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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:导数在研究函数中的应用 3、利用导数研究不等式成立(教师版)


导数在研究函数中的应用 3——利用导数研究不等式成立 1、设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。 (1)求 a 、 b 的值;
3] (2)若对于任意的 x ?[0, ,都有 f ( x) ? c 2 成立,求 c 的取值范围。

解: (1) f ?( x) ? 6 x

2 ? 6ax ? 3b ,因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 ,
?6 ? 6a ? 3b ? 0, f ?(2) ? 0 ,即 ? ,解得 a ? ?3 , b ? 4 。 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

(2)由(1)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) 。
1) 当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 ; , 当 x ? (1 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 3) 当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 ;

所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c 。 则当 x ??0, 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c 。 3? 因为对于任意的 x ??0, ,有 f ( x) ? c 2 恒成立,所以 9 ? 8c ? c 2 ,得 c ? ?1 或 c ? 9 , 3?
? ? 因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) 。

2、设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) 。 (1)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ;
2) (2)若 h(t ) ? ?2t ? m ,对于 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围。

解: (1)? f ( x) ? t ( x ? t )2 ? t 3 ? t ?1( x ? R,t ? 0) ,
? 当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ? 1,即 h(t ) ? ?t 3 ? t ? 1 。

(2)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t 3 ? 3t ?1 ? m , 由 g ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1, t ? ?1 (不合题意,舍去) 。 当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

-1-

? g(t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) ? 1 ? m 。 2)
h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 内恒成立,即等价于 1 ? m ? 0 ,所以 m 的 2) 2)

取值范围为 m ? 1 。 3、已知函数 f ? x ? ? x ?
a ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R 。 x

(1)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (2)讨论函数 f ?x ? 的单调性;
?1 ? ?1 ? (3)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围。 ?4 ? ?2 ?

解: (1) f ?( x) ? 1 ?

a , x2

由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 , 由切点 P(2,f (2)) 在直线 y ? 3 x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,

8 解得 b ? 9 ,所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? ? 9 。 x a (2) f ?( x) ? 1 ? 2 , x
当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0( x ? 0) ,这时 f ( x) 在 ?? ?,0? , ?0,??? 内是增函数; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a ; 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

-2-

所以 f ( x) 在 (??,? a ] , [ a ,??) 内是增函数,在 (? a, , (0,a ) 内是减函数。 0)
?1? ?1 ? (3)解:由(2)知, f ( x) 在 ? ,1? 上的最大值为 f ? ? 与 f (1) 中的较大者, ?4? ?4 ?

?1 ? ?1 ? 2 对于任意的 a ? ? ,? ,不等式 f ( x) ≤10 在 ? ,1? 上恒成立, ?2 ? ?4 ?
? ? ?1? 当且仅当 ? f ? 4 ? ≤ 10, ?b ≤ 4 ? 4a, 即? ? ? ? 39
? f (1) ≤ 10, ?

?b ≤ 9 ? a ?

7 ?1 ? 2 对任意的 a ? ? ,? 成立,从而得 b ≤ 7 ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] 。 4 4 ?2 ?
4、设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b( x ?R) ,其中 a, b ? R 。 (1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围;
, (3)若对于任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ? 1 在 ? ?11? 上恒成立,求 b 的取值范围。 2

解: (1) f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) ;

10 时, f ?( x) ? x(4 x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) 。 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 。 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

-3-

? 1? ?1 ? ? 0) 所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2, ∞) 内是增函数,在 ( ?∞, , ? ,? 内是减函数。 2 ? 2? ?2 ?
(2) f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根; 为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,
2

即有 ? ? 9a 2 ? 64 ≤ 0 ; 解此不等式,得 ? ≤ a ≤ ,这时, f (0) ? b 是唯一极值,因此满足条件的 a 的取值范围是
? 8 8? ?? 3 , ? 。 3? ?
8 3 8 3

(3)由条件 a ? ? ?2,? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。 2 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。
, 因此函数 f ( x) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f ( ?1) 两者中的较大者。 , 为使对任意的 a ? ? ?2,? ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11? 上恒成立,当且仅当 ? 2
?b ≤ ?2 ? a, a ? 在 ? ?b ≤ ?2 ? a

, ? f (1) ≤ 1 即 , ? f ( ?1) ≤ 1

2 ? ?2,? 上恒成立;

所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??,4] 。 5、设函数 f ( x) ? ax ? 2 , g ( x) ? a2 x2 ? ln x ? 2 ,其中 a ? R, x ? 0 。 (1)若 a ? 2 ,求曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程; (2)是否存在负数 a ,使 f ( x) ? g ( x) 对一切正数 x 都成立?若存在,求出 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由。 解: (1)由题意可知:当 a ? 2 时, g ( x) ? 4 x2 ? ln x ? 2 ,则 g ?( x ) ? 8 x ? 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线斜率 k ? g ?(1) ? 7 ,又 g (1) ? 6 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线的方程为 y ? 6 ? 7( x ? 1) ,即 y ? 7 x ? 1 。 (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x ? a 2 x 2
1 x

( x ? 0)

假设存在负数 a ,使得 f ( x) ? g ( x) 对一切正数 x 都成立。 即:当 x ? 0 时, h(x) 的最大值小于等于零。
-4-

h?( x) ? a ?

1 ? 2a 2 x 2 ? ax ? 1 2 ? 2a x ? ( x ? 0) x x
1 1 , x1 ? (舍) 2a a

令 h?( x) ? 0 可得: x2 ? ? 当0 ? x ? ? 当x??

1 时, h?( x) ? 0 , h(x) 单增; 2a

1 时, h?( x) ? 0 , h(x) 单减。 2a 1 所以 h(x) 在 x ? ? 处有极大值,也是最大值。 2a

? h( x)max ? h(?

1 ?3 1 ) ? 0 解得: a ? ? e 4 2a 2 ,

1 ?3 所以负数 a 存在,它的取值范围为: a ? ? e 4 2 。
1 6、已知函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x 。 a ? R ) ( 2

(1)当 a ? 1 时,求 f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值和最小值; (2)若在区间 (1,?? ) 上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 2 1 x2 ?1 ; x ? ln x , f ?( x) ? x ? ? 2 x x

对于 x ? [1, e] ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在区间 [1, e] 上为增函数, ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?
e2 1 , f min ( x) ? f (1) ? 。 2 2

1 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g (x) 的定义域为 (0,??) 2

在区间 (1,?? ) 上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间 (1,?? ) 上恒成 立。 ∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ①若 a ?
1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? , 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 , 即 ? a ? 1 时, ( x2 ,??) 上有 g ?( x) ? 0 , 在 此时 g (x) 在区间 ( x2 ,??) 上是增函数, 2

并且在该区间上有 g ( x) ? ( g ( x2 ),??) ,不合题意;
-5-

当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1时,同理可知, g (x) 在区间 (1,?? ) 上,有 g ( x) ? ( g (1),??) 也不合题意;
1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1,?? ) 上恒有 g ?( x) ? 0 ,从而 g (x) 在区间 (1,?? ) 上是 2 1 1 减函数;要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? ? 0 ? a ? ? , 2 2 1 1 由此求得 a 的范围是 [? , ] 。 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ? [? , ] 时,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方。 2 2

②若 a ?

-6-


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