 上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为
第一类曲面积分,记为 ? ? f (x, y, z )dS ,其中dS 是 ? 的曲
面面积元素.

可分别由求质量非均匀分布曲线段和曲面块

的质量引出.在概念上与重积分是一样的,只是积
分域不同而已.

因此,第一类曲线积分和曲面积分的存在条件、 性质、物理应用以及利用对称性、几何意义简化 计算等,都与重积分相同. 但由于被积函数只是定义在曲线? 或曲面? 上,积分变量必须满足曲线? 或曲面? 的方程,故计 算时可以而且应该将? 或? 的方程代入被积式!

?L ? 2 xy ? 3x ? 4 y ?ds. ?
2 2

x ? y ? 1,其周长为l , 求 例2.1 设L为椭圆 4 3
2

2

解 ?L ? 2 xy ? 3x 2 ? 4 y 2 ?ds = ?L 2 xyds + ?L ? 3 x 2 ? 4 y 2 ?ds, ? ? ?

由于L对称于x ? 0( y轴),且2 xy是x的奇函数,故
3x 2 ? 4 y 2 ?ds ? ?L 12ds ? 12l , 所以 ? ? ?L 2 xyds ? 0,而?L ? ?

?L ? 2 xy ? 3x ? 4 y ?ds ? 12l. ?
2 2

例2.2 求I ? ?? ? x ? y ? 1? dS , 其中? : z ? a 2 ? x 2 ? y 2 .
?

解 由于? 对称于x ? 0( yOz面),故?? xdS ? 0; 类似地,? 对称于y ? 0( zOx面),故?? ydS ? 0, 于是
?
?
2

4πa ? 2πa 2 . I ? ?? xdS ? ?? ydS ? ?? dS ? 0 ? 0 ? 2 ? ? ?

另解 显然? 的形心坐标为(0, 0, z), 其面积A ? 2πa ,
2

故I ? ?? xdS ? ?? ydS ? ?? dS ? 0 ? A ? 0 ? A ? A ? 2πa .
2

?

?

?

例2.3 求I ? ? ??
?

x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ( x2 ? y 2 ? z 2 )
3 2

dS ,

2 其中? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? a(a ? 0)cos ? , cos ? , cos ? 是? ,

在点( x, y, z )处的外法向量的方向余弦?
x ,cos ? ? y ,cos ? ? z , 解 ? ?( x, y, z) ? ?? 有 cos ? ? a a a

? I ? 13 ? ? x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ?dS ?? a ?
1 x ? y ? z dS ? 1 a 2 dS ? 3? ?? ?? 3 ? a a ? a ? a 1 4πa 2 ? 4π. ? 2 a
2 2 2

2.第二类曲线积分、曲面积分与向量值 函数的曲线、曲面积分
(1)由变力沿曲线? 将物体由?点运动到? 点
的做功W问题,可引出向量函数 ? ? ? ? ? A( x, y, z) ? P( x, y, z)i ? Q( x, y, z) j ? R(, x, y, z)k
的曲线积分 ? ?? ? ? ??(? )A ? ds ? ??(? )Pdx ? Qdy ? Rdz AB AB
? lim ? ? P(?i ,?i , ? i )?xi ? Q(?i ,?i , ? i )?yi ? R(?i ,?i , ? i )?zi ? ,
n

? ? 0 i ?1

和数值函数P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )分别对坐标 x, y, z的曲线积分(也称第二类曲线积分)
?? ( ? ) P( x, y, z )dx ? lim ? P(?i ,?i , ? i ) ?xi , AB ? ?0 ?? ( ? ) Q( x, y, z )dy ? lim ? Q(?i ,?i , ? i ) ?yi , AB ? ?0 ?? ( ? ) R( x, y, z )dz ? lim ? R(?i ,?i , ? i )?zi . AB ? ?0
i ?1 i ?1 n i ?1 n n

与第一类曲线积分一样,第二类曲线积分也

具有线性性 对积分路径的可加性 、 ;与第一类曲线
不同的是,第二类曲线积分具有方向性: ?? ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ??? Pdx ? Qdy ? Rdz.

? ?? ? ? ??( ? )A ? ds 中的 AB ?? ?? ? ? ? ? ? ds ? ? ds ? cos ? dsi ? cos ? ds j ? cos? dsk ? ? ? ? dxi ? dy j ? dzk
称为有向曲线? 的有向弧长元素.

由此,可得两类曲线积分之间的关系:

? ??(? )? P cos ? ? Q cos ? ? R cos? ? ds AB

? ?? ? ? ? ?? ? ? ??(? )Pdx ? Qdy ? Rdz ? ??(? )A ? ds ? ??(? )A ?? ds AB AB AB

(2) 由流速场穿过曲面? 、流向曲面正侧的流
量?的问题, 可引出向量函数 ? ? ? ? ? A( x, y, z) ? P( x, y, z)i ? Q( x, y, z) j ? R(, x, y, z)k
的曲面积分
?

? ??? ? ?? A ? dS ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?
?
n

? lim ? ? P(?i ,?i , ? i )? yz? i ? Q(?i ,?i , ? i )? zx? i ? R(?i ,?i , ? i ) ? xy? i ? , ? ?
? ? 0 i ?1

(其中? yz? i ? cos ? i ?Si , ? zx? i ? cos ? i ?Si , ? xy? i ? cos ? i ?Si, 是有向子曲面块?? i 在yOz , zOx, xOy坐标面上的投 影. )

或数值函数P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z)分别对坐标

y、z, z、x, x、y 的曲面积分(也称第二类曲面积分)
?

?? P( x, y, z )dydz ? lim ? P(?i ,?i , ? i )? yz? i , ? ?0 ?
i ?1 n i ?1 n

n

?

?? Q( x, y, z )dzdx ? lim ? Q(?i ,?i , ? i )? zx? i , ? ?0 ?
i ?1

?

?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(?i ,?i , ? i )? xy? i . ? ?0 ?

第二类曲面积分与第二类曲线积分有完全相同 的性质:线性性、对积分域的可加性和方向性.

? ??? ? ?? A ? dS 中的 ?? ? ??? ??? ? ? ? dS ? n ? dS ? cos ? dSi ? cos ? dS j ? cos ? dS k ? ? ? =dydzi ? dzdx j ? dxdyk 称为有向曲面? 的有向曲面面积元素.

? ?? ? P cos ? ? Q cos ? ? R cos ? ? dS .
?

??

? ??? ? ? ??? ? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? A ? dS ? ?? A ? n dS
?? ?

由此,可得两类曲面积分之间的关系:

3.曲线积分的计算 ( )基本方法—参量法 1
将曲线? 的参量方程代入被积式,化为对参量

定积分:对于第一类,因ds是? 的弧微分,故上限要
大于等于下限;对于第二类,dx ? dy,dz ? 就是x(t )

? y (t ), z (t ) ?的微分,下(上)限是起(终)点处
的参量值.

计算时,可利用对称性、轮换对称性加以简 化,对第二类的要求积分路径的方向也要对称. 对于第一类的还可利用几何意义简化.

必须记住弧微分公式:

? x ? x(t ), ? 对于? : y ? y (t ), ? ? t ? ?,ds ? x?2 (t ) ? y ?2 (t ) ? z ?2 (t )dt , ? ? z ? z (t ), ?
?2 dx, 对于L : y ? y( x) ? a ? x ? b ? , ds ? 1 ? y 对于L : x ? x( y ) ? c ? y ? d ? , ds ? 1 ? x?2 dy, 对于直线段L : y ? kx ? h, ? a ? x ? b ? , ds ? 1 ? k 2 dx, ?2 d? . 对于L : ? ? ? (? ) ?? ? ? ? ? ? , ds ? ? ? ?
2

例2.4 求柱面y ? z ? 2 z被锥面y ? z ? x
2 2 2 2

2

所截的有限部分的面积S . x

O

z

y



有两种积分可以用来计算曲面? 的面积S :
?

a)二重积分(可先用曲面积分表示为S ? ?? dS ): ?2 ? z ? 2 dxdy (? : z ? z ( x, y )), 等. S ? ?? 1 ? z x y
Dxy

在投影域D 上单值!
xy

b)第一类曲线积分:对于柱面? : F ( x, y ) ? 0介 于z ? 0与z ? z ( x, y )之间的部分面积 ? F ( x, y ) ? 0, S ? ?L z ( x, y )ds,其中ds是L: 的 ? ? z?0 弧微分.

解法1

利用图形的对称性:S ? 4S1 .
x

为保证? 1是单 值(平行于坐标轴的 任意直线与? 1至多只 有一个交点)的,故

?1
o

将? 1向zOx平面投影.
2 z

?1 : y ? 2 z ? z ,
2
.

y

( x, z ) ? Dzx .

? x ? 2 z (0 ? z ? 2), ? y ? z ? 2z ? x2 ? 2 z ? L:? ? L:? ? 2 2 2 ?y ? 0 ?y ? z ? x ? y ? 0. x x ? 2z ? 0 ? x ? 2z , 于是Dzx : ? Dzx ?0 ? z ? 2. z O 2 2 ? 1? z ? 2 1 ? dS ? 1 ? ? ? 0 dxdz ? dxdz, ? 2 2 2z ? z ? 2z ? z ?
2 2
. . . .

? S ? 4S1 ? 4 ??
.

Dzx

dxdz ? 4 2 dz 2 z 1 dx ?0 ?0 2 2 2z ? z 2z ? z

? 4?0

2

2 z dz ? 4 2 2 dz ? 16. ?0 2 2? z 2z ? z

解法2

利用图形的对称性:S ? 4S1 .
x
x ? 2z

? y ? 2z ? z2 , ? ? 1可视为以L : ? ?x?0 ? 为准线、母线平行于Ox轴 的柱面,在曲线? :x ? 2 z 与L之间的部分(见右图) .
2

?1
O
L : y ? 2z ? z2

z

y

? S ? 4S1 ? 4?L xds ? 4?0 2 z ? 4 2 ?0
2

dz 2 2z ? z
2

dz ? 4 2 ? ?2 2 ? z ? ? 16. ? ?0 2? z

例2.5 求 I ? ?? ( x 2 ? y 2 ? 2 z ) ds, ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? R2 , 其中? : ? . ?x ? y ? z ? 0 解 由轮换对称性知:

x 2 ds ? ?? y 2 ds ? ?? z 2 ds ? 1 ?? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ds ?? ? ? ? ? 3 3 2 2 ? 1 ?? R ds ? R ? 2πR ? 2πR ; ? 3 3 3 ?? zds ? ?? yds ? ?? xds ? ? ? ? 1 ?? ? x ? y ? z ? ds ? 1 ?? 0ds ? 0; ? ? 3 3 3 2 ? I ? 2?? x ds ? 2?? zds ? 4πR . ? ? 3

?? ? y ? a2 ? x2 , ? 例2.6 求力F ? { yz, ?2 zx, 2 xy}沿? : ? ?y?z ?0 ? 将物体由点A(a,0,0)移至点B(?a,0,0)所作的功. ?? ?? ? z 解 W ? ? ? F ? ds
? ( AB )

??
? z ? y,

? (? ) AB

yzdx ? 2 zxdy ? 2 xydz.
A
x

B ?

y

??

? (? ) AB

xzdy ? ?
2

? (? ) AB

xydz, ?
2

? (? ) AB

yzdx ? ?

? (? ) AB

y dx,

2

故 W ??

? (? ) AB

y dx ? ?

?a

a

4a3 . (a ? x )dx ? ? 3
2

(2)利用Green公式计算平面曲线积分 xdy ? ydx 例2.7 计算I ? ?L , 其中L以点(1,0)为 ? 2 2 4x ? y

中心、半径为R的圆周( R ? 1), 取逆时针方向.
解 直接使用参量法计算比较复杂.可在复连

域D : 0 ? x2 ? y 2 ? R2上利用Green公式. ?y ?P ? 2 ,Q ? 2 x 2 , 4x ? y2 4x ? y
y 2 ? 4x2

?Q ?P ? ? , ( x, y) ? (0, 0),即(0, 0)是奇点; 2 ?y ? 4 x 2 ? y 2 ? ?x

故可在L内部任意作一条包围(0,0)点的简单光滑闭
合曲线C, 在L ? C 所围域D?上应用Green公式,得
?

? ydx ? xdy ? ydx ? xdy ? ydx ? xdy ??L ? C ? ? ?C ? ?L ? ? ? 2 2 2 2 2 2 4x ? y 4x ? y 4x ? y ? ydx ? xdy ? ydx ? xdy ? ?? 0d? ? ?C ? ? ?C . ? ? 2 2 2 2 4x ? y 4x ? y D?

这表明:沿着包围奇点的任何正向闭合曲线的积
? ydx ? xdy ? ydx ? xdy 1 ? ?C ? 2 ?C ? ydx ? xdy ?L ? ? ? 2 2 2 2 4x ? y 4x ? y a
Green公式

分均相等.本题宜取C : 4 x2 ? y 2 ? a 2的逆时针方向.

1 2d? ? 2 π ? a ? a ? π. 2 ?? a D a2 2

例2.8(12竞赛理工) 给定曲线积分I ? ?C ( y 3 ? y )dx ? 2 x 3dy, 6 x2 ? 3 y 2 ? 1 其中C为光滑简单闭曲线, 取正向. 当C的方程为 ___________ 时, I的值最大.

解 设D为由C所围成的有界闭域.由Green公式,有

I ? ?C ( y ? y)dx ? 2 x dy ? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy.
3 3 2 2

注意到当6 x2 ? 3 y 2 >1,即在椭圆6 x 2 ? 3 y 2 ? 1之外时, 被积函数1 ? 6 x2 ? 3 y 2 ? 0; 而在椭圆6 x2 ? 3 y 2 ? 1之内时, 被积函数1 ? 6 x 2 ? 3 y 2 ? 0. 记椭圆C0 : 6 x2 ? 3 y 2 ? 1所围

D

域为D0 ; 包围D0的任意简单光滑闭曲线C1所围域记为D1 ; 而含于D0的任意简单光滑闭曲线C2所围域记为D2 .则

?? ? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy
2 2 D1 D0

y
D1 \ D0

? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy
2 2 D1 \ D0

C0

C1

? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy
2 2

? ?? 1 ? 6 x ? 3 y dxdy
2 2 D \ D0

D0

O

D0

D2

x

? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy;
2 2

? ?? (1 ? 6 x 2 ? 3 y 2 )dxdy ? ?? (1 ? 6 x 2 ? 3 y 2 )dxdy ??
D2 D0 D0 \ D2 2 2

D0

? ?? (1 ? 6 x ? 3 y )dxdy. ? I max ? ?? (1 ? 6 x 2 ? 3 y 2 )dxdy ? ?C0 ( y 3 ? y )dx ? 2 x 3dy,
D0 D0

即应取C ? C0 : 6 x2 ? 3 y 2 ? 1.

?( 2013数一) 设L1 : x 2 ? y 2 ? 1, L2 : x 2 ? y 2 ? 2, 例2.8 L3 : x 2 ? 2 y 2 ? 2, L4 : 2 x 2 ? y 2 ? 2为四条逆时针方向的平面 y x3 )dy (k ? 1, 2,3, 4), 则 曲线.若记 I k ? ?L ( y ? )dx ? (2 x ? ? 6 3 max{I1 ,I 2 ,I 3 ,I 4 } ? ( D ).
k

3

(A) I1 .


(B) I 2 .

(C) I 3 .

(D) I 4 .

记Lk 所围域为Dk (k ? 1, 2,3, 4), 则 y3 x3 )dy I k ? ?L ( y ? )dx ? (2 x ? ? 6 3
k

y ? ?? (1 ? x ? )dxdy,(k ? 1,2,3,4). 2 D
2
k

2

y2 2 2 2 因为在 D1 : x ? y ? 1 和D4 : x ? ? 1上被积函数 2 2 y 2 f ( x, y) ? 1 ? x ? ? 0, 而D1 ? D4且D1 ? D4 , 故I1 ? I 4 ; 2 y ? D2 ? D4 ? ( D2 \ D4 ), D
2

而在D2 \ D4上f ( x, y) ? 0, 故 I 2 ? I 4 ? ?? f ( x, y)dxdy
D2 \ D4

D1 D4
O
1
2

x

D3

? I 4 ? ?? f ( x, y ) dxdy ? I 4 ;
D2 \ D4

? D3 ? D4 ? D3 ? ( D3 \ D4 ), 而在D3 \ D4上f ( x, y) ? 0, 故

I 3 ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy
? I 4 ? ?? f ( x, y )dxdy ? I 4 ? ?? f ( x, y ) dxdy ? I 4 ;
D3 \ D4
D3 \ D4

D3 ? D4

D3 \ D4

所以I 4最大.

(2)计算空间第二类曲线积分常用的3种方法

例2.9 I ? ?? ? ydx ? zdy ? xdz,其中 ?
? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2az, ? ? :? (a ? 0), ?x ? z ? a

从 Oz 轴正向看去为逆时针向.



方法1-参量法
2 2 2 2 2 2

将z ? a ? x代入x ? y ? z ? 2az,得2 x ? y ? a , z ? x ? a cos t , ? ? 2 n ? ? ? ? 故? : ? y ? a sin t , (t从0变到2π). ? y 1 cos t ) ? z ? a (1 ? L x 2 ?
?
? ?

因此,
I ? ? 0 [a sin t (? a sin t ) ? a(1 ? a cos t ) a cos t ? a cos t a sin t ]dt 2 2 2 2 2π a 2 dt 2 ? ?0 ? ? ? 2πa . 2


方法2-化为平面曲线积分

只需通过? 的方程消去被积式中的z,即可化为

沿着? 在xOy面上的投影L 的平面曲线积分.
? ?

? z ? a ? x,dz ? ?dx, 故
I ? ? ? ydx ? (a ? x)dy ? x(?dx) ? ? ? ( y ? x)dx ? (a ? x)dy
L L

?

2 x2 ? y 2 ? a2

??

(?1 ? 1)d? ? ? 2πa 2 .

方法3-利用Stokes公式 注意:在Stokes公式中,? 可以是任何以?

为边界曲线的曲面!当然我们总是选择积分起来 最简单的??
取? 为? 所围的平面有界闭域,
z

? n

??

??
y

? 与? 遵从右手法则.于是
? ?

x

L?

1 2 I ? ?? ? ?x ? y

0 ? ?y z

1 2 ? dS ? 1 (?2)dS ? ? 2πa 2 . ?? 2 ? ?z x

例2.10 求I ? ? ? ( y 2 ? z 2 )dx ? ( z 2 ? x 2 )dy ? ( x 2 ? y 2 )dz, ?
?

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 Rx, 其中? : ? 2 (0 ? r ? R, z ? 0), ? ? 与Oz轴正向 x ? y 2 ? 2rx, ?
成右手系. 解 I ? ? ? ( y 2 ? z 2 )dx ? ( z 2 ? x 2 )dy ? ( x 2 ? y 2 )dz ?
?

z

? ??
?

x?R R ? ?x y2 ? z2

y R ? ?y z 2 ? x2

z ? n R ? dS ?z x2 ? y2
O

y

??
r

??
R

? 2?? ( z ? y)dS ? 2?? zdS ? 2?? ydS
? ? ?

x

? 2?? zdS ? 0 ? 2 ?? z ? Rd? ? 2 Rπr 2 ? 2πRr 2 . z ? D
xy

例2.11(11考研数1)设L是柱面x 2 ? y 2 ? 1与平面z ? x ? y的 交线, 从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 y π ?L xzdx ? xdy ? 2 dz ? ______ . ?
解 可用上面介绍的三种方法计算,但以“化为平面曲线 积分”后使用Green公式计算最为简单. 由z ? x ? y知dz ? dx ? dy.记L在xOy面上的投影为C, 则
2

? x2 ? y 2 ? 1 C:? 逆时针方向.于是 ? z ? 0, y2 y2 y2 ?L xzdx ? xdy ? 2 dz ? ?C ( xy ? 2 )dx ? ( x ? 2 )dy ? ?
?
x 2 ? y 2 ?1

?? ?1 ? x ? y ? dxdy

?

x 2 ? y 2 ?1

??

dxdy ? 0 ? 0 ? π.

4.曲面积分的计算
(1)基本方法 1? 对于第一类曲面积分?? f ( x, y, z )dS ,dS是? 的

曲面面积元素,将曲面? 方程z ? z( x, y), , y) ? Dxy (x

?

?或y ? y( x, z), ( x, z) ? D ,或x ? x( y, z), ( y, z) ? D ?
xz yz

代入被积式,化为在投影域Dxy(或Dxz ,或Dyz )上的
二重积分.

可选择将单值曲面?向便于计算的某坐标面 做投影.

若? :z ? z( x, y),( x, y) ? Dxy,则
? f ( x, y, z )dS ? ?? f [ x, y, z( x, y)] 1 ? z x 2 ? z ?2 dxdy; ?? y
?
Dxy

若? : ? x( y, z),( y, z) ? Dyz,则 x
f ( x, y, z )dS ? ?? f [ x( y, z ), y, z ] 1 ? x?2 ? xz?2 dydz; ?? y
?
Dyz

若? : ? y( x, z),( x, z) ? Dxz,则 y
?2 ? y?2 dxdz. ?? f ( x, y, z )dS ? ?? f [ x, y( x, z ), z ] 1 ? yx z
?
Dxz

例2.12 求I ? ?? ? x ? y ? z ? dS , 其中? 为锥面
2 2

?

z ? x 2 ? y 2 介于z ? 1与z ? 2之间的部分. 解 因为正圆锥面? :z ? x 2 ? y 2 之dS ? 2dxdy,

Dxy :1 ? x2 ? y2 ? 4, 故
?
Dxy

I ? ?? ? x2 ? y 2 ? z ? dS ? ?? x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2
? 2 ? d? ?
0 2π 2 4 3 2 1

?

?
2

2d?

?? ? ? ? ? ? ? ? ? d? ? 2 2π ? 4 ? 3 ? ? ?1

? 17 2π . 6

例2.13 求I ? ?? ? x ? y ? z ? dS , 其中
?

? :z ? a 2 ? x 2 ? y 2 .
2 2 2

解 ? ?:z ? a ? x ? y 关于x ? 0和y ? 0都对称,

a a d? , ? ?? xdS ? 0, ?? ydS ? 0.又dS ? d? ? z a2 ? x2 ? y 2 ? ?

Dxy:x ? y ? a ,于是
2 2 2

a d? ? a d? ? πa3 . I ? ?? ? x ? y ? dS ? ?? zdS ? 0 ? ?? z ?? z ? ? D D
xy xy

例2.14 求I ? ? ? x ? y ? dS , 其中?: x ? y ? z ? 1. ??
解 I ? ? xdS ? ? y dS ? 0 ? 1 ? ? x ? y ? z ? dS ?? ?? 3 ?? ? ? ?
?

1 dS ? 1 ? 8 dS ? 8 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 3 . ? ? 3 ?? 3 ?? 3 2 3 2 ? ?I
z

1

?I
O
x

1

y

1

例2.15 求密度为?0的均匀半球壳? : z ? R 2 ? x 2 ? y 2

对z轴的转动惯量I z .
解 I z ? ?? ( x 2 ? y 2 )?0 dS ? ?0
?
x ? y 2 ? R2
2

??

( x2 ? y 2 )

R dxdy R2 ? x2 ? y 2
R2

? ?0 R ? d? ? ? 2 ?
0 0



R

1 ? ? d? ? 2?0 Rπ ? 1 ? 2 0 R2 ? ? 2
R2 0

t dt R2 ? t

? ? ?0 πR ? ?2 t R 2 ? t ?

? 2?
R2 3 2 0

R2 0

? R ? t dt ? ?
2

? 2 ?0 πR ? ?2 ( R 2 ? t ) 3

? 4 ?0 πR 4 . 3

2 对于第二类曲面积分 ?? f ( x, y, z )dxdy, dxdy是
?

??? + dS在xOy面上的投影,将? 的方程z ? z ( x, y ), , y ) ? Dxy (x

?+

代入被积函数,化为域Dxy 上的 ? 正或负? 二重积分:
?

?? f ( x, y, z )dxdy ? ? ?? f [ x, y, z ( x, y )]d? , +
Dxy

当? ? ? ? 上时取+,当? ? ? ? 下时取-.
类似地,有
?
?

?? f ( x, y, z )dzdx ? ? ?? f [ x, y( x, z ), z ]d? , +
?? f ( x, y, z )dydz ? ? ?? f [ x( y, z ), y, z ]d? . +
D yz

Dzx

对于组合曲面积分 ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy, ?? ? + 若? : z ? z ( x, y ),( x, y ) ? Dxy , n ? (? z ? , ? z ? ,1), 则有 x y

? ? z? ? z? x x 1 ? ?? ( P, Q, R) ? ? , , ? 1 ? z? 2 ? z? 2 1 ? z? 2 ? z? 2 1 ? z? 2 ? z? 2 ?? x y x y x y ?

?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? ( P, Q, R) ? (dydz,dzdx,dxdy) ?? ?? ?? ? ? ?? ( P, Q, R) ? n?dS ?
?

? ?? ( P, Q, R) ? ? ? z ? , ? z ? ,1? dxdy x y ?
?

? ? 1 ? z ? 2 ? z ? 2 dxdy x y ? ?

? ?? ?(? z? ) P ? (? z? )Q ? R ? dxdy y ? x ? ? ? ——化为仅对坐标x, y的积分!见例2.42
类似地, 也可化为仅对坐标z, x的, 或仅对y, z的积分.

也可利用对称性、轮换对称性简化计算,但要
注意:
①不能就组合积分整体使用,要分成单个积分进行; ②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反,例如

? 关于z ? 0(即xOy面)对称(包括侧也对称),则有

?? ?

若f 为z 的偶函数, ? 0, ? f ( x, y, z )dxdy ? ?2 f ( x, y, z )dxdy, 若f 为z 的奇函数. ?? ? ? ? 上

例2.16 求I ? ??
?

xdydz ? z 2dxdy x2 ? y 2 ? z 2

, 其中

?:x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2内侧.
解 I ? ??
?
2

xdydz ? z 2 dxdy x ?y ?z
2 2

1 xdydz ? z 2 dxdy ? ?? R ?

1 xdydz ? z 2 dxdy ? 2 xdydz ? 0 ? ?? ?? ?? R? R ?? ? 前 由几何意义 2 2 2 2 ? ? ?? R ? y ? z d? ??????????? 2πR RD I ?? 2 ? ? 4πR R 3 3 yz 2 2π d? R R2 ? ? 2 ? d? ?? ? ?0 R 0 3 R 2 ? 1 2 ? ? ? 4π ? ? ? R ? ? 2 ? 2 ? ? ? 4πR . R ? 3 3 ?0
3

2

.

(2)利用Gauss公式计算曲面积分
例2.16? 用Gauss公式求I ? ??
?

xdydz ? z dxdy
2

x ?y ?z
2 2

2

,

其中?:x ? y ? z ? R ,内侧.
2 2 2 2

解 I ? ??
?

xdydz ? z dxdy
2

x2 ? y 2 ? z 2

? 1 ?? xdydz ? z 2 dxdy R ?

1 1 ? dv ? 2 zdv ? ? ? ??? ?1+2z ? dv ? ? ? ??? ??? ? R ? R? ? ? ?
? 4πR3 ? 0? ? ? 4πR 2 . ??1? ? R? 3 3 ?

例2.17 求I ? ?? xydydz ? xdzdx ? x dxdy, 其中
2

?

?:z ? 4 ? x 2 ? y 2 上侧.
解 设S为平面z ? 0在z ? 4 ? x 2 ? y 2内部的下侧,则

? ? 2 I ? ? ? ? ?? ? ? xydydz ? xdzdx ? x dxdy ? ??S S ? ??? ? ? 2 2 ? ??? ydv ? ?? x dxdy ? 0 ? ?? ?? x d? ? ? x2 ? y 2 ? 4 ? ? S ? ? 2π 2 2π 2 2 ? ? d? ? ? cos ?? d? ? 4? 1 ? cos 2? d? ? 4π. 0 0 0 2
或?1 2
x ? y2 ?4
2

??

1 2π d? 2 ? 3d? ? 4π . ? x ? y ? d? ? 2 ?0 ?0
2 2

例2.18(10竞赛) 求I ? ??
?
2 2

axdydz ? ( z ? a) dxdy
2

x ?y ?z
2 2

2

,

其中?:z ? ? a ? x ? y (a ? 0为常数)上侧.
axdydz ( z ? a)2 dxdy 解 <解法1> I ? ?? ? ?? a a ? ?
? 2 ?? xdydz ? 1 ?? ( z ? a)2 dxdy a? ?


? 2 ?? ? a ? y ? z dydz
2 2 2 Dyz

? 1 ?? ? a 2 ? x2 ? y 2 ? a dxdy aD
xy

?

?

2

? ?2? d? ? ? a ? ? d?
2 2 π 0



a

1 2π d? a 2a2 ? 2a a2 ? ? 2 ? ? 2 ?d? ? ? ?0 a 0 2π a3 ? 2π a4 ? 2 a4 ? 1 a4 ?? 3 a 3 4 ? ? π a3 . 2

?

?

?

?

? x2 ? y 2 ? a2 , <解法2> 设S ?为平面域 ? 的下侧,则 ?z ?0 1 axdydz ? ( z ? a) 2 dxdy I ? ?? a ?
1? ? ? ? ? ?? a ? ??? ? S ? ? ?S ? axdydz ? ( z ? a) 2 dxdy ? ? ?

? ? 1 ??? ? a ? 2 z ? 2a ? dV ? 1 ?? axdydz ? ( z ? a) 2 dxdy a x ? y ? z ?a a S?
2 2 2 2

z ?0

? ? 2 1 ? 3a ? 2πa3 ? 2 2π d? π d? a r cos ? ? r 2 sin ? dr ? ?? ?0 ?π2 ?0 ?? a d? ? ? a? 3 x ? y ?a ? ?
2 2 2

? 2πa 4 ? πa 4 ? πa 4 ? ? ? πa3 . ??1? ? 2 a? 2 ?

例2.19 求I ? ? x 2dydz ? y 2dzdx ? z 2dxdy, 其中 ??
?

?:( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 ? R 2外侧.
解 ? ? z dxdy ? ? ? z ? c ? dxdy ? ? ? 2cz ? c 2 ? dxdy ?? ?? ??
2 2

?

?

?

4πR3 ? 8πR3 c; ? 0 ? ??? 2cdv ? 2c ? 3 3 ?
类似地, y 2 dzdx ? 8πR b, ? x 2 dydz ? 8πR a; ? ?? ?? 3 3 ? ? ?I ? ? ??
?
3 3

8πR3 (a ? b ? c). x dydz ? y dzdx ? z dxdy ? 3
2 2 2

另解 I ? ? x dydz ? y dzdx ? z dxdy ??
2 2 2

?

? 2??? ? x ? y ? z ? dv
?

? ? ? 2 ? ??? xdv ? ??? ydv ? ??? zdv ? ?? ? ? ?
? x ? 4πR3 ? y ? 4πR3 ? z ? 4πR3 ? ? 2? 3 3 3 ? ? ? 8πR3 ? x ? y ? z ? ? 8πR3 ? a ? b ? c ? . ? ? 3 ? 3 其中 x, y, z ? ? a, b, c ? 是? : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 ? R 2

?

?

的形心.

(3)利用两类曲面积分的关系进行计算
例2. 求I ? ?? [ f ( x, y, z ) ? x]dydz 20
?

? [2 f ( x, y, z, ) ? y ]dzdx ? [ f ( x, y, z ) ? z ]dxdy, 其中f ( x, y, z )是连续函数,? 是?平面x ? y ? z ? 1在第 四卦限部分的上侧. ?? ? ? 1 ?1 1 ? ? 解 ? ? 的n ? ?cos ? , cos ? , cos ? ? ? ? , , ?, ? 3 3 3?
? I ? 1 ?? ? f ( x, y, z ) ? x ? 2 f ( x, y, z ) ? y ? f ( x, y, z ) ? z ?dS 3? 1 ? x ? y ? z ?dS ? 1 dS ? 1 3 ? 1 . ? ?? ?? 2 3? 3? 3 2

例2. 求I ? ? 21 ??
?

x cos ? ? y cos ? ? z cos ? x2 ? y 2 ? z ?
3 2 2

?

dS , 其中

? 是球面x2 ? y2 ? z 2 ? a2的外侧, ? ,cos ? ,cos ? 是 cos
? 的外法向量的方向余弦. x cos ? ? y cos ? ? z cos ? 解 I ?? dS 3 ?? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 2 ?
? 13 a ? 13 a ? 13 a

? ? x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ?dS ?? ? ? xdydz ? ydzdx ? zdxdy. ?? ? ??? 3dxdydz ? 4π. ?

另解(见例2.3) I ? ? ??
?

x cos ? ? y cos ? ? z cos ?

?x

2

?y ?z
2

2

?

3 2

dS

1 ? 3 a

? ? x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ?dS ?? ?
y ? x z ?dS ? ?x? a ? y? a ? z? a ? ?? ? ? ?
x 2 ? y 2 ? z 2 ?dS . ?? ??
?

? 13 a
? 14 a ? 14 a

a 2 dS ? 4π. ? ??
?

无关,其中? ( x)连续,且? (0) ? 0, 求

5.曲线积分、曲面积分与积分路径无关问题 以及全微分式的原函数的求法 例2.22 已知曲线积分? xy 2dx ? y? ( x)dy与路径 L

?

(1,1)

(0,0)

xy 2 dx ? y? ( x)dy.
解 ? ? xy dx ? y? ( x)dy与路径无关,
2 L

? (0) ? 0 ?Q ? ?P ? 2 xy ? y? ?( x) ? , ? ? ( x) ? x 2 ? C ? ? ( x) ? x 2 . ?y ?x

于是

?

(1,1)

(0,0)
(1,1)

xy dx ? y? ( x)dy ? ?
2

(1,1)

? x2 y 2 =? d ? (0,0) ? 2

? x2 y ?? 2 ?

(0,0) 2 (1,1)

xy 2dx ? x 2 ydy

(0,0)

? 1. 2

另解 ? ? xy dx ? y? ( x)dy与路径无关,
2 L

??

(1,1)

(0,0)

xy dx ? y? ( x)dy
2

y
1
(1,1)

= ? y? (0)dy ? ? x ?1 dx
2 0 0

1

1

? 0 ? ? xdx ? 1 . 0 2

1

O

x

例2.23

验证 ? 3x 2 ? y ? z 2 ? dx ? ? ? x ? 4 y 3 ? dy ? 2 xzdz

是全微分式,并求其原函数u( x, y, z). ? ? 解 记 A ? ( P, Q, R) ? ? 3x 2 ? y ? z 2 , ? x ? 4 y 3 , 2 xz ? ,
? Px? Py? ?? ? ? ? ? ? A ? ?Qx Qy ? Rx Ry ? ? ? Pz? ? ?6 x ?1 ? ? Qz? ? ? ? ?1 12 y 2 Rz? ? ? 2 z 0 ? ? 2z ? 0? ? 2x? ?

? ? ? 在任意点( x, y, z)处是对称的,即Ry ? Qz? , Pz? ? Rx , Qx ? Py?,
? ? 3 x 2 ? y ? z 2 ? dx ? ? ? x ? 4 y 3 ? dy ? 2 xzdz是全微分式.

求原函数的方法有两种:曲线积分法和观察法.

在平面的情况下,求u( x, y)时还可用“不定积分法”.

方法1 u( x, y, z ) ? ?
( x, y , z ) (0,0,0)
x

3x 2 ? y ? z 2 ? dx ? ? ? x ? 4 y 3 ? dy ? 2 xzdz ? C ?
2 y 3 z 0 0

? ? ? 3x ? 0 ? 0 ? dx ? ? ? ? x ? 4 y ? dy ? ? 2 xzdz ? C
2 0

? x3 ? xy ? y 4 ? xz 2 ? C.

方法2 ? ? 3 x 2 ? y ? z 2 ? dx ? ? ? x ? 4 y 3 ? dy ? 2 xzdz ? 3 x dx ? 4 y dy ? ? ydx ? xdy ? ? ? z dx ? 2 xzdz ?
2 3 2

=d ? x 3 ? ? d ? y 4 ? ? d ? xy ? ? d ? xz 2 ? =d ? x ? y ? xy ? xz ? C ? ,
3 4 2

?u( x, y, z) ? x3 ? y 4 ? xy ? xz 2 ? C.

事实上,采用这种方法时连验证是全微式都进行了!

例2.24(07竞赛) 设f (t )连续, 且满足

?
L

2 x ? 3 y ?1

0

f (t )dt ? 4 x ? 9 y ? 12 xy ? 2,
2 2

求I ? ? f (2 x ? 3 y ? 1)(2dx ? 3dy ), 其中L是从原 点O到点M (1,3)的任意光滑弧.
即f (u)的一个原函数为F (u) ? u ? 2u ? 1.
2
L L

解 令2 x ? 3 y ? 1 ? u, 则? f (t )dt ? u ? 2u ? 1,
2 0

u

? I ? ? f (2 x ? 3 y ? 1)(2dx ? 3dy ) ? ? f (u )du

与路径无关

??

(1,3)

(0,0)

dF (u) ? ? dF (u) ? F (12) ? F (1) ? 121.
1

12

例2.25(09考研) 求I ? ? ??
?

xdydz ? ydzdx ? zdxdy (x ? y ? z )
2 2 3 2 2

,

其中? 是曲面2x2 ? 2 y2 ? z 2 ? 4的外侧.
解 x ,Q ? y , R ? z , ?P ? ? 3 3 r r3 r3 2 2 2 2 (x ? y ? z ) x

?( x, y, z) ? (0,0,0),有
2 2 2 2

?P ? ?Q ? ?R ? r ? 3x ? r ? 3 y ? r 2 ? 3z 2 ? 0, ?x ?y ?z r5 r5 r5

故(0,0,0)是唯一的奇点.

在复连通域上使用Gauss公式,可得结论:

沿包围奇点的任何光滑闭合曲面(正向)的积分都相等.

此处可取S为球面x ? y ? z ? 1 的外侧,于是 xdydz ? ydzdx ? zdxdy I ?? 3 ?? 09竞赛时将? 改为 2 2 2 2 ? (x ? y ? z ) ? x ? 2, xdydz ? ydzdx ? zdxdy 立体? : ? y ? 2,的 ? ?? 3 ?? ? z ?2 2 2 2 2 S ? (x ? y ? z )
2 2 2

?? ??
S

xdydz ? ydzdx ? zdxdy 1

边界曲面外侧.结 果当然一样.

?

x 2 ? y 2 ? z 2 ?1

???

(1+1+1)dxdydz ? 4π.

6.杂例 例2.26
AMB

设I1 ? ? ( x ? y ) dx ? ( x ? y ) dy,
2 2 AB 2 2

I 2 ? ?? ( x ? y ) dx ? ( x ? y ) dy, 其中AB是连接

? 点A(1,1)和B(2,6)的直线段, 是连接A, B两点 AMB
且过原点并以铅直线为对称轴的抛物线段,

求I1 ? I 2 .
解 AB : y ? 5x ? 4 ? x从1变到2 ?,dy ? 5dx,
2 ? AMB : y ? 2 x ? x ? x从1变到2 ? ,dy ? (4 x ? 1)dx.

方法1 直接化为x的定积分计算(很繁,略).
方法2 I1 ? I 2 ? ?? ?
D
ABMA

( x ? y ) dx ? ( x ? y ) dy
2 2

? ? ?? ?4 xdxdy ? 4? xdx ?
1

2

5 x ?4
2

2x ?x

dy

? 4? x(5x ? 4 ? 2 x ? x)dx
2 1

2

y

? 8? (3x ? 2 x ? x )dx
2 3

2

15 ? 2. ? 8 7 ?3? 4
O

?

1

B
M

?

A

x

例2.27 设在上半平面D ? {( x, y) y ? 0} 内,
f ( x, y)有连续的偏导数,且?t ? 0都有

f (tx, ty) ? t f ( x, y), 证明:对D内任意分段光滑
的有向简单闭曲线L,都有

?2

? yf ( x, y)dx ? xf ( x, y)dy ? 0. ?
L

证 P ? yf ( x, y), Q ? ? xf ( x, y),
?P ? f ( x, y ) ? yf ?( x, y ), ?Q ? ? f ( x, y ) ? xf ?( x, y ). 2 1 ?y ?x ?只需证明f (x, y) ? yf2?(x, y) ? ? f ( x, y) ? xf1?( x, y).?

? ?( x, y) ? D, ?t ? 0,有f (tx, ty) ? t ?2 f ( x, y),
故两边对t求导,得xf1?(tx, ty) ? yf2?(tx, ty) ? ?2t ?3 f ( x, y).

令t ? 1, 得xf1?( x, y) ? yf2?( x, y) ? ?2 f ( x, y),即
?P ? f ( x, y ) ? yf ?( x, y ) ? ? f ( x, y ) ? xf ?( x, y ) ? ?Q . 2 1 ?y ?x

所以, yf ( x, y )dx ? xf ( x, y )dy ? 0. ? ?
L

例2.28(02竞赛)设L为逆时针方向的圆周:
2 2 2

( x ? a) ? ( y ? a) ? R ( R ? 0), f ( x)恒正且连续, ?y 2 证明: ?L f ( x) dx ? xf ( y)dy ? 2πR .

证 D : ( x ? a) ? ( y ? a) ? R , 则
2 2 2

?y ? 1 ? d? ?L f ( x) dx ? xf ( y)dy ? ?? ? f ( y) ? f ( x) ? ? D ? ? 1 ? d? ? 2d? ? 2πR 2 . ? ?? ? f ( x) ? ?? f ( x) ? ? D ? D

例2.29 对于半空间x ? 0内任意的简单光滑有向 闭曲面? ,有? xf ( x)dydz ? yf ( x)dzdx ? xze2 x dxdy ? 0, ??
其中f ( x)有连续导数,且 lim f ( x) ? 1, 求f ( x). ?
x ?0

?

解 设? 所围域为?,由题设及Gauss公式,得

0 ? ? xf ( x)dydz ? yf ( x)dzdx ? xze dxdy ??
2x

? ???? [ f ( x) ? xf ?( x) ? f ( x) ? xe2 x ]dv

?

?( x) ? xe2 x ]dv ? ???? [ xf
?

?

?( x) ? xe2 x ? 0,即f ?( x) ? e2 x . 由? 的任意性知,xf

1 e2 x ? C.由 lim f ( x) ? 1得C ? 1 , 故 解之得f ( x) ? x ?0? 2 2 1 e2 x ? 1 . f ( x) ? ? ? 2
另解
?P ?Q ?R 由曲面积分与曲面无关的条件 ? ? ? 0, ?x ?y ?z



f ( x) ? xf ?( x) ? f ( x) ? xe2 x ? 0,即f ?( x) ? e2 x .

解之得f ( x) ? 1 e2 x ? C.由 lim f ( x) ? 1得C ? 1 , 故 x ?0? 2 2 1 e2 x ? 1 . f ( x) ? ? ? 2

? 例2. 30 设? 是简单光滑闭曲面, ?的 n是 ? ? ? ? 外法向量, e是固定的非零向量,求? cos(n, e)dS . ??
?? ? ?? ? ? ? 解 设n ? ?cos ? , cos ? , cos ? ? , e ? ?a, b, c? , ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos(n, e)dS ? ? cos(n , e )dS ? ? n ? e dS ?? ?? ??
?

? ? ? a cos ? ? b cos ? ? c cos ? ? dS ??
?

?

?

?

? ? adydz ? bdzdx ? cdxdy ? ??? 0dv ? 0. ??
? ?

?? ??? 例2.31 计算?? rot F ? dS , 其中? 是锥面
?
2 2

z ? 2 ? x ? y 在xOy面上方的部分,取上侧; ?? F ? ? x ? z , x 3 ? yz , ?3 xy 2 ? .
解法1(直接计算)
?? ??? ?? rot F ? dS ? ??
? ?

? i ? ?x x?z

? ? j k ? ? ? ? dydz, dzdx, dxdy ? ?y ?z x3 ? yz ?3xy 2

? ?? (?6x ? 1) ydydz ? (3 y 2 ? 1)dzdx ? 3x 2 dxdy
?

? ?6?? xydydz ??? ydydz ??? (3 y 2 ? 1)dzdx ? ?? 3x2 dxdy
? ? ? ?

对称性 ?6 xydydz ?0 ? 0 ? 3 x2 dxdy ?? ??
? ?

? ?6 ? 2 ?? y ( z ? 2) ? y dydz ? 3
2 2 Dyz

x2 ? y 2 ? 4

??

x dxd y
z

2

对称性


0 ? 3? d? ? ? cos ?? d?
2 2 0 0 2 2 0



2

2

Dyz

? 3? cos ? d? ? ? 3 ?
0

?2

O

2 y

24 ? 12π. ? 3? π ? 4

解法2(利用积分与曲面无关) ?? ?? ??? 因为div(rot F ) ? 0, 故?? rot F ? dS与曲面无关.

? z ? 0, 若记? : ? 2 , 取上侧,则 2 ?x ? y ? 4 ?? ??? ?? ??? ?? rot F ? dS = ?? rot F ? dS
? 1

?

?

?1?

? ??
?1?

? ? ? i j k ? ? ? ? ? 0, 0, dxdy ? ?x ?y ?z x ? 0 x3 ? 0 ?3xy 2

? ?? 3x 2 dxdy ? 3
?1?

x ? y2 ?4
2

??

x 2 d? ? 12π.

解法3(利用Stokes公式)

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 若记? : , 取逆时针方向, 则 ? ?z?0 ?? ??? ?? ?? ? ?? rot F ? dS =? ? F ? ds ?
? ?
?

=? ? ( x ? z )dx ? ( x ? yz )dy ? 3xy dz ?
3 2

= ? ? ( x ? 0)dx ? ( x ? 0)dy ?
3

?

?3

x2 ? y 2 ? 4

??

x d? ? 12π.
2

例2. 32

xdydz ? ydzdx ? zdxdy 求I ? ?? , 3 2 2 2 2 ? ?x ? y ? z ?

其中? 为 z ? 1 ? 10
部分的上侧.

? x ? 2?
25

2

?

? y ? 1?
16

2

在xOy平面之上

????????解 ? 是顶点在(2,1,10)的椭圆锥面的一部分,在
xOy面的投影域Dxy :

? x ? 2?
5
2

2

?

? y ? 1?
4
2

2

? 1.

z

?
y

? S

P? R?

x2 ? y 2 ? z 2 ? ? z
2

x

?1
3 2

x

, ? Q

y x2 ? y 2 ? z 2 ? ?
3 2



?x

?y ?z
2

2

?

3

,当( x, y, z ) ? (0, 0, 0)时,
2

? ? ?P , Q , R 处处连续,且 ?P ? ?Q ? ?R ? 0. ?x ?y ?z ?x ?y ?z

????????设? ? 0充分小,S ?为S : z ? ? 2 ? x 2 ? y 2 的下侧,
又取? 1?为 Dxy ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? ? 2 }之下侧.

记闭合曲面? ? S ? ?1所围域为? ,由Gauss公式,得
?I ? (
?
?

? ?1? ? S ?

? ??

? ?? ? ?? )
?1?
S
?

xdydz ? ydzdx ? zdxdy

?x
S
?

2

?y ?z
2

2

?

3

2

? ??? 0dxdydz ?( ?? ? ?? )
?
? ?1

xdydz ? ydzdx ? zdxdy

?x ? y ? z
2 2

2

?

3

2

1 ? 0 ? 0 ? 3 ?? xdydz ? ydzdx ? zdxdy ? S?

? ? ? 1 1 ? ? 3 ? ??? 3dxdydz ? 0 ? ? 3 3 ? 2 π? 3 ? 2π. 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ?? 2 ? ? z ?0 ? ? ?

例2. 设函数f ( x, y)具有连续的一阶偏导数,曲线 33
L : f ( x, y) ? 1过第二象限内的点M 和第四象限内的点N , ? 是

L上从点M 到点N的一段弧, 则下列积分值为负的是( C ).
(A) ? f ( x, y )ds
?

(B) ? f ( x, y )dx
?

(C) ? f ( x, y )dy
?

(D) ? f x?( x, y)dx ? f y?( x, y)dy ? y
?



(A)? f ( x, y )ds ? ? 1ds ? 0,
?

L : f ( x, y) ? 1

M (?, ?)

?
N (?, ?)

(B)? f ( x, y )dx ? ? 1dx ? 0,
? ? ?

O

x

(C)? f ( x, y )dy ? ? 1dy ? 0,
?
?

(D)? f x?( x, y )dx ? f y?( x, y )dy ? ? df ( x, y ) ? ? 0 ? 0.
? ?

选C.

例2. 设? 是曲面{( x, y, z) x ? y ? z ? R , z ? 0} 34
2 2 2 2

的上侧,则下列曲面积分不为零的是( B ).

(A) (C)

?? x dydz
2

(B)
(D)

?? zdzdx
?

?

解 ?? 对称于x ? 0, 且f ( x, y, z) ? x 是x的偶函数, ? ?? x2dydz ? 0, 排除A;类似地排除C;而
2

?? xdydz ? ?? ydxdy ?

?

?? ydxdy ? ?? yd? ? 0, 排除D;选B. ?
Dxy
Dyz π R Dyz

事实上?? xdydz ? ?? R 2 ? y 2 ? z 2 d? ? ?? ? R 2 ? y 2 ? z 2 d?
?

? 2? d? ? ? R 2 ? ? 2 d? ? 2 πR3 ? 0. 0 0 3

例2. 设? 是球面{( x, y, z) x ? y ? z ? R }外侧, 35
2 2 2 2

则两个曲面积分都为零的是( B ).

(A) (C)

x2 dS , ?? ydzdx ??
? ?

(B) (D)

xdS , ?? x2 dydz ??
? ?

?? xydS, ?? ydzdx ? ?

?? ydS , ?? xdydz ? ?

解 ? ? 关于坐标面x ? 0, y ? 0, z ? 0都对称, 故若被积函数是x(或y, 或z)的奇函数时第一类曲面积
分为零; 若被积函数是x(或y, 或z)的偶函数时第二类 曲面积分为零. 选B.

例2. 36(10考研) 设P为椭球面S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1 上的动点, 若S 在点P处的切平面与xOy面垂直, 求点P的轨 迹C , 并计算曲面积分??
?

( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz

dS , 其中? 是椭

球面S 位于曲线C上方的部分. 解 (1)求C的方程 椭球面S在点P( x, y, z)处的法向量为n ? ? x,2y ? z,2z ? y ? ,

n ? k ? ? x,2y ? z,2z ? y ? ? ? 0,0,1? ? 0, 由此得2 z ? y ? 0, 于是得动点P的轨迹C的方程为
? 2y ? z ? 0, ? 2y ? z ? 0, ? 即? 2 3 2 ? 2 x ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1, ? x ? y ? 1. ? ? 4

?点P处的切平面与xOy平面垂直, 故

(2)计算曲面积分

3 y 2 ? 1, 由(1)知? 在xOy面上的投影域为D : x ? 4 记? 的方程为xz ? z( x, y),( x, y) ? D. 由d ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1? ? 0, 即
2

2 xdx ? 2 ydy ? 2zdz ? zdy ? ydz ? 0, 解得
2 xdx ? (2 y ? z )dy 2x , z? ? 2 y ? z , ? dz ? , 从而z x ? y ? 2z y ? 2z y y ? 2z

? 于是 1 ? ? zx ? ? ? z ? ? y
2

2

?

4( x 2 ? y 2 ? z 2 ? yz ) ? y 2 ? z 2 ? 4 yz y ? 2z

?

4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz . y ? 2z

? ??
?

( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz

dS

? ??
D

( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz

4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz dxdy y ? 2z

? ?? ( x ? 3)dxdy
D

? 0 ? 3 ?? dxdy
? 3 ? π ? 1 ? 2 ? 2π. 3
D

例2. 37(10考研) 已知曲线L的方程为y ? 1 ? x ( x ?[?1,1]), 起点是(?1,0), 终点为(1,0).则? xydx ? x 2dy ? _________ . 0
L

解 设L ? L1 ? L2 , L1 : y ? 1 ? x, x从 ? 1变到0,dy ? dx; L2 : y ? 1 ? x, x从0变到1,dy ? ?dx; 故

?

L

xydx ? x 2 dy ? ? xydx ? x 2 dy ? ? xydx ? x 2 dy
L1 L2

? ? ? x(1 ? x) ? x ? 1? dx ? ? ? x(1 ? x) ? x 2 ? (?1) ? dx ? ? ?1 ? 0?
2

0

1

??

0

?1

x ? 2 x ? dx ? ? ? x ? 2 x 2 ? dx ?
2 1 0

? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0. 2 3 2 3

例2. 38(09竞赛) 设L为折线 x ? x ? y ? 1的正向一周, 则? x 2 y 2dx ? cos( x ? y )dy ? ( C ). ?
L

(A)? 2sin 2

(B)? 1

(C)0

(D) 1

解 记L所围成域为D, 令x ? y ? u, 则y ? u ? x,dy ? du ? dx,

D : x ? u ? 1.故

? ?

L

x 2 y 2 dx ? cos( x ? y )dy ? ? x 2 (u ? x) 2 dx ? cos u ? du ? dx ? ?
L 2 2 3 3

? ? ? x u ? 2 x u ? x ? c osu ? dx ? cos udu ?
L

u
1 D

? ?? ?0 ? 2 x2u ? 2 x3 ? sin u ? d? ? 0. ? ?
D

o

1

x

另解 记L所围成域为D.由Green公式得

? ?

L

x2 y 2 dx ? cos( x ? y)dy ? ?? ?sin( x ? y) ? 2x2 y ? dxdy ? ?
D

? x ? u, ?( x, y) 1 0 做变换 ? 则D? : u ? v ? 1. ? ? 1, 故 ?(u, v) ?1 1 ? x ? y ? v,

? ? ? ?? ?sin v ? 2u ?
L D?

x2 y 2 dx ? cos( x ? y)dy ? ?? ?sin( x ? y) ? 2x2 y ? dxdy ? ?
2

(v ? u)? ? ? ?? sin v? ? ?? 2u 2 v? ? ?? 2u3? ?
D? D?

D

v

D?

? 0 ? 0 ? 0 ? 0.

1

D?

o

1

u

例2. 39(09竞赛) 设L为域D ? {( x, y ) 0 ? x ? π,0 ? y ? π} 边界的正向, 试证 : (1) ? xesin y dy ? ye? sin x dx ? ? xe ? sin y dy ? yesin x dx; ? ?
L L

(2) ? xesin y dy ? ye? sin x dx ? 5 π 2 . ?L 2 π π ? sin x 证法1 (1)左端 ? ? ?0 ? e dx ? ? π ? esin y dy
0 0

右端 ? ? ?0 ? esin x dx ? ? π ? e
0 0 0 0 π

π

? π? e
0

π

? ? ?π ? e
π sin y π

0

? sin x

dy ? π ? e
0 ? sin y

π

dx ? ? ?0 ? e? sin y dy
π π 0

0

? sin x

dx ? π ? ? esin x ? e? sin x ? dx;

dy
π

? ? ?π ? esin x dx ? ? 0 ? e? sin y dy ? π? e
0 π ? sin y

dy ? π ? e
0

π π

sin x

dx ? π ? ? esin x ? e? sin x ? dx; ? 左 ? 右.
0

(2)由e
可知

sin x

?e

? sin x

t 4 ? ?) ? 2 ? sin x(?e ? e ? 2 ? t ? 12
2 t ?t 2

? ?
D

L

xesin y dy ? ye?sin xdx ? ?? ? esin y ? e?sin x ? dxdy
D
sin x

? ?? ? e
π

?e

? sin x

dxdy ? ? dy ? ? esin x ? e ? sin x ? dx ?
π π 0 0

? π? ? e
0

sin x

?e
π

? sin x

? dx

? π ? ? 2 ? sin 2 x ? dx
π 0

? 2π ? π ? 1 ? cos 2 x dx ? 5 π2 . 0 2 2
2

证法2 (1)由Green公式,有

左端 ? ?? ? esin y ? e? sin x ? d? , 右端 ? ?? ? e? sin y ? esin x ? d? ;
因为D关于y ? x对称, 且被积函数f ( x, y) ? f ( y, x), 故
D D

?? ? e
D

sin y

? e?sin x ? d? ? ?? ? esin x ? e?sin y ? d? ? ?? ? esin x ? e?sin x ? d? ,
D D

? 左 ? 右.

? ? xesin y dy ? ye?sin xdx ? ?? ? esin x ? e?sin x ? d? ?
L D
2 2 π π

t 2 n ? 2 ?1 ? t 2 ? ? 2 ? t 2 , (2)由e ? e ? 2? ? 2! ? (2n)! ? ? n ?0
t ?t

?

? ?? ? 2 ? sin x ? dxdy ? 2π ? ? dy ? 1 ? cos 2 x dx ? 5 π 2 . 0 0 2 2 D

例2.40(2012数1) 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周 计算曲线积分I ? ? 3x 2 ydx ? ( x3 ? x ? 2)dy.
L

x 2 ? y 2 ? 2 x到点(2,0), 再沿圆周x 2 ? y 2 ? 4到点(0, 2)的曲线段.
y
L1

解 设取L1为有向线段x ? 0( y从2变到0), 2

dx ? 0;由L与L1围成的平面区域记为D. 由Green公式,得
I ? ? 3x 2 ydx ? ( x 3 ? x ? 2)dy
L

D
x2 ? y 2

x2 ? y 2 ? 4 L
?

2x

O

2

x

?? ?

L ? L1

3x 2 ydx ? ( x3 ? x ? 2)dy ? ? 3x2 ydx ? ( x3 ? x ? 2)dy
L1

0 ? ?( x3 ? x ? 2) ?(3x2 y) ? ? ?? ? ? ? dxdy ? ?2 (?2)dy ?x ?y ? D ? 2 ? ?? 1dxdy ? ? 2dy ? π ? π ? 4 ? π ? 4. 0 2 2 D

?

?

例2.41(12竞赛理工) 设C是沿曲线y ? π cos x从点A(π, ?π) ( x ? y)dx ? ( x ? y )dy 到点B(?π, ?π)的有向曲线, 计算I ? ? . 2 2 C x ?y
解 直接计算相当困难.但注意到:?( x, y) ? (0,0)有

x 2 ? 2 xy ? y 2 ?Q ?P ? ? , 2 2 2 ?y ?x (x ? y )
故在任何不包含(0,0)点的单连通域内积分与路径无关. 故可选 :

(1)L为自点A(π, ?π)经过点N (0, 2π)到点B(?π, ?π)的圆弧
? x ? 2π cos t , ? L:? t从 ? π 变到 5π .(见右图) 4 4 ? y ? 2π sin t , ?
y
N

O

x
A

于是

B

I ??

5π 4 ?π 4

1 ? 2π(cos t ? sin t )(? 2π sin t ) ? 2π(cos t ? sin t ) 2π cos t ? dt ? 2π 2 ?

??

5π 4 ?π 4

?2π dt ? ? ? 2π 2
2

5π 4 ?π 4

dt ? ? 3 π. 2
y

或(2)取点C(π, π), D(?π, π), 选L ? AC ? CD ? DB.(见下图)
于是I ? ?
AC

??

CD

??

DB

.
D
O
B A

C

? AC : x ? π( y : ?π ? π),dx ? 0,
??
AC π ?(π ? y )dy ?? ? ? 2? π 2 dy ? ? π ; ?π ?π π ? y 2 π2 ? y 2 π

x

?CD : y ? π( x : π ? ?π),dy ? 0,
?? ??
?π π ( x ? π)dx ? ? 2? π 2 dx ? ? π ; ?π x ? π 2 x2 ? π2

CD

π

? DB : x ? ?π( y : π ? ?π),dx ? 0,
??
DB

??



π

π ?(? π ? y )dy ? ? 2? π 2 dy ? ? π ; ?π π ? y 2 π2 ? y 2

故 I ??

AC

??

CD

??

DB

? ? 3 π. 2

另解 (在复连通域上使用Green公式,见例2.7)

记L ? C ? BA, 则被积函数在L所围域上有唯一奇点(0,0).设Cr :
x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0且充分小), 取逆时针方向则 . ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy I ?? ? ? ?? 2 2 ? L BA C x ?y 1 ( x ? y)dx ? ( x ? y)dy ? π x ? π dx ?? 2 ?Cr r ??π π2 ? x2 π 1 ? 2 ?? ?2d? ? ? 2 π 2 dx ? ?2π ? π ? ? 3 π. ?π π ? x 2 2 r x ? y ?r
2 2 2

例2.41(05竞赛) 设函数Q( x, y)在xOy平面上有连续的偏 导数,曲线积分? 2 xydx ? Q( x, y)dy与路径无关,且对任意的t ,
L

恒有

?

( t ,1)

(0,0)

2 xydx ? Q( x, y)dy ? ?

(1,t )

(0,0)

2 xydx ? Q( x, y)dy, 求Q( x, y).

?(2 xy ) ?Q( x, y) ?Q( x, y) 解 由积分与路径无关,知 ? ,即 ? 2 x. ?y ?x ?x

两边对x积分,得 Q( x, y) ? x2 ? C( y),其中C( y)待定.

??

(t ,1)

(0,0)

2xydx ? Q( x, y)dy ? ? 2x ? 0dx ? ? Q(t , y)dy
0 0
1 2 2 1 0 0 1

t

1

? 0 ? ? (t ? C ( y))dy ? t ? ? C ( y)dy,

而?

(1,t )

(0,0)

2 xydx ? Q( x, y)dy ? ? 2x ? 0dx ? ? Q(1, y)dy
0 0
t t 0 0

t

? 0 ? ? (1 ? C ( y))dy ? t ? ? C ( y)dy,

故由题设,有

t ? ? C ( y)dy ? t ? ? C ( y)dy.
2 0 0

1

t

两边对t求导, 得 C(t ) ? 2t ?1,即C( y) ? 2 y ?1.

? x ? ? cos ? , ? ? 例2. 11竞赛理工)设(1)闭曲线? 是由圆锥螺线OA : ? y ? ? sin ? , 42( ? z ?? ? (0 ? ? ? 2π)与直线段 AO构成, 其中O(0, 0, 0), A(2π, 0, 2π); (2)闭曲线? 将其所在的圆锥面z ? x 2 ? y 2 划分成两部分, ? 是其中有界部分. ?? ?? (I)如果 F ? ? z,1, ? x ? 表示一力场,则求 F沿? 所做的功; ?? (II)如果 F ? ? z ,1, ? x ? 表示流体的流速,则求流体通过 ? 流向 上侧的流量(单位略).

因此, Q( x, y) ? x2 ? 2 y ?1.

?? ? z ? x, 解 (I) AO : ? ( x从2π变到0).F沿? 所做的功为 ? y ? 0, ????? ? A W ? ? F ?ds ? ? zdx ? dy ? xdz 由Stokes公式得 ? ? ? O W ? ?? 2dzdx ? ? ? ?? ? ? ? zdx ? dy ? xdz ? ?

z

?

OA

AO

?

y

? ? ?? ? cos ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? cos? ? ? ? cos? ? d? ? 0 ?


x

? ? (x ? x)dx


0

? ? (? cos? ? ? 2 sin ? )d? ? 0 ? 4π2 .
0



? (II) ? ? OA ? AO在xOy面上的投影 y L ? C ? OA?(见右图),其中C为阿
D

O

2π B

x

基米德螺线,C的极坐标方程为

? ? ? (0 ? ? ? 2π),而OB : ? ? 0(0 ? ? ? 2π). D就是L所围区域.

? ? ? :z ? x ? y , 且为上侧,? n ?
2 2

? ? ? ?x i ? ? y j ? k. 2 2 2 2 x ?y x ?y

于是所求流量为

? ? ?? z dydz ? dzdx ? x dxdy ? ?? ? z ? (? z? ) ? (? z? ) ? x ? dxdy x y ? ?
? ?

? ? ? y y ? ?? ? ? x ? ? x ? dxdy ? ?? ? ?2 x ? ?? D? ? x2 ? y 2 x2 ? y 2 ? ? ?

? ? d? ? ?

? ??

2π 0

d? ?

?
0

? 2? cos? ? sin ? ? ? d?

? ??

2π 0

?2 3 ? ?2 ? ? cos ? ? sin ? ? d? 2 ?3 ?

? ?6π2 .

? ? ? 2 例2. 12竞赛理工)设密度为1的流体的流速为v ? xz i ? sin xk , 43( ? y ? 1? z2 , ? 曲面S 是由曲线 ? (1 ? z ? 2) 绕z轴旋转而成的旋转曲面, ?x ? 0 ? 其法向量与z轴正向的夹角为锐角.求单位时间内流体流向曲面S 正侧的流量Q.
z

解 曲面S的方程为x2 ? y 2 ? z 2 ? 1(1 ? z ?)
(单叶旋转双曲面), 其正侧如图所示. ? ??? Q ? ?? v ? dS ? ?? xz 2 dydz ? sin xdxdy.
S S

-2
-1
O

? S n
y

x

? z ? 2, ? z ? 1, 取S1 : ? 2 下侧; S2 : ? 2 上侧; 记S ? S1 ? S2所围域为? , 2 2 ? x ? y ? 5, ? x ? y ? 2, ? ? 2 则 Q?? ? ???S ? ?? ? ?? ? xz dydz ? sin xdxdy ? S ?S ? S S ? ?

?

?

1

2

1

2

? ? ??? z 2dxdydz ?
?
2 2

x 2 ? y 2 ?5

??

sin xdxdy ?
2

x2 ? y 2 ? 2

??

sin xdxdy

? ? ? z dz ?? d? ? 0 ? 0 ? ? ?1 z 2dz
1 Dz

x 2 ? y 2 ?1? z 2

??

d?

? ?? z 2 ? π(1 ? z 2 )dz ? ? π ? z ? z ? ? ? 128 π. ? 3 5 ?1 1 15 ? ?
2
3 5

2

例2.44(10竞赛) 求曲面积分I ? ? xy z 2dxdy ? x y 2 zdydz , ??
Σ

其中 ? 是由曲面z ? x 2 ? y 2与平面z ? 1所围成的闭曲面的外侧. 解 ? 所围区域记为? , 取 ? 1 为平面域z ? 1? x 2 ? y 2 ? 1? 之上侧,

? 2 : z ? x2 ? y2 (0 ? z ? 1), 取外侧记I ? I1 ? I2 , 其中 .
I1 ? ? xy z 2dxdy ? ??? 2 xy zdV ? 8??? xyzdV (? 为? 在第一卦限的部分) ??
I

Σ

?

? 8??? ? cos? sin ? z ? d? d? dz ? 8? cos? sin ? d? ? ? d? ? 2 zdz
2 3

?I π 2

1

1

?I

0

0

?

? 8? 1 ? 2 0
Σ

1

? 3 (1 ? ? 4 )
2
Σ1

d? ? 1 , 4
Σ2

对称性 ? ? x yzdydz ? 0 ? 0 ? 0,

I 2 ? ? x yzdydz ? ? x yzdydz ? ? ?? ?? ??

? I ? I1 ? I 2 ? 1 . 4


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