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直线、平面、简单几何体1(人教A版必修2)


直线、平面、简单几何体 1 一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 若 是平面 外一点,则下列命题正确的是 相交 (B)过 可作无数条直线与平面

(A)过 垂直 (C)过 平行

只能作一条直线与平面

只能作一条直线与平面

平行

(D)过

r />
可作无数条直线与平面

2.在空间四边形 如果 、

中,



、 )



上分别取

、 、 、

四点,

交于一点 ,则( 上 上

A. 一定在直线 C. 在直线 或

B. 一定在直线 D. 既不在直线

上 上,也不在 上

3.如图 S 为正三角形所在平面 ABC 外一点,且 SA=SB=SC=AB,E、F 分别 为 SC、AB 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成角为( A.90? B.60? C.45? D.30? )

4.下列说法正确的是(



A.若直线 平行于平面 内的无数条直线,则 B.若直线 在平面 外,则 C.若直线 D.若直线 , , ,则 ,则直线 就平行于平面内的无数条直线

5.在下列条件中,可判断平面 与平面 A. 、 都垂直于平面

平行的是(



B. 内存在不共线的三点到平面 C. 、 D. 、 是 内两条直线,且 是两条异面直线,且

的距离相等 , , , ,

6 若 为一条直线, ② 正确的命题有( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个

为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① ;③ ,其中

D. 3 个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当点 D 到平面 ABC 的距离最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为 A.90? B.60? ( ) C.45? D.30?

8.PA、PB、PC 是从点 P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为 60?,则直 线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,则 EF 与对角面 A1C1CA 所成角的度数是( A.30? B.45? ) C.60? D.150?

10.设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 (A)若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 (B)若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 (C)若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC

(D)若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 11.对于平面 (A)若 (C)若 和共面的直线 则 则 、 下列命题中真命题是 (B)若 (D)若 、 与 则 所成的角相等,则

12.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行, ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 设 则 14. 、 是直二面角, 。 、 是两两垂直且交于 O 点的三个平面,P 到平面 、 、 的距离 , , , ,

分别是 2、3、 6,则 。 中,AB=1。若二面角 。 的大小为

15. 如图,在正三棱柱 ,则点 到直线 AB 的距离为

16.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 二面角等于_______________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)

,则侧面与底面所成的

17.如图,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱。 (I)求证:BD⊥平面 ACC1A; (II)若二面角 C1-BD-C 的大小为 60°,求异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小。

18.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2, ⑴求证:平面 AB1C⊥平面 BB1C; ⑵求点 B 到平面 AB1C 的距离。





19. 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2. (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

的等腰梯形,

20.如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠ DBC=120?, 求:⑴A、D 连线和平面 DBC 所成的角;⑵二面角 A—BD—C 的正切值。

21. 如图, 在五面体 ABCDEF 中, O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, CDE 点 面

是等边三角形,棱 (1)证明 FO//平面 CDE; (2)设



,证明 EO⊥平面 CDF。

22.(本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

(I)求证:

平面 BCD;

(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

参考答案
一、选择题 DBCDD CCCAC CB

12.提示:BD1⊥平面 AB1C,EF⊥平面 AB1C 二、填空题 13.60? 14.7 三、解答题 17. 解法一: (1)∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱 ∴CC1⊥平面 ABCD ∴BD⊥CC1 ∴ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC 又∵AC,CC1 平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面 ACC1A1 15. 16.. 。

(II)设 BD 与 AC 相交于 O,连接 C1O。 ∵CC1⊥平面 ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC 是二面角 C1-BD-C 的平面角 ∴∠C1OC=60° 连接 A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B 是 BC1 与 AC 所成角.



BC=a, 则

CO=

在 △ A1BC1 中 , 由 余 弦 定 理 得

∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos 解法二:(I)建立空间直角坐标系 D-xyz,如图。

设 AD=a,DD1=b,则有 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), C(0,a,0),C1(0,a,b),

∴BD⊥AC,BD⊥CC1 又∵AC,CC1 平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面 ACC1A1。 ( II ) 设 BD 与 AC 相 交 于 O , 连 接 C1O , 则 点 O 坐 标 为

) ∴BD⊥C1O,又 BD⊥CO, ∴∠C1OC=60°



∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为

18.⑴由已知条件立即可证得, ⑵在平面 BB1C 内作 BD⊥B1C 于 D,由⑴得 BD⊥面 AB1C,

∴BD 为 B 到面 AB1C 的距离,∴ 换) 19..解法一(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角, 即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1

(本题也可用体积转

所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1, O1(0,0, ). )

从而 所以 AC⊥BO1. (II)解:因为 所以 BO1⊥OC, 是平面 OAC 的一个法向

由(I)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC, 量. 设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量,

由 设二面角 O—AC—O1 的大小为 ,由 、

得 的方向可知

. , >,

所以 cos



>=

即二面角 O—AC—O1 的大小是 解法二(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB 是所折成的直二 面角的平面角,即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1,OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.

因为



所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1 由三垂线定理得 AC⊥BO1.

(II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知 BO1⊥平面 AOC. 设 OC∩O1B=E,过点 E 作 EF⊥AC 于 F,连结 O1F(如图 4),则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影,由三垂线定理得 O1F⊥AC. 所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角. 由题设知 OA=3,OO1= 所以 ,O1C=1, ,

从而



又 O1E=OO1·sin30°=



⑴显然可得 MN∥平面 ABC,∵平面 MNC

平面 ABC= ,∴MN∥

⑵∵PC⊥平面 ABC,∴平面 PAC⊥平面 ABC,作 MQ⊥AC,则 MQ⊥平面 ABC, 作 QD⊥ 于 D,则 MD⊥ ,MD 的长即为 M 到 的距离 在 Rt△ACB 中,可求得 ∴ , ,于是 ,又 ,∠QCD=30?,

20.⑴作 AO⊥BC 交 BC 的延长线于 O,∵面 ABC⊥面 BCD,∴OA⊥面 BCD, 连 OD,则∠ADO 就是 AD 与平面 BCD 所成的角,可求得∠ADO=45? ⑵作 OE⊥BD 于 E,连 AE,则 BD⊥AE, ∴∠AEO 就是二面角 A-BD-C 的平面角的补角,

∵∠ABO=60?, ∴



, ∵∠EBO=60?, ∴

在 Rt△AOE 中, ,∴二面角 A-BD-C 的正切值为-2 21. (1)证明:取 CD 中点 M,连结 OM,在矩形 ABCD 中

,又

,则

。连结 EM,

于是四边形 EFOM 为平行四边形 ∴ FO//EM 又 ∵ FO 平面 CDE,且 EM 平面 CDE,∴ FO//平面 CDE 中,CM=DM,EM

(2)证明:连结 FM,由(1)和已知条件,在等边

⊥CD 且 ⊥FM

。因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO

∵ CD⊥OM,CD⊥EM 而 FM CD=M,所以

∴ CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO 平面 CDF

22(I)证明:连结 OC

在 而

中,由已知可得

即 平面

(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知

直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 中,

是直角

斜边 AC 上的中线,

异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 (III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为



中,



点 E 到平面 ACD 的距离为


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