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第四讲 数学归纳法证明不等式


对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-----数学归纳法

在数学研究中,人们会遇到这样的情 况,对于任意正整数n或不小于某个数n0 的 任意正整数n,都有某种关系成立。 例如:
1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 (n∈N+)
n2<2n (n∈N+,N≥5),

(1+

x)n>1+nx (x>-1,n∈N+).
与正整数有关 的命题

问题情境一

完全归纳法

问题 1:大球中有5个小球,如何验证它们都是绿色的? 模拟演示 问题2:若an=(n2- 5n+5)2 ,则an=1。对吗?
当n=1,a1= 1 ;n=2,a2= 1 ;n=3,a3= 1 ; n=4,a4=

n=5,a5=2 5
1 ;

问题3: 已知: -1+3= 2 -1+3-5= -3 -1+3-5+7= 4 -1+3-5+7-9=-5 可猜想:

不完全归纳法

-1+3-5+ …+(-1)n(2n-1)= (-1)n n

法国的数学家费马(Pierre de Fermat) 问题情境二:数学家费马运用不完全 (1601年~1665年) 。 归纳法得出费马猜想的事例 十七世纪最卓越的数学家之一, 他在数学许多领域中都有极大的贡献, 因为他的本行是专业的律师, 为了表彰他的数学造诣, 世人冠以“业余王子”之美称,

费马观察到: 2 2 2 2
20 21
2

?1 ? 3 ?1 ? 5 ? 1 ? 257 ? 1 ? 65537
猜想:

2 2 ? 1 ? 17
23 24

Fn ? 2 ? 1(n ? N )
都是质数

2n

......

归纳法
归纳法:由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。 (1)完全归纳法:考察全体对象,得到一般结论的推理方法。 (结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难) (2)不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。 (结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想)
如何解决不完全归纳法 存在的问题呢?

必须寻找一种用有限个步骤,就 能处理完无限多个对象的方法。

问题情境三

多米诺骨牌操作实验

数学归纳法
(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立
(2)假设当n=k(k ∈ N+ ,k≥ n0 )时命题成立 k=2,k+1=2+1=3 证明当n=k+1时命题也成立。 k=3,k+1=3+1=4 … 这种证明方法叫做 数学归纳法 k=10,k+1=10+1=1 1 我们常采用数学归纳法来证明:由不完全归纳法 … 得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.

下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性
例1、用数学归纳法证明:当n∈N+时, -1+3-5+ …+(-1)n(2n-1)=(-1)n n (*)

证明: (1)当n=1时,左边=-1,右边=-1, ∴左边=右边, ∴ 当n=1时,式(*)成立 (2)假设当n=k时,式(*)成立, 即 -1+3-5+ …+(-1)k(2k-1)=(-1)k k 在这个假设下再考虑当n=k+1时,式(*)的左右两边

是否成立.

当n=k+1时
等式左边= -1+3-5+ …+(-1)k(2k-1)
从n=k到n=k+1 有什么变化

+(-1)k+1 [2(k+1)-1]
利用 假设

=(-1)k k +(-1)k+1 [2(k+1)-1] =(-1)k+1 [-k+2(k+1)-1] = (-1)k+1 (k+1)=右边 所以当n=k+1时等式(*)成立。
凑结论

由(1)(2)可知,
-1+3-5+ …+(-1)n(2n-1)=(-1)n n

下面的框图表示了数学归纳法的基本过程:

(1)验证:n=n0 (n0∈N+) 时命题成立。
奠基

(2)证明:假设n=k (k≥n0)时命题成立, 则n=k+1时命题也成立。
假设与 递推

对所有的n (n0∈N+, n≥n0)命题成立

数学归纳法主要步骤:

找准起点 奠基要稳

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步:验证当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时结论正确 第二步:假设n=k (k∈N+ , 且k≥ n0)时结论正确, 证明n=k+1时结论也正确

结论:由(1)、(2)得出结论正确
写明结论 才算完整

用上假设 递推才真

例2

用数学归纳法证明 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2
2 =4 1)此时n0=__ 右 = __________ 1(1 + 1) 1 左=_______ 1× 4= 4

当n=k时,等式左边共有___ k 项, 第(k-1)项是__________________ (K-1)×[3(k-1)+1] 。 2)假设n=k时命题成立,即

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

3)当n=k+1时,命题的形式是

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2
4)此时,左边增加的项是

(k+1)[3(k+1)+1]
5)从左到右如何变形?

证明: (1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,等式成立。 (2)假设 n= k时 命题成立,即 1× 4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 当n=k+1时 左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)

+(k+1)(3(k+1)+1)
= k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1] = (k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2 =右边 这就是说,当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立

练习巩固
1.用数学归纳法证明:

?n ? 1??n ? 2????n ? n? ? 2 ?1? 3 ? ??? ?2n ? 1?, ?n ? N ? ?
n

在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是

2

2.某个命题与正整数n有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成 立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立. 现已知当n=5时该 命题不成立,那么可推得 ( C) A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立

3.如下用数学归纳法证明对吗?

1 证明:①当n=1时,左边= 2 等式成立。

1 1 1 1 1 n + 2 + 3 +?+ n ? 1 - ( ) 2 2 2 2 21
右边=1 ?

2

?

1 2

1 1 1 1 1 k ②假设n=k时等式成立,有 + 2 + 3 +?+ k ? 1 - ( ) 2 2 2 2 2
那么,当n=k+1时,有

1 1 k ?1 [1 ? ( ) ] 1 1 1 1 1 k ?1 2 2 ? 2 ? ? ? k ? k ?1 ? ? 1? ( ) 1 2 2 2 2 2 1? 2 即n=k+1时,命题成立。
根据①②可知,对n∈N+,等式成立。

分析 第二步证明中没有用到假设,这不是数学归纳法证明 既然不对,如何改正?

1 1 1 1 1 1 k 1 + 2 + 3 + + k ? k ?1 ? 1 - ( ) ? k ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 k ?1 1 1 k ?1 ? 1 - 2( ) ? k ?1 ? 1 - ( ) 2 2 2
三注意:1、有时 n0不一定等于1 2、项数不一定只增加一项。

注意:用上假设 递推才真

3、一定要用上假设

练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) =

证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

1 n(n + 1)( n + 2) 3

1 k (k ? 1)( k ? 2) 3

则当n ? k ? 1时,左边= 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ? ...? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2)
1 ? k ( k ? 1)( k ? 2) ? ( k ? 1)( k ? 2) 3 1 ? ( k ? 1)( k ? 1)( k ? 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
凑结论

利用 假设

1 ? (k ? 1)[( k ? 1) ? 1][( k ? 2) ? 1] ? 右边 3

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ∈ N ? ,命题正确。

用数学归纳法证明恒等式注意事项:

? 明确初始值n0,验证真假。(必不可少) ? “假设n=k时命题正确”,写出命题形式。 ? 证明“n=k+1时”命题成立。 分析“n=k+1时”命题是什么,并找出 与“n=k”时命题形式的差别,弄清左端应 增加的项。 注意用上假设, ? 要作结论

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
(1)证明当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时结论正确 (2)假设n=k (k∈N+ , 且k≥ n0)时结论正确, 证明n=k+1时结论也正确 由(1)、(2)得出结论正确

(1)数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 (2)两个步骤,一个结论缺一不可,否则结论不能成立。 (3)在证明递推步骤时,必须使用归纳假设。
归纳法 可能错误 如何避免?

完全归纳法
穷举法

不完全归纳法
递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉

数学归纳法

数学归纳法的核心思想
数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可靠的基 础上,利用命题自身具有的传递性,运用“有限”的 手段,来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。

(1)思考题:问题 1中大球中有很多个小球,如 何证明它们都是绿色的? 模拟演示 (2)课本作业 P50. 习题4. 1 (3)补充作业: 用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列, 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
(4)预习课本P49例1和例2

1,2

哥 德 巴 赫 猜 想

? 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的 现象:任何大于5的整数,都可以表示为三个质数 的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给 予证明. ? 1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的 瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现: 问题 的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个 质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验 算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日, 他复信哥德巴赫,信中指出:“任何大于2的偶 数都是两个质数的和,虽然我还不能证明它,但 我确信无疑这是完全正确的定理。” ? 这就是著名的哥德巴赫猜想.


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