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2014年高考理科数学真题解析分类汇编:三角函数


三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数 6. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距 离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

r />图 11

A

B

C 6.C

D

1 [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|,在直角三角 2

π 1 形 OPM 中,根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离,即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|,且当 x= 时上 2 2 述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1 16. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α = ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α)= 1 = . 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 2 2 ? 2 2? 1 × - 2 ?2+2? 2

1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?, 2 4? ?

2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?. 2 4? ?

π π 2 (1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin 2α + ?= sin = . 2 4 2 4? 2 ?

2π (2)T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π π π 17. , , [2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像关于直线 x= 对 3 2 2? ? 称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . (1)求 ω 和 φ 的值; α 2π 3π 3 π (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T=π ,从而 2π ω= =2. T π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ + ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ=- . 6

α? α π 3 (2)由(1)得 ?? ?2?= 3sin(2× 2 - 6 )= 4 , π 1 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 1?2 π π 15 所以 cos?α- ?= 1-sin2?α - ?= 1-? ?4? = 4 . 6? 6? ? ? 3π 因此 cos?α + ? 2 ? ? =sin α π π =sin?(α- )+ ? 6 6? ? π π π π =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6 6 ? ? ? ? 6 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8 C3 三角函数的图象与性质 π π 9.[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数 2 3? ? ( ) π 7π A.在区间? , ?上单调递减 12 12 ? ? π 7π B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? π π C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? π π 9 . B [ 解析 ] 由题可知,将函数 y = 3sin ?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度得到函数 y = 2 3? ? 2 ? π π π 7π 2 3sin? ?2x-3π ?的图像,令- 2 +2kπ ≤2x-3π ≤ 2 +2kπ ,k∈Z,即12+kπ ≤x≤ 12 +kπ ,k∈Z 2 ? 7π ?π ? 时,函数单调递增,即函数 y=3sin? ?2x-3π ?的单调递增区间为?12+kπ , 12 +kπ ?,k∈Z,可知当 π 7π k=0 时,函数在区间? , ?上单调递增. ?12 12 ? 3.[2014· 全国卷] 设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 3. C 1 [解析] 因为 b=cos 55°=sin 35°>sin 33°, 所以 b>a.因为 cos 35°<1, 所以 >1, cos 35°

sin 35° sin 35° 所以 >sin 35°.又 c=tan 35°= >sin 35°,所以 c>b,所以 c>b>a. cos 35° cos 35° 6. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距 离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

图 11

A

B

C 6.C

D

1 [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|,在直角三角 2

π 1 形 OPM 中,根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离,即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|,且当 x= 时上 2 2 述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. 14. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ cos(x+φ)的最大值为________. 14. 1 [解析 ] 函数 f(x)= sin(x+ 2φ)- 2sin φ cos(x +φ )= sin[(x+φ)+ φ]- 2sin φ cos(x+φ) = sin(x+φ)cos φ -cos(x+φ)sin φ =sin x,故其最大值为 1. π π π 17. , , [2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像关于直线 x= 对 3 2 2? ? 称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . (1)求 ω 和 φ 的值; α 2π 3π 3 π (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T=π ,从而 2π ω= =2. T π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ + ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ=- . 6 α? α π 3 (2)由(1)得 ?? ?2?= 3sin(2× 2 - 6 )= 4 , π 1 所以 sin?α - ?= . 6 ? ? 4 π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 1?2 π π 15 所以 cos?α- ?= 1-sin2?α - ?= 1-? ?4? = 4 . 6? 6? ? ?

3π 因此 cos?α + ? 2 ? ? =sin α π π =sin?(α- )+ ? 6 6? ? π π π π =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6? 6? 6 ? ? 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 3.[2014· 四川卷] 为了得到函数 y=sin (2x+1)的图像,只需把函数 y=sin 2x 的图像上所有的点 ) 1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 3.A 1? [解析] 因为 y=sin(2x+1)=sin2? ?x+2?,所以为得到函数 y=sin(2x+1)的图像,只需要将

(

1 y=sin 2x 的图像向左平行移动 个单位长度. 2 π 11. [2014· 安徽卷] 若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单位, 所得图像关于 y 轴对称, 4? ? 则 φ 的最小正值是________. 3π 11. 8 π π [解析] 方法一: 将 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单位, 得到 y=sin?2x+ -2φ? 4? 4 ? ? ?

π π π? ? 的图像,由该函数的图像关于 y 轴对称,可知 sin? -2φ?=± 1,故 2φ- =k 4 ?4 ? 1,即 sin?2φ - 4 ?=± π kπ 3π 3π π + ,k∈Z,即 φ= + ,k∈Z,所以当 φ>0 时,φmin= . 2 2 8 8 π π 方法二:由 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 φ 个单位后所得的图像关于 y 轴对称可知, -2φ 4 4? ? π 3π = +kπ ,k∈Z,又 φ>0,所以 φmin= . 2 8 14. [2014· 北京卷] 设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A>0, ω>0). 若 f(x)在区间? π 2π π 上具有单调性,且 f? ?=f? ?=-f? ?,则 f(x)的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6? π π? ?6,2?

14.π

π 2π π π + + 3 2 6 T 2 [解析] 结合图像得 = - ,即 T=π . 4 2 2

1 16. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α = ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α)= 1 = . 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?, 2 4? ? 1 2 2 ? 2 2? 1 × - 2 ?2+2? 2

2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?. 2 4? ?

π π 2 (1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin 2α + ?= sin = . 2 4 2 4? 2 ?

2π (2)T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 7. 、[2014· 广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 7.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可. 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,AB 是直线 l3,则 DD1 是直线 l4,l1∥l4;设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,CC1 是直线 l3,CD 是直线 l4,则 l1⊥l4.故 l1 与 l4 的位置关系不确定.

17. 、 、 、[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π 3 π 1 π 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? π π π 7π π π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3 ?

π π 1 即 sin? t+ ?<- . ?12 3 ? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. π π 16. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ ∈?- , ?. ? 2 2? π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4 π (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? π π 16.解:(1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ?= ? 4? ? 2? π 2 2 2 (sin x+cos x)- 2sin x= cos x- sin x=sin? -x?. 2 2 2 ?4 ? π 3π π 因为 x∈[0,π ],所以 -x∈?- , ?, 4 4? ? 4 故 f(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. 2

π ? ?cos θ (1-2asin θ )=0, ?f? ?=0, ? (2)由? ? 2 ? 得? 2 ?2asin θ -sin θ -a=1. ? ? ?f(π )=1, π π 又 θ∈?- , ?,知 cos θ ≠0, ? 2 2?
? ?1-2asin θ =0, 所以? ?(2asin θ -1)sin θ -a=1, ?

a=-1, ? ? 解得? π ? ?θ=- 6 . 12. 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin 则 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) πx π 1 k+ ?,k∈Z,且极值为± 3,问 [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ ,即 x=m? ? 2? m 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? 题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2? ?k0+2? +3<m .因为?k+2? 的最小值为4,所以只要4m +3<m 成 立即可,即 m2>4,解得 m>2 或 m<-2,故 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 16. ,[2014· 山东卷] 已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图像 12.C π 2π ? 过点? , 3?和点? ?12 ? ? 3 ,-2?. (1)求 m,n 的值; πx 2 , 若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 +[f(x0)]2<m2, m

(2)将 y=f(x)的图像向左平移 φ(0<φ<π )个单位后得到函数 y=g(x)的图像,若 y=g(x)图像上各 最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 16.解:(1)由题意知,f(x)==msin 2x+ncos 2x. π 2π 因为 y=f(x)的图像过点? , 3?和点? ,-2?, ?12 ? ? 3 ? π +ncos , ? 3=msinπ 6 6 所以? 4π 4π ?-2=msin 3 +ncos 3 , 3 m+ n, ? 3=1 2 2 即? 3 1 ?-2=- 2 m-2n, 解得 m= 3,n=1. π (2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?. 6? ? π 由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+ ?. 6? ? 设 y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2). 2 由题意知,x0 +1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π 将其代入 y=g(x)得,sin?2φ + ?=1. 6? ? π 因为 0<φ<π ,所以 φ= . 6 π 因此,g(x)=2sin?2x+ ?=2cos 2x. 2? ? π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z 得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?,k∈Z. 2 ? ? π 2.[2014· 陕西卷] 函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是( 6? ? π A. 2 2.B 2π = =π . 2 π 16. , , ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? B.π C.2π D.4π )

2π [解析] 已知函数 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期为 T= ,故函数 f(x)的最小正周期 T ω

π π 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ), 4? 5 ? 4? ? π π 4 π 所以 sin α cos +cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4 π α sin ?(cos2 α -sin2 α ), 4?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 得 α= +2kπ ,k∈Z, 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

π 3 15. 、 、[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 15.解:(1)由已知,有 3 1 3 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin x·cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π π π 1 (2) 因为 f(x) 在区间 ?- ,- ? 上是减函数,在区间 ?- , ? 上是增函数, f?- ? =- , 4 12? ? 4 ? 12 4 ? ? 4?

π π 1 1 f?- ?=- ,f? ?= , 2 ?4? 4 ? 12? π π 1 1 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4? 4.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( ) π π A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 4 π π C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 12 12 π π 4.C [解析] y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ?= 2cos?3?x- ??,所以将函数 y= 2cos 3x 的 4? ? ? ? 12?? π 图像向右平移 个单位可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,故选 C. 12 π π π 17. , , [2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图像关于直线 x= 对 3 2 2? ? 称,且图像上相邻两个最高点的距离为π . (1)求 ω 和 φ 的值; α 2π 3π 3 π (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 17.解:(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π ,所以 ?(x)的最小正周期 T=π ,从而 2π ω= =2. T π 又因为 f(x)的图像关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ=kπ + ,k=0,± 1,± 2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < , 2 2 π 所以 φ=- . 6 α? α π 3 (2)由(1)得 ?? = 3sin(2 × - ) = , 2 ? ? 2 6 4 π 1 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α< 得 0<α- < , 6 3 6 2 1?2 π π 15 所以 cos?α- ?= 1-sin2?α - ?= 1-? ?4? = 4 . 6? 6? ? ? 3π 因此 cos?α + ? 2 ? ? =sin α π π =sin?(α- )+ ? 6 6? ? π π π π =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6? 6? 6 ? ? 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 3+ 15 = . 8

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 14. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ cos(x+φ)的最大值为________. 14. 1 [解析 ] 函数 f(x)= sin(x+ 2φ)- 2sin φ cos(x +φ )= sin[(x+φ)+ φ]- 2sin φ cos(x+φ) = sin(x+φ)cos φ -cos(x+φ)sin φ =sin x,故其最大值为 1. 16. 、[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A= 2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? a2+c2-b2 sin A 16. 解:(1)因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B, 由余弦定理得 cos B= = , 2ac 2sin B a2+c2-b2 所以由正弦定理可得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,即 a=2
2 2 2

3.

b +c -a 9+1-12 (2)由余弦定理得 cos A= = = 2bc 6 1 - .因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 1 2 2 1- = . 9 3

π π 2 2 1 π 2 2 4- 2 - ?× = 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +? . 4 4 3 2 ? 3? 2 6 4? ? 7. 、[2014· 广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列 结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 7.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可. 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,AB 是直线 l3,则 DD1 是直线 l4,l1∥l4;设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,CC1 是直线 l3,CD 是直线 l4,则 l1⊥l4.故 l1 与 l4 的位置关系不确定.

π 5π 3 16. 、[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= . ? 4? ? 12 ? 2 (1)求 A 的值; π 3π 3 (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2 2 ? ? ? 4 ? 17. 、 、 、[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系:

π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π 3 π 1 π 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? π π π 7π π π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3 ? π π 1 即 sin? t+ ?<- . ?12 3 ? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. → → 17. 、[2014· 辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2, 1 cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA·BC=2 得 c· a· cos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ? ? ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= · = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 4 2?2 7 因此 cos C= 1-sin2C= 1-? = . ? 9 ? 9 1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 17. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A 1 = ,求 B. 3

17.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 所以 tan C= . 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 1+sin β π π 8.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?,β∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? ? ? cos β π A.3α -β= 2 π C.2α -β= 2 B.3α +β= π 2 )

π D.2α +β = 2

1+sin β 8.C [解析] tan α = = cos β

?cosβ +sinβ ? 2? ? 2
cos


2

-sin





2

β β β cos +sin 1+tan 2 2 2 π β π β π π π π = =tan? + ?, 因为β ∈?0, ?, 所以 + ∈? , ?, 又 α∈?0, ? 4 2 4 2 2 4 2 2? ? ? ? ? ? ? ? β β β cos -sin 1-tan 2 2 2 π π β π β 且 tan α =tan? + ?,所以 α= + ,即 2α -β= . 2 4 2 ? 4 2? 13. , [2014· 四川卷] 如图 13 所示, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67°, 30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

图 13

13.60

[解析] 过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,AD=46

AD 46 m,∴AB= = =50(m), sin 67° 0.92 在△ABC 中,∠ACB=30°,∠BAC=67°-30°=37°,AB=50 m,

ABsin 37° 由正弦定理得,BC= =60 (m), sin 30° 故河流的宽度 BC 约为 60 m. π 16. , , ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ), 4? 5 ? 4? ? π π 4 π 所以 sin α cos +cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4 π α sin ?(cos2 α -sin2 α ), 4?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 得 α= +2kπ ,k∈Z, 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

π 3 15. 、 、[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 15.解:(1)由已知,有 3 1 3 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sin x·cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4

1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π π π 1 (2) 因为 f(x) 在区间 ?- ,- ? 上是减函数,在区间 ?- , ? 上是增函数, f?- ? =- , 4 12? ? 4 ? 12 4 ? ? 4? π π 1 1 f?- ?=- ,f? ?= , 2 ?4? 4 ? 12? π π 1 1 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4? 1 10. ,[2014· 重庆卷] 已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , 2 面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 10.A [解析] 因为 A+B+C=π ,所以 A+C=π -B,C=π -(A+B),所以由已知等式可得 1 1 sin 2A+sin(π -2B)=sin[π -2(A+B)]+ ,即 sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B)+ , 2 2 1 所以 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+ , 2 1 所以 2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+ , 2 1 1 所以 2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,所以 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 由 1≤S≤2, 得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 所以 1≤2R2· sin 2 2 R Asin Bsin C≤2,所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 2,所以 bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8. 4 C6 二倍角公式 15. 、[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________.

4 15. 3

[解析] 如图所示, 根据题意, OA⊥PA, OA= 2, OP= 10, 所以 PA= OP2-OA2=2

2,

2tan∠OPA OA 2 1 4 所以 tan∠OPA= = = ,故 tan∠APB= = , PA 2 2 2 1-tan2∠OPA 3

4 即 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 . 3 π π 16. 、[2014· 全国卷] 若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,则 a 的取值范围是 ?6 2? ________. 16.(-∞,2] [解析] f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令 sin x=t,则 f(x)=-2t2+at 1 ? π π 2 ?1 ? +1.因为 x∈? , ?,所以 t∈? ?2,1?,所以 f(x)=-2t +at+1,t∈?2,1?.因为 f(x)=cos 2x+asin x ?6 2? 在区间? π π? a a 2 ?1,1? ? 6 ,2?是减函数,所以 f(x)=-2t +at+1 在区间?2 ?上是减函数,又对称轴为 x=4,∴4≤

1 ,所以 a∈(-∞,2]. 2 1 16. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sin α = ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 16.解:方法一:(1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α)= 1 = . 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?, 2 4? ? 1 2 2 ? 2 2? 1 × - 2 ?2+2? 2

2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 方法二:f(x)=sin xcos x+cos2x- 2 1+cos 2x 1 1 = sin 2x+ - 2 2 2

1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π 2 ? sin 2x+ ?. 2 4? ?

π π 2 (1)因为 0<α< ,sin α = ,所以 α= , 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin 2α + ?= sin = . 2 2 4 2 4 ? ?

2π (2)T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π 16. , , ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ), 4? 5 ? 4? ? π π 4 π 所以 sin α cos +cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4 π α sin ?(cos2 α -sin2 α ), 4?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 得 α= +2kπ ,k∈Z, 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

π 3 15. 、 、[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? 3? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 15.解:(1)由已知,有 3 1 3 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos2x+ 4 2 2 ? ? 1 3 3 = sin x·cos x- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π 1 = sin?2x- ?, 2 ? 3? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π π π 1 (2) 因为 f(x) 在区间 ?- ,- ? 上是减函数,在区间 ?- , ? 上是增函数, f?- ? =- , 4 12? ? 4 ? 12 4 ? ? 4? π π 1 1 f?- ?=- ,f? ?= , 2 ?4? 4 ? 12? π π 1 1 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4? C7 三角函数的求值、化简与证明 π 5π 3 16. 、[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= . ? 4? ? 12 ? 2 (1)求 A 的值; π 3π 3 (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2 2? ? ? 4 ? 17. 、 、 、[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π 3 π 1 π 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? π π π 7π π π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8.

故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3 ? π π 1 即 sin? t+ ?<- . 12 3 ? ? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. π π 16. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ ∈?- , ?. ? 2 2? π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4 π (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? π π 16.解:(1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ?= ? 4? ? 2? π 2 2 2 (sin x+cos x)- 2sin x= cos x- sin x=sin? -x?. 2 2 2 ?4 ? π 3π π 因为 x∈[0,π ],所以 -x∈?- , ?, 4 4? ? 4 故 f(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. 2

π ? ?cos θ (1-2asin θ )=0, ?f? ?=0, ? (2)由? ? 2 ? 得? 2 ? ?2asin θ -sin θ -a=1. ? ?f(π )=1, π π 又 θ∈?- , ?,知 cos θ ≠0, ? 2 2?
? ?1-2asin θ =0, 所以? ?(2asin θ -1)sin θ -a=1, ?

a=-1, ? ? 解得? π ?θ=- 6 . ? π 16. , , ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 5 3 4? ? ? ? π π 16.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2

π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ), 4? 5 ? 4? ? π π 4 π 所以 sin α cos +cos α sin = ?cos α cos -sin 4 4 5? 4 π α sin ?(cos2 α -sin2 α ), 4?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 当 sin α +cos α =0 时,由 α 是第二象限角, 3π 得 α= +2kπ ,k∈Z, 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 由 α 是第二象限角,得 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2 5 . 2

C8 解三角形 1 12.[2014· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B 4 =3sin C,则 cos A 的值为________. 1 12.- [解析] ∵2sin B=3sin C,∴2b=3c. 4 a 3 又∵b-c= ,∴a=2c,b= c, 4 2 9 2 2 c +c -4c2 b +c -a 4 1 ∴cos A= = =- . 2bc 3 4 2× c×c 2
2 2 2

16. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN= 45°,则 x0 的取值范围是________. 16. [-1, 1] [解析] 在△OMN 中, OM= 1+x2 所以设∠ONM=α, 则 45°≤α <135°. 0≥1=ON, 2 1+x0 1 2 根据正弦定理得 = ,所以 1+x2 0= 2sin α ∈[1, 2],所以 0≤x0≤1,即-1≤x0≤1, sin α sin 45° 故符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1]. 12.[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B= a 2b,则 =________. b 12.2 [解析] 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本

题的关键.利用正弦定理,将 bcos C+ccos B=2b 化简得 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即 sin(B+ a C)=2sin B.∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B,利用正弦定理化简得 a=2b,故 =2. b 16. 、[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A =2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? a2+c2-b2 sin A 16. 解:(1)因为 A=2B, 所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B, 由余弦定理得 cos B= = , 2ac 2sin B a2+c2-b2 所以由正弦定理可得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,即 a=2
2 2 2

3.

b +c -a 9+1-12 (2)由余弦定理得 cos A= = = 2bc 6 1 - .因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 1 2 2 1- = . 9 3

π π 2 2 1 π 2 2 4- 2 - ?× = 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +? . 4 4 3 2 ? 3? 2 6 4? ? π 15.[2014· 北京卷] 如图 12,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos 3 1 ∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

图 12 1 4 3 15.解:(1) 在△ADC 中,因为 cos ∠ADC= ,所以 sin ∠ADC= . 7 7 所以 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B= 3 14 3 . (2)在△ABD 中,由正弦定理得 4 7 3 1 1 3 × - × = 2 7 2

3 3 8× 14 AB·sin ∠BAD BD= = =3. sin ∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+52-2×8×5× =49, 2 所以 AC=7. 12.[2014· 福建卷] 在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 4sin 60 ° BC AC 12.2 3 [解析] 由 = ,得 sin B= =1, sin A sin B 2 3 ∴B=90°,C=180°-(A+B)=30°, 1 1 则 S△ABC= ·AC·BCsin C= ×4×2 3sin 30°=2 3,即△ABC 的面积等于 2 3. 2 2 18. 、[2014· 湖南卷] 如图 15 所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

图 15 (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6 18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 2 21 2 7? 1-? = , 7 7 ? ? sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 1-?-

?

2 7? 3 21 = . 14 14 ?

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 ? 14 ? 7 3 = . 2

在△ABC 中,由正弦定理,得 AC·sin α 故 BC= = sin∠CBA 7×

BC AC = . sin α sin∠CBA

3 2 =3. 21 6

π 4.[2014· 江西卷] 在△ABC 中,内角 A,B, C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= , 3 则△ABC 的面积是( 9 A.3 B. 4.C 3 = 2 3 . 3 2 ) 3 C. 3 2 D.3 3

a2+b2-c2 2ab-6 1 1 [解析] 由余弦定理得,cos C= = = ,所以 ab=6,所以 S△ABC= absin C 2ab 2ab 2 2

→ → 17. 、[2014· 辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2, 1 cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA·BC=2 得 c· a· cos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, ? ? 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= · = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 4 2?2 7 因此 cos C= 1-sin2C= 1-? = . ? 9 ? 9 1 7 2 2 4 2 23 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 17. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A 1 = ,求 B. 3 17.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C, 3 1 所以 tan C= . 2

所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 16.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2 +b)· (sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 16. 3 [解析] 根据正弦定理和 a=2 可得(a+b)(a-b)=(c-b)c, 故得 b2+c2-a2=bc, 根据余弦 b2+c2-a2 1 π 定理得 cos A= = , 所以 A= .根据 b2+c2-a2=bc 及基本不等式得 bc≥2bc-a2, 即 bc≤4, 2bc 2 3 1 3 所以△ABC 面积的最大值为 ×4× = 3. 2 2 1 4.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( ) 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 1 1 1 1 4.B [解析] 根据三角形面积公式,得 BA·BC·sin B= ,即 ×1× 2×sin B= ,得 sin B= 2 2 2 2 π 2 2 ,其中 C<A.若 B 为锐角,则 B= ,所以 AC= 1+2-2×1× 2× =1=AB,易知 A 为直角, 2 4 2 3π 2 此时△ABC 为直角三角形, 所以 B 为钝角, 即 B= , 所以 AC= 1+2-2×1× 2×?- ?= 5. 4 ? 2? π → → 12. ,[2014· 山东卷] 在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,当 A= 时,△ABC 的面积为______. 6 1 12. 6 π → → → → 2 [解析] 因为 AB· AC=|AB|·|AC|cos A=tan A,且 A= ,所以|AB|·|AC|= ,所以△ABC 6 3

π 1 1→ 1 2 → 的面积 S= |AB|·|AC|sin A= × ×sin = . 2 2 3 6 6 16. , ,[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立, 1 ∴cos B 的最小值为 . 2 13. , [2014· 四川卷] 如图 13 所示, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67°, 30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73)

图 13

13.60

[解析] 过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,AD=46

AD 46 m,∴AB= = =50(m), sin 67° 0.92 在△ABC 中,∠ACB=30°,∠BAC=67°-30°=37°,AB=50 m, ABsin 37° 由正弦定理得,BC= =60 (m), sin 30° 故河流的宽度 BC 约为 60 m. 18. [浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3,cos2A -cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A= ,求△ABC 的面积. 5 1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 3 1 3 18. 解: (1)由题意得 - = sin 2A- sin 2B, 即 sin 2A- cos 2A= sin 2B 2 2 2 2 2 2 2 π π 1 - cos 2B,sin?2A- ?=sin?2B- ?. 2 6? 6? ? ? π π 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π ),得 2A- +2B- =π , 6 6 2π π 即 A+B= ,所以 C= . 3 3 4 a c 8 (2)由 c= 3,sin A= , = ,得 a= . 5 sin A sin C 5 4+3 3 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A= ,故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= . 5 10 8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S= acsin B= . 2 25 1 10. ,[2014· 重庆卷] 已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ , 2 面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 2 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 10.A [解析] 因为 A+B+C=π ,所以 A+C=π -B,C=π -(A+B),所以由已知等式可得 1 1 sin 2A+sin(π -2B)=sin[π -2(A+B)]+ ,即 sin 2A+sin 2B=sin 2(A+B)+ , 2 2 1 所以 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=sin 2(A+B)+ , 2 1 所以 2 sin(A+B)cos(A-B)=2sin(A+B)cos(A+B)+ , 2 1 1 所以 2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]= ,所以 sin Asin Bsin C= . 2 8 1 由 1≤S≤2, 得 1≤ bcsin A≤2.由正弦定理得 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 所以 1≤2R2· sin 2

R2 Asin Bsin C≤2,所以 1≤ ≤2,即 2≤R≤2 4

2,所以 bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8.

C9 单元综合 16. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN= 45°,则 x0 的取值范围是________. 16. [-1, 1] [解析] 在△OMN 中, OM= 1+x2 所以设∠ONM=α, 则 45°≤α <135°. 0≥1=ON, 1+x2 1 0 2 根据正弦定理得 = ,所以 1+x2 0= 2sin α ∈[1, 2],所以 0≤x0≤1,即-1≤x0≤1, sin α sin 45° 故符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1]. 17. 、 、 、[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关 系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? π π 3 π 1 π 17.解:(1)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? π π π 7π π π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得的最大值是 12,最小值是 8. 故实验室这一天的最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. π π 由(1)得 f(t)=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? π π 故有 10-2sin? t+ ?>11, ?12 3 ? π π 1 即 sin? t+ ?<- . ?12 3 ? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < , 6 12 3 6 即 10<t<18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温. 18. 、[2014· 湖南卷] 如图 15 所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

图 15 (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 2 21 2 7? 1-? = , 7 ? 7 ? sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 1-?-

?

2 7? 3 21 = . 14 14 ?

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 7 ? 14 ? 3 = . 2 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sin α sin∠CBA 3 7× 2 AC·sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6 8 21. 、[2014· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=(cos x-x)(π +2x)- (sin x+1),g(x)=3(x-π )cos x-4(1+ 3 2 x sin x)ln?3-π ?.证明: ? ? π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1<π . ?2 ? π π 2 21.证明:(1)当 x∈?0, ?时,f′(x)=-(1+sin x)·(π +2x)-2x- cos x<0,函数 f(x)在?0, ? 3 2? 2? ? ? π π 8 16 上为减函数.又 f(0)=π - >0,f? ?=-π 2- <0,所以存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0. 3 3 2? ?2? ? 2 3(x-π )cos x π (2)记函数 h(x)= -4ln?3-π x?,x∈? ,π ?. ? ? ?2 ? 1+sin x π π 令 t=π -x,则当 x∈? ,π ?时,t∈?0, ?. 2? ?2 ? ? 2 3f(t) 3tcos t 记 u(t)=h(π -t)= -4 ln?1+π t?,则 u′(t)= . ? ? 1+sin t (π +2t)(1+sin t) 由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)>0, π 当 t∈?x0, ?时,u′(t)<0. 2? ? 故在(0,x0)上 u(t)是增函数,又 u(0)=0,从而可知当 t∈(0,x0]时,u(t)>0,所以 u(t)在(0,x0]上 无零点. π π π 在?x0, ?上 u(t)为减函数, 由 u(x0)>0, u? ?=-4ln 2<0, 知存在唯一 t1∈?x0, ?, 使 u(t1)=0, 2? 2? ? ?2? ?

π 故存在唯一的 t1∈?0, ?,使 u(t1)=0. 2? ? π 因此存在唯一的 x1=π -t1∈? ,π ?,使 h(x1)=h(π -t1)=u(t1)=0. ?2 ? π 因为当 x∈? ,π ?时,1+sin x>0,故 g(x)=(1+sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点,所以存在唯一 ?2 ? π 的 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0. ?2 ? 因为 x1=π -t1,t1>x0,所以 x0+x1<π . 8 21. 、[2014· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=(cos x-x)(π +2x)- (sin x+1),g(x)=3(x-π )cos x-4(1+ 3 2 x sin x)ln?3-π ?.证明: ? ? π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1<π . ?2 ? π π 2 21.证明:(1)当 x∈?0, ?时,f′(x)=-(1+sin x)·(π +2x)-2x- cos x<0,函数 f(x)在?0, ? 3 2? 2? ? ? π π 8 16 上为减函数.又 f(0)=π - >0,f? ?=-π 2- <0,所以存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0. 3 3 2? ?2? ? 2 3(x-π )cos x π (2)记函数 h(x)= -4ln?3-π x?,x∈? ,π ?. ? ? ?2 ? 1+sin x π π 令 t=π -x,则当 x∈? ,π ?时,t∈?0, ?. 2? ?2 ? ? 2 3f(t) 3tcos t 记 u(t)=h(π -t)= -4 ln?1+π t?,则 u′(t)= . ? ? 1+sin t (π +2t)(1+sin t) 由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)>0, π 当 t∈?x0, ?时,u′(t)<0. 2? ? 故在(0,x0)上 u(t)是增函数,又 u(0)=0,从而可知当 t∈(0,x0]时,u(t)>0,所以 u(t)在(0,x0]上 无零点. π π π 在?x0, ?上 u(t)为减函数, 由 u(x0)>0, u? ?=-4ln 2<0, 知存在唯一 t1∈?x0, ?, 使 u(t1)=0, 2? 2? ? ?2? ? π 故存在唯一的 t1∈?0, ?,使 u(t1)=0. 2? ? π 因此存在唯一的 x1=π -t1∈? ,π ?,使 h(x1)=h(π -t1)=u(t1)=0. ?2 ? π 因为当 x∈? ,π ?时,1+sin x>0,故 g(x)=(1+sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点,所以存在唯一 ?2 ? π 的 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0. ?2 ? 因为 x1=π -t1,t1>x0,所以 x0+x1<π .


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