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新人教A版必修1 2.3幂函数课件


高中数学必修 ①人教版A

§2.3幂函数

一、复习引入
? 1、求函数y=x1/2的定义域
? 2、判断函数y=x3的奇偶性

二、自学

思考1:如果张红购买了每千克1元的水 果x千克,她需要付的钱数为y(元), 试将y表示成x的函数. y ? x
思考2:如果

正方形的边长为x,面积为 y,试将y表示成x的函数. y ? 2

x
x

思考3:如果正方体的边长为x,体积为 y,试将y表示成x的函数. y ? 3

思考4:如果一个正方形场地的面积为x, 正方形的边长为y,试将y表示成x的函 1 数. y ? x2 思考5:如果某人x秒内骑车行进了1km, 他骑车的平均速度为y,试将y表示成x的 ?1 函数. y?x
思考6:以上是我们生活中遇到的几个 函数问题,这些函数是指数函数吗?你 能发现这几个函数的解析式有什么共同 特点吗?

y?x
y?

(1)都是以自变量x为底数; (2)指数为常数; (3)自变量x前的系数为1; (4)只有一项。

x

2

y?x
y?x

3

1 2

y?x

?

y?x

?1

一、定义
?是常量.
一般地,函数y ? x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
?

几点说明:
1 ? x 中 x 前面的系数为1. 、y
? ?

2、 定义域没有固定, 与?的值有关.

例1: 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4

1 (2) y ? 2 x
(3) y= -x2

(4) y ? x

1 2

(5) y=2x2

(6) y=x3+2

二、幂函数与指数函数的对比
名称 式子

a
x

x

y
幂值 幂值

指数函数: y=a 幂函数: y= x

底数 指数

指数
底数

a

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数
指数函数

幂函数

快速反应

y ? 0.2

x

y?x

1 2

(指数函数)

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

三、五个常用幂函数的图像和性质
y ? x (2) y ? x 2 (3) y ? x3 (1)
(4) y ? x
1 2

(5) y ? x

?1

函数

y ? x的图像

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像
2

定义域:

R

值 域: [0,??) 奇偶性: 上是偶函数 在R
在 单调性: [0,??)上是增函数

在(??,0]上是减函数

y ? x ?1 的图像 函数

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

在 奇偶性: {x x ? 0}上是奇函数

单调性: (0,??)上是减函数 在
在(??,0)上是减函数

如何画y ? x 和y ? x 的图像呢?
3

1 2

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y ? x 的图像
3

定义域:

值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数 单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像

1 2

定义域: [0,??)

值 域: [0,??) 奇偶性: 非奇非偶函数
单调性: [0,??)上是增函数 在

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞)

1 2

R R 奇函数

y?x 0 (0,+?) ? ??,? ? 0 (0,+?) ? ??,? ?
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

非奇非偶 函数

在(-∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数,在(0, 数 +∞)上是 增函数 公共点

在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 减函数 数

(1,1)

下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
y ? x (2) y ? x 2 (3) y ? x3 (1)
(4) y ? x
1 2

(5) y ? x

?1

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

-3

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.

例2.证明幂函数f ( x) ? x在[0,??]上是增函数.
证明: 任取 x1 , x2 ?[0,??], 且 x1 ? x2 , 则
f ( x1) ? f ( x2) ?

x1 ?
1 2 1

x

2

?

(

?

x ?x x? x

x ? x )( x ? x ) x? x
1 2 1 2 1 2

方法技巧:分子有理化
2

因为 x1 ? x2 , x1 , x2 ?[0,??], 所以 x1 ? x2 ?0,

x ? x ?0,
1 2

所以f ( x1)? f ( x2), 即幂函数f ( x) ? x在[0,??]上的增函数.

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 0.30.3 与 -2

(3)

2.5

5

与2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习(4)

1)

1.3

0.5



1.5

0.5

5.1 < 5.09?2 2)
3)
0.5
1 4

?2

> 0.4
2 ? 3

1 4

4)

0.7



0.8

2 ? 3

知识理解、运用
如图是幂函数y ? x 在第一象限的图象, 1 已知? ? ?2, ,则 c1 , c2 , c3 , c4的?依次为 ? 2 1 1 y ( A) ? 2,? , , 2 c1 2 2 1 1 c2 ( B ) 2, ,? ,?2 2 2 c3 1 1 (C ) ? ,?2, 2, c4 2 2 x 1 1 ( D ) 2, , ? 2, ? 2 2
2 1 0 0 1 2

?

小结: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随 常数α取值的不同而不同.

1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1

a=1

0<α<1
α<0

作业: 利用单调性判断下列各值的大小。

(1)1.3 与1.5
0.5 1 4

0.5

(2)5.1 与5.09
1 4

?2

?2

(3) ? 1.79 与 ? 1.81


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