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12课题:函数模型及其应用


2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/7/18

课题:函数模型及其应用
一、考点梳理: 1.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度

图像的变化 二、基础自测: 1.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元, 普通车存车费是每辆一次 0.2 元, 若普通车存车数为 x 辆次, 存车费总收入为 y 元, 则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) ) 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0) y=ax(a>1) 增函数 越来越快 随 x 值增大,图像 与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大,图像 与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

2.已知函数模型①y=1.002x,②y=x0.5,③y=log2x+1,随着 x 的增大,增长速度的大小关系是________. 3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月销售量的关系满足一次函数. 已知销售量为 1000 件时, 收入为 3000 元,销售量为 2000 件时,收入为 5000 元,则营销人员没有销售量时的收入是________元. 三、考点突破: 考点一、一次函数与二次函数模型 【例 1】1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内 通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A.10 元 B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3 )

2.将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若该商品每个涨价 1 元,其销 售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( A.115 元 B.105 元 C.95 元 D.85 元 )

3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化 碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与 1 月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化 2 工产品价值为 100 元.该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少 1

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元才能使该单位不亏损?

考点二、分段函数模型 【例 2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速 度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点

的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

考点三、指数函数模型 【例 3】一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时, 1 所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 4 2 .(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年? 2

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四、当堂检测 1.往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推, 每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信质量在 100 g 以内).如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g,则他应付邮费( ) A.3.20 元 B.2.90 元 C.2.80 元 D.2.40 元 x y C.y=2x-2 D.y=log2x 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00

2.在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: 则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x B.y=x -1
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)

3.一种产品的成本原为 a 元,在今后的 m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低 p%,成本 y 是关于经过年 数 x(0<x≤m)的函数,其关系式 y=f(x)可写成__________________. 4.某电脑经销商将一款笔记本电脑售价先按原价提高 40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果每台 电脑比原来多赚了 270 元,则每台电脑的原价为________元. 5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 210 吨. 5 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

五、课后巩固: 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x )

D.y=100log2x+100

2.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图像, 当血液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药, 为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( A.上午 10:00 B.中午 12:00 ) C.下午 4:00 D.下午 6:00

3..一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像可能是图中的________.

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4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空 出 1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为________. 5(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园 (阴影部分),则其边长 x 为________(m). 6.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元,年产量 为 x(x∈N*)件.当 x≤20 时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂 生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元, (1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式; (2)该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大,并求出最大利润。(年利润=年销售总收入-年总投资).

7.某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第 一年起每年蔬菜销售收入 50 万元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投 资额).[来源:学_科_网] (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法: ①年平均纯利润达到最大时,以 48 万元出售该厂,②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更合 算?

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参考答案 课题:函数模型及其应用
一、考点梳理: 1.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图像的变化 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0) y=ax(a>1) 增函数 越来越快 随 x 值增大,图像 与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大,图像 与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

二、基础自测: 1.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元, 普通车存车费是每辆一次 0.2 元, 若普通车存车数为 x 辆次, 存车费总收入为 y 元, 则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) )

解析:选 D y=0.2x+(4000-x)×0.3=-0.1x+1 200.(0≤x≤4 000) 2.(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部 分),则其边长 x 为________(m).

x 40-y 2 解析:设矩形花园的宽为 y m,则 = ,即 y=40-x,矩形花园的面积 S=x(40-x)=-x +40x=-(x- 40 40
20) +400,当 x=20 m 时,面积最大.答案:20 三、考点突破: 考点一、一次函数与二次函数模型 【例 1】1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内 通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A.10 元 B.20 元 C.30 元 40 D. 元 3 )
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解析:选 A 依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又 sA(100)=sB(100), ∴ 100k + 20 = 100m ,得 k - m =- 0.2 ,于是 sA(150) - sB(150) = 20 + 150k - 150m = 20 + 5

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150×(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.(2013· 北京西城区抽检)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若该商品每个涨价 1 元, 其销售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( A.115 元 B.105 元 C.95 元 D.85 元 )

解析: 选 C 设售价定为(90+x)元, 卖出商品后获得利润为: y=(90+x-80)(400-20x)=20(10+x)(20-x)=20(- x2+10x+200)=-20(x2-10x-200)=-20[(x-5)2-225],∴当 x=5 时,y 取得最大值,即售价应定为:90+5 =95(元),选 C. 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化 碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与 1 月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化 2 工产品价值为 100 元.该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少 元才能使该单位不亏损? 1 2 1 2 ? 解:设该单位每月获利为 S,则 S=100x-y=100x-? ?2x -200x+80 000?=-2x +300x-80 000 1 =- (x-300)2-35 000,因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 2 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. 考点二、分段函数模型 【例 2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位: 千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速 度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点

的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).
?200a+b=0, ? [解] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 ,

1

60,0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?200-x ? 3 ,20<x≤200. ?

60x,0≤x≤20, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?x?200-x? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值 ,20<x≤200. ? 3 ? 1 1 x+200-x?2 10 000 为 60×20=1 200;当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ? = 3 .当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取 得最大值 f(x)max= 10 000 ≈3 333,即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/ 3 6

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小时. 考点三、指数函数模型 【例 3】一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时, 1 所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 4 2 .(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年? 2 1? 1 1 1 [解] (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= ,解得 x=1-? ?2?10. 2 2 1? 10 ?1? 2 m 1 2 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m= a,即? ?2? =?2? ,10=2,解得 m=5.故到今年为止,已 2 2 砍伐了 5 年. 2 2 1 2 ?1? 10 ?1? (3)设从今年开始, 以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 a(1-x)n.令 a(1-x)n≥ a, 即(1-x)n≥ , ≥?2? 2 2 4 4 ?2?
3 2 n
m 1



n 3 ≤ ,解得 n≤15.故今后最多还能砍伐 15 年. 10 2

四、当堂检测 1.(2014· 南昌质检)往外埠投寄平信,每封信不超过 20 g,付邮费 0.80 元,超过 20 g 而不超过 40 g,付邮费 1.60 元,依此类推,每增加 20 g 需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内).如果某人所寄一封信的质量为 72.5 g, 则他应付邮费( A.3.20 元 ) B.2.90 元 C.2.80 元 D.2.40 元

解析:选 A 由题意得 20×3<72.5<20×4,则应付邮费 0.80×4=3.20(元).故选 A. 2.(2014· 广州模拟)在某个物理实验中,测量得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x y 0.50 -0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 ) C.y=2x-2 D.y=log2x

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x B.y=x2-1

解析:选 D 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;根据 x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B、 C;将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.故选 D. 3.一种产品的成本原为 a 元,在今后的 m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低 p%,成本 y 是关于经过年 数 x(0<x≤m)的函数,其关系式 y=f(x)可写成__________________. 解析:依题意有 y=a(1-p%)x(0<x≤m). 答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m)

4.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 210 吨. 5 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

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y y x 8 000 解:(1)每吨平均成本为 (万元).则 = + -48≥2 x x 5 x

x 8 000 x 8 000 · -48=32,当且仅当 = , 5 x 5 x

即 x=200 时取等号.∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低,最低为 32 万元. x2 x2 1 (2)设可获得总利润为 R(x)万元,则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000=- +88x-8 000=- (x-220)2+1 5 5 5 1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时,R(x)有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660. 5 ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润,最大利润是 1 660 万元. 五、课后巩固: 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x )

D.y=100log2x+100

解析:选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型. 2.某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克,如图所示为函数 y=f(x)的图像,当血液中药物残留量不小于 240 毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00 第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( A.上午 10:00 B.中午 12:00 C.下午 4:00 D.下午 6:00 )

解析:选 C 当 x∈[0,4]时,设 y=k1x,把(4,320)代入,得 k1=80,
? ?4k2+b=320, ∴y=80x.当 x∈[4,20]时,设 y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得? ?20k2+b=0. ? ? ?k2=-20, 解得? ?b=400. ? ? ?80x,0≤x≤4, ∴ y = 400 - 20x. ∴ y = f(x) = ? ?400-20x,4<x≤20. ? ? ?0≤x≤4, 由 y≥240 , 得 ? ?80x≥240, ?



?4<x≤20, ? ? 解得 3≤x≤4 或 4<x≤8,∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午 4:00.故选 C. ?400-20x≥240. ?

3..一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图像可能是图中的________.

H H 解析:当 h=0 时,v=0 可排除①、③;由于鱼缸中间粗两头细,∴当 h 在 附近时,体积变化较快;h 小于 时, 2 2 H 增加越来越快;h 大于 时,增加越来越慢.答案:② 2 4.如图,书的一页的面积为 600 cm2,设计要求书面上方空出 2 cm 的边,下、左、右方都空出 1 cm 的边,为使 中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为________. 解析:设长为 a cm,宽为 b cm,则 ab=600 cm,则中间文字部分的面积 S=(a-2-1)(b-2) =606-(2a+3b)≤606-2 6×600=486, 当且仅当 2a=3b, 即 a=30, b=20 时, S 最大=486 cm2. 答案:30 cm,20 cm 5.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元,年产量 8

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

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为 x(x∈N*)件.当 x≤20 时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂 生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为________,该工厂的年产量为 ________件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资). 解析:当 x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,y=260-100-x=160-x.故 y=
?-x2+32x-100,0<x≤20, ? ? (x∈N*). ? 160 - x , x >20. ?

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156.而当 x>20 时,160-x<140,故 x=
2 ? ?-x +32x-100,0<x≤20, ? 16 时取得最大年利润.答案:y= (x∈N*) ?160-x,x>20. ?

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12课题:函数模型及其应用

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专题12 函数模型及其应用(解析版)

专题12 函数模型及其应用(解析版)_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档专题12 函数模型及其应用(解析版)_初中教育_教育专区。专题十二 函数模型...

12函数模型及其应用

12 函数模型及其应用【考点要求】 考试大纲要求 内容 函数模型及其应用 【知识梳理】 1.几类函数模型及其增长差异 ⑴几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例...

课时作业12 函数模型及其应用

课时作业(十二) 函数模型及其应用 A 级 1. 某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y=5x+4 000, 而手套出厂价格为每副 10 元,则该厂...

第12讲 函数模型及其应用

12函数模型及其运用一、知识梳理 1.函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型: f ? x ? ? kx ? b k , b为常数, k ? 0 ;(2)二次函数模型: ...

12函数模型及其应用.doc

沂源二中高三数学组 编写时间:2010-9-18 (序号 12) 编写人:王太武 审核人: 王保华 班级: 姓名: 函数模型及其应用学习目标解函数模型的广泛应了解指数、 对数、...

2013高考数学一轮复习题:第12讲_函数模型及其应用

2013高考数学一轮复习题:第12讲_函数模型及其应用_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十二) [第 12函数模型及其应用] [时间:45 分钟 分值:100 分] 1....

2013高考数学一轮复习题:第12讲_函数模型及其应用

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12函数模型及应用学案设计模板

滨城区第一中学 高三 、科目数学 人教 A 版 导学案编号 NO:12 编写人:黎红英 审核人: 班级: 小组: 姓名: 教师评价: 课题 12:函数模型及其应用【学习目标】...