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辽宁省丹东市四校协作体2011届高三数学第一次联合考试 理


科目:理科数学
(试题卷) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试题卷上规定的位置,核准条形 码上的信息与本人相符并完全正确后将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2.考生在答题卡上要按要求答卷,考生必须在答题卡上各题目规定答题区域内答题,超出答题 区域书写的答案无效。第 I 卷和第 II 卷均不能答在本试题卷上,在试题卷上答题无效。 3.答

选考题时,考生须先用 2B 铅笔在答题卡上按照要求把所选题目对应的题号涂黑,再用黑色 水签字笔按照题目要求作答。 答题内容与所选题号不符, 答题无效。 作答的选考题号未涂, 答题无效。 选考题多答,按考生在答题卡上答题位置最前的题计分。 4.考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回。 5.本试题卷共 8 页,如缺页,考生须声明,否则后果自负。

2011 年辽宁省丹东市四校协作体第一次联合考试 数 学
(供理科考生使用) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)题~第(24) 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差
s? 1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面积, h 为高 球的表面积公式、体积公式
S ? 4?R2

其中 S 为底面积, h 为高

、 V球 ? 4 ?R3
3

其中 R 为球的半径

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. (1)已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数是 z ,若 (1 ? i) 2 z ? 4 ,则 z ? (A) 2 (2)在 ( (B) 2i (C) ? 2 (D) ? 2i

x 1 ? 3 ) n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 2 x
-1-

(A)7

(B)-28

(C)-7

(D)28

(3)甲、已乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况用茎叶图表示如下: 则下列说法中正确的个数为 ⑴甲得分的中位数为 26,乙得分的中位数为 36; ⑵甲、乙比较,甲的稳定性更好; ⑶乙有

6 的叶集中在茎 3 上 13 9 的叶集中在茎 1、2、3 上。 11
(B)2 (C)3 (D)4

⑷甲有

(A)1 (4) 若将函数 y ? sin(? x ?

5? ? ? )(? ? 0) 的图象向右平移 个单位长度后, 与函数 y ? sin(? x ? ) 的 6 4 3 1 3 7 4 * (n ?N ) ,且 a2 ? a4 ? a ? 9 ,则 log ( a5 ?a7 ?a9) 1 6
(C) (D)
3

图象重合,则 ? 的最小值为 (A)

2 3

(B)

1 2

(5)已知数列{ an }满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 的值是 (A)5 (B) ?

1 5

(C)-5

(D)

(6)已知命题 P : ?x ? (??,0) , 2 x ? 3 x ;命题 q : ?x ? (0, ) , tan x ? sin x .则下列命题为真命题的

?

1 5

2

是 (A) p ? q (B) p ? (?q ) (C) p ? (?q ) (D) (?p) ? q

( 7 ) 已 知 平 面 向 量 OA, OB 满足 :| OA |?| OB |? 2, OA OB 的 夹 角 为 与

? ,又 2

OP ? ?1 OA ? ?2 OB,0 ? ?1 ? 1,1 ? ?2 ? 2 ,则点 P 的集合所表示的图形面积为
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1

(8)有编号为 1,2,?,1000 的产品,现需从中抽取所有编号能被 3 整除的产品作为样品进行检验, 下面是四位同学设计的输出样品编号的程序框图:

-2-

其中正确程序框图的个数是 (A)0 (9)已知 P 为双曲线 (B)1 (C)2 (D)3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点, F1 , F2 为双曲线的左右焦点,且 a 2 b2

cos ?PF1F2 ? sin ?PF2 F1 ?
(A) 5

5 则此双曲线离心率是 5
(C)2 5 (D)3

(B)5

(10)某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀,并在某些方面有特长的 学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读,则仅有两名学 生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是 (A)
1 5
?

(B)

24 125
?

(C)

96 125

(D)

48 125

(11)已知 tan110 ? a ,求 tan50 时,同学甲利用两角差的正切公式求得: tan50? ?

a? 3 1 ? 3a



同学乙利用二倍角公式及诱导公式得 tan50 ?
?

1? a2 ;根据上述信息可估算 a 的范围是 2a

(A) ? ?,?2 ? 3 (C) (?3,?2)

(B) ? 2 ? 3,?3 (D) (?2,? 3)

* (12) 在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”, 如果函数 f (x) 的图像恰好通过 k (k ? N )

个格点,则称函数 f (x) 为 k 阶格点函数,下列函数中“一阶格点”函数有 ① f ( x) ? ? ( x ? 1) ? 1
2

② f ( x) ? 2010 ④ f ( x ) ? sin

1? x

③ f ( x) ? ln(x ? 1) (A)②③ (B)①③

?x
2

? 2010
(D)②④

(C)①④

第 II 卷
-3-

本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应的位置. (13)已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为1 ,等腰三 角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 ;

(14) 已知函数 y ? sin ?x(? ? 0) 的图象如图所示, y ? sin ?x 的图象所有点向右平移 把 再把所得函数图象上所有点得横坐标变为原来的 则 f (x) ? ; y -? 1 2? 3? x

2? 个单位后, 3

1 倍 (纵坐标不变)得到函数 y ? f (x) 的图象, , 2

o

?

(15)定义在 R 上的单调递减函数 y ? f (x) 满足 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,且对于任意 x, y ? R ,不等 式 f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 恒成立,则当 x ? 1 时,

y 的取值范围为 x
.(用数字作答)



(16)某公司计划在北京、丹东、沈阳、大连四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投 资的项目不超过 2 个,则该公司不同的投资方案种数是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a sin ?x cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3(a ? 0, ? ? 0) 的最大值为 2 , x1 , x 2 是集 合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0} 中的任意两个元素,且| x1 ? x 2 |的最小值为 (I)求 a , ? 的值; (II)若 f (? ) ?

? 。 2

2 5? ? 4? ) 的值 ,求 sin( 3 6
-4-

(18) (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△PAD 是正三角形,平面 PAD⊥平面

ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点.
(I)求证:EF ? 平面 PAD; (II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (III)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点,问当 AM 长度等于多少时,直线 MF 与平面 EFG 所成 角的正弦值等于

15 ? 5

-5-

(19) (本小题满分 1 2 分) 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有 9 张大小相同的精 美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:参 加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后 放回盒子,下一位参加者继续重复进行. (I)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取 两张都是“世博会会徽“卡的概率是

5 ,求抽奖者获奖的概率; 18

(II)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用 ? 表示获奖的人数,求 ? 的分布列及 E? , D? 的 值.

(20) (本小题满分 12 分) 点 M 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F. a 2 b2

(I)若圆 M 与 y 轴相交于 A、B 两点,且△ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程; (II)已知点 F(1,0) ,设过点 F 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点,若直线 l 绕点 F 任意转动时, 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 成立,求实数 a 的取值范围.

-6-

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3x 2 sin? ? (I)求 ? 的取值范围; (II)若在 ? 的取值范围内的任意 ? ,函数 f (x) 在区间 ( 2a ? 1, a ) 内都是增函数,求实数 a 的取 值范围; (III)设 x0 ?

1 的极小值大于零,其中 x ? R , ? ? [0, ? ] . 32

sin? sin? , f ( x0 ) ? ,若 f [ f ( x0 )] ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 . 2 2

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按答题位置最前的题计分.作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图: ?ABC 是内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切⊙O 于点 C,弦 BD//MN,AC 与 BD 相交于点 E。 (I)求证: ?ABE ? ?ACD ; (II)若 AB=6,BC=4,求 AE。 A D N E

B M

C

-7-

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,将 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别 伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2 . 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 . (I)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (II)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (I)已知 x , y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;
3 3 2 2

(II)已知 a, b, c 都是正实数,求证: a ? b ? c ?
3 3 3

1 2 (a ? b 2 ? c 2 )(a ? b ? c ) . 3

-8-

2011 年辽宁省丹东市四校协作体第一次联合考试 高三理科数学参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)B (7)B (2)A (8)C (3)A (9)A (4)D (10)D (5)C (11)C (6)D (12)B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 4? 3 (15) [?1,3] (14) sin(x ? (16)60

?
3

)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)由题意知: f ( x)的周期为 ?,由

2? ? ? , 知? ? 1 。 2?

????(2 分)由 f (x) ????(4 分) ????(6 分)

最大值为 2,故 a 2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

-9-

(II)由 f (? ) ?

2 ?? 2 ?? 1 ? ? 知2 sin ? 2? ? ? ? ,即sin ? 2? ? ? ? 。 3 3? 3 3? 3 ? ?

? 3? ? 2? ?? 2? ? ? 5? ? ? ? sin? ? 4? ? ? sin ? ? ? 4? ? ?? ? ? cos? 4? ? ? 3 ?? 3 ? ? 6 ? ? ?2 ?

?? 7 ? ?1? ? ?1 ? 2 sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 。 3? 9 ? ? 3?
2 2

????(12 分)

(18) (本小题满分 12 分) 解:方法 1: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, ∵E、F 为 PA、PB 的中点, ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD; (II)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, ????(6 分) ∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C(4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3) , ????(4 分) ????(2 分)

E(0,?1, 3), F (2,?1, 3), G(4,0,0) ,故 EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3) ,
?n ? EF ? 0 ? ? ?2 x ? 0 ,即? 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? , ?4 x ? y ? 3 z ? 0 ?n ? EG ? 0, ? ?

取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) ,
平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是:

????(7 分)

| cos ? n, n1 ??

n ? n1 1 ? ,锐二面角的大小是 60? ; | n || n1 | 2

????(8 分)

(III)解:设 DM ? x ,M(x, ? 2 ,0) ,则 MF ? (2 ? x,1, 3) , 设 MF 与平面 EFG 所成角为 ? , 则 sin ? ?| cos ? n, MF ??

n ? MF | n | | MF |

?

3 (2 ? x) ? 4
2

?

15 , 5
????(10 分)

x ? 1 或 x ? 3 ,∵M 靠近 A,∴ x ? 1
∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于

15 . 5

????(12 分)

方法 2: (I)证明:过 P 作 P O ? AD 于 O,∵ 平面PAD ? 平面ABCD , 则 PO ? 平面 ABCD,连 OG,
- 10 -

以 系,

OG



OD



OP



x



y



z















????(2 分)

∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C(4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3) ,

E(0,?1, 3), F (2,?1, 3), G(4,0,0) ,
故 EF ? (2,0,0), AD ? (0,4,0), PD ? (0,2,?2 3) , ∵ EF ? AD ? 0, EF ? PD ? 0 , ∴EF ? 平面 PAD; (II)解: EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3) , 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), ????(4 分)

?n ? EF ? 0 ? ? ?2 x ? 0 ,即? 则? , 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , ?4 x ? y ? 3 z ? 0 ?n ? EG ? 0, ? ?
平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), ??【以下同方法 1】 方法 3: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, ∵E、F 为 PA、PB 的中点, ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD; ????(4 分) ????(2 分)

????(7 分)

(II)解:∵ EF//HG,AB//HG,∴HG 是所二面角的棱, ????(6 分) ∵HG // EF,∴ HG ? 平面 PAD, ∴DH ? HG, EH ? HG , ∴ ? EHA 是锐二面角的平面角,等于 60? ; (III)解:过 M 作 MK⊥平面 EFG 于 K,连结 KF, 则 ? KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, ????(10 分) ????(8 分)

因为 AB//EF, AB/平面 EFG, AB/的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距离, HG ? 故 故 ∵ 平面 PAD,∴平面 EFGH ? 平面 PBD 于 EH, ∴A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 3 ,即 MK ? 3 , ∴

15 3 ? , FM ? 5 ,在直角梯形 EFMA 中, AE ? EF ? 2 , 5 FM
????(11 分)

∴ AM ? 1 或 AM ? 3 ∵M 靠近 A,∴ AM ? 1 ∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 (19) (本小题满分 12 分)

15 . 5

????(12 分)

- 11 -

解: (I)设“世博会会徽”卡有 n 张,由

2 Cn 5 ? , 得n ? 5, 2 C9 18

????(2 分)

2 C4 1 故“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 2 ? C9 6

????(4 分)

1 5 k 1 (II) ? ~ B(4, )的分布列为P(? ? k ) ? C4 ( ) k ( ) 4? k (k ? 0,1, 2,3, 4) ; 6 6 6

?
P

0

1

2

3

4

5 0 1 C4 ( ) 0 ( ) 4 6 6

5 1 1 C4 ( )1 ( )3 6 6

5 2 1 C4 ( ) 2 ( ) 2 6 6

5 3 1 C4 ( )3 ( )1 6 6

5 4 1 C4 ( ) 4 ( ) 0 6 6
????(8 分)

? E? ? 4 ?

1 2 ? , 6 3

????(10 分)

1 1 5 D? ? 4 ? ? (1 ? ) ? . 6 6 9
(20) (本小题满分 12 分) 解: (I)? ? ABM 是边长为 2 的正三角形,∴圆的半径 r=2, ∴M 到 y 轴的距离 d ? 3 又圆 M 与 x 轴相切,∴当 x ? c时, 得y ?
2

????(12 分)

????(2 分)

b4 b2 , ∴r ? . a a2

????(4 分)



b2 ? 2, c ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 , a
2

2 ∴ a ? 3 ? 2a, 解得 a=3 或 a=-1(舍去) ,则 b ? 2a ? 6.

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 6
2

????(6 分)

(II) (方法 1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,把 x=1 代入,得 y A ?
2 2 2 ? 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 , ? 2(1 ? y A ) ? 4 y A , y A ? 1,即

b 2 (a 2 ? 1) . a2

a2 ? 1 ? 1. a
????(8 分)

解得 a ?

1? 5 1? 5 1? 5 . 或a ? (舍去) ,即 a ? 2 2 2

②当 l 不垂直 x 轴时,设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), 代入

x2 y2 ? ?1 a2 b2
- 12 -

得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0, 则 x1 ? x2 ?

2a 2 bk 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 , x1 x2 ? 2 b2 ? a2k 2 b ? a2k 2

? 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 ,
2 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 , 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 恒成立.

????(10 分)

? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 ,

(a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2 b 2 ? , b2 ? a2k 2
由题意得, (a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2 b 2 ? 0对k ? R 恒成立. 当 a ? a b ? b ? 0对k ? R 不是恒成立的.
2 2 2 2

当 a ? a b ? b ? 0时, a ?
2 2 2 2

1? 5 ,恒成立. 2

当 a 2 ? a 2b2 ? b2 ? 0时 恒成立,

?a2 ? a2b ? b2 ,即a2 ? (a2 ? 1)b2 ? b4 ,? a ? 0, b ? 0,
? a ? b2 ,即a ? a 2 ? 1, ? a 2 ? a ? 1 ? 0, 解得 a ?
1? 5 , ??) 综上,a 的取值范围是 [ 2
(方法 2)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ①当直线 CD 与 x 轴重合时,有 | OC | ? | OD | ? 2a , | CD | ? 4a .
2 2 2 2 2

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? ,即a ? . 2 2 2
????(12 分)

? c ? 1, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1, 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 .

????(8 分)

②当直线 C 不与 x 轴重合时,设直线 CD 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0), 代入 整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0.
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

? y1 ? y 2 ? ?

2b 2 m b 2 ? a 2b 2 y1 y 2 ? ? 2 , a 2 ? b2m2 a ? b2m2

? 恒有 | OC |2 ? | OD |2 ?| CD |2 , ? ?COD 恒为钝角,
则 OC ? OD ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立 ????(10 分)

? x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1
? (m 2 ? 1)(b 2 ? a 2 b 2 ) 2b 2 m 2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? 2 ?1 ? ? 0. a 2 ? b 2b 2 a ? b2m2 a 2 ? b2m2
2 2 2

又 a ? b m ? 0. ? ?m a b ? b ? a b ? a ? 0对m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2

- 13 -

即 m a b ? a ? a b ? b 对m ? R 恒成立.当 m ? R, m ? 0 时, a 2b 2 m2 ? 0,
2 2 2 2 2 2 2

? a 2 ? a 2b2 ? b2 ? 0. ?a2 ? a2b ? b2 ,即a2 ? (a2 ? 1)b2 ? b4 . ? a ? 0, b ? 0,

? a ? b2 ,即a ? a 2 ? 1, ? a 2 ? a ? 1 ? 0, 解得 a ?
1? 5 , ??) 综上,a 的取值范围是 [ 2
(21) (本小题满分 12 分)

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? ,即a ? . 2 2 2
????(12 分)

解: (I) f '( x) ? 12 x2 ? 6 x sin ? , 令 f '( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? 函数 f (x) 存在极值, sin ? ? 0 ,

sin ? . 2
????(1 分)

由 ? ? [0, ? ] 及(I) ,只需考虑 sin ? ? 0 的情况.当 x 变化时, f '( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情 况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, 0)


0 0 极大值

(0,

sin ? ) 2


sin ? 2
0 极小值

(

sin ? , ??) 2


因此, 函 数

f ( x)


?

?

?

x?
处取得极小值 f (

sin ? sin ? 1 1 ), 且 f ( ) ? ? sin 3 ? ? . 2 2 4 32
????(3 分)

sin ? 2

要使 f (

sin ? 1 1 1 ) ? 0, 必有 ? sin 3 ? ? ? 0, 可得 0 ? sin ? ? , 2 4 32 2

所以 ? 的取值范围是 ? ? (0, ) ? (

?

6

5? ,? ) 6

????(5 分)

(II)由(I)知,函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 与 (

sin ? , ??) 内都是增函数. 2

由题设,函数 f ( x ) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

? 2a ? 1 ? a ? 2a ? 1 ? a ? ,或 ? , 1 ? 2a ? 1 ? sin ? ?a ? 0 ? ? 2
∵ 0 ? sin ? ? 解得 a ? 0 或

1 1 1 . ∴要使不等式 2a ? 1 ? sin ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? . 2 2 4 5 5 ? a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??, 0] ? [ ,1). 8 8
????(8 分)

(III)用反证法证明:

- 14 -

假设 f ( x0 ) ? x0 ,则 f ( x0 ) ? x0 ,或 f ( x0 ) ? x0 ,∵ x0 ? ∴ 当

sin? sin? , f ( x0 ) ? , 2 2

sin? sin? ? f ( x0 ) ? x0 ,或 f ( x0 ) ? x0 ? 2 2

sin ? sin? , ??) 内是增函数, ? f ( x0 ) ? x0 时,∵函数 f ( x) 在区间 ( 2 2 sin ? sin? , ??) 内是增函数, 时,∵函数 f ( x ) 在区间 ( 2 2

∴ f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ,即 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; 当 f ( x0 ) ? x0 ?

∴ f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ,即 x0 ? f ( x0 ) 也矛盾; 故假设不成立,即 f ( x0 ) ? x0 成立. (22) (本小题满分 10 分) 解: (I)在 ?ABC 和 ?ACD 中, ????(12 分)

? AB=AC

? ABE= ? ACD

????(2 分)

又 ? BAE= ? EDC

? BD//MN ? ? EDC= ? DCN ? 直线是圆的切线 ? ? DCN= ? CAD ? ? BAE= ? CAD
? ?ABE ? ?ACD (SAS)
(II)? ? EBC= ? BCM ? BCM= ? BDC ????(5 分)

? ? EBC= ? BDC= ? BAC BC=CD=4
又 ? BEC= ? BAC+ ? ABE= ? EBC+ ? ABE= ? ABC= ? ACB

? BC=BE=4
设 AE= x 。易证 ?ABE ∽ ?DEC

????(7 分)

?

DE DC 4 2 ? ? ? DE ? x x AB 6 3
EC=6— x

又 AE·EC=BE·ED

2 ? 4· x ? x(6 ? x) 3
(23) (本小题满分 10 分)

x=

10 3

????(10 分)

解: (I)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 , ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3
- 15 -

∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) ? y ? 2sin ? ?

????(5 分)

(II) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(300 ? ? ) ? 6 | , ? 5 5
0

∴当 sin(30 -θ )=1 时,点 P ( (24) (本小题满分 10 分)

|4?6| 3 ?2 5 , ? 3) ,此时 d max ? 2 5

????(10 分)

证明:(Ⅰ)∵ ( x3 ? y3 ) ? ( x2 y ? xy 2 ) ? x2 ( x ? y) ? y 2 ( y ? x)

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵ x, y ? R ? ,∴ ( x ? y)2 ? 0, x ? y ? 0 ,∴ ( x ? y)2 ( x ? y) ? 0 , ∴ x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 . 法二:∵ x2 ? y 2 ? 2 xy ,又∵ x, y ? R ? ,∴ x ? y ? 0 , ∴ ( x2 ? y 2 )( x ? y) ? 2 xy( x ? y) ,展开得 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ? 2x2 y ? 2xy 2 , 移项,整理得 x ? y ? x y ? xy .
3 3 2 2

????(5 分)

????(5 分)

(II) ∵ a, b, c ? R ? ,由(I)知:

a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; b3 ? c3 ? b2c ? bc 2 ; c3 ? a3 ? c2 a ? ca2 ;
将上述三式相加得: 2(a3 ? b3 ? c3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? (b2c ? bc2 ) ? (c2a ? ca2 ) ,

3(a 3 ? b3 ? c3 ) ? (a 3 ? a 2b ? ca 2 ) ? (b3 ? ab 2 ? b 2c) ? (c 3 ? bc 2 ? c 2 a ) ? a 2 ( a ? b ? c ) ? b 2 ( a ? b ? c ) ? c 2 (a ? b ? c ) ? (a ? b ? c ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )
∴a ?b ?c ?
3 3 3

1 2 (a ? b 2 ? c 2 )(a ? b ? c ) 3

????(10 分)

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