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2011年 第四章 三角函数及三角恒等变换 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

时间:2012-06-19


一、选择题
2 2 ( 1.(重庆理 6)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 a ? b ) ? c ? 4 ,且 C=60°,

则 ab 的值为
4 2

A. 3 【答案】A

B. 8 ? 4 3

C. 1

D. 3

0< ? <

?
2 ,

-

?
2

< ?<0

co s(

?
4

??) ?

1 3 ,

co s(

?
4

?

?
2

)?

3 3 ,则

2. ( 浙 江 理 6 ) 若
c o s? ? (



?
2

) ?

3

?

3 3

5 3

?

6 9

A. 3 【答案】C

B.

C. 9

D.

3.(天津理 6)如图,在△ A B C 中, D 是边 A C 上的点,且
AB ? CD , 2 AB ? 3BD , BC ? 2BD

,则 sin C 的值为
3

3

A. 3
6

B. 6
6

C. 3 【答案】D

D. 6

4.(四川理 6)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

?

?

?

?

A. (0, 6 ]

B.[ 6 , ? )

C. (0, 3 ]

D.[ 3 , ? )

【答案】C 【解析】由题意正弦定理
a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ?
2 2 2 2 2 2

b ?c ?a
2 2

2

? 1 ? co s A ?

1 2

? 0? A?

?
3

bc

5. (全国新课标理 5) 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =
? 4 5 ? 3 3 4

(A)

(B) 5

(C) 5

(D) 5

【答案】B 6.(辽宁理 4)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a ,
b ?

则a (A) 2 3 【答案】D


(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

?

+ ?) =

1 3 ,则 sin 2? ? 1 7

7.(辽宁理 7)设 sin 4
? 7 9 ? 1

(A)

(B) 9

(C) 9

(D) 9

【答案】A
sin 2 ?

8.(福建理 3)若 tan ? =3,则 co s a 的值等于
2

A.2 【答案】D 二、填空题

B.3

C.4

D.6

9.(上海理 6)在相距 2 千米的 A . B 两点处测量目标 C ,若 ? C A B ? 75 , ? C B A ? 60 ,
0 0

则 A . C 两点之间的距离是 【答案】 6

千米。

10.(全国新课标理 16) ? A B C 中, B ? 6 0 ? , A C ? 【答案】 2 7

3,

,则 AB+2BC 的最大值为_________.

cos2 ?
sin ? ? 1 2 ? co s ?

11.(重庆理 14)已知
? 14 2

? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 0, ? 4 ? 2 ? ? ? ,且 ,则 的值为__________

【答案】

12.(福建理 14)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______。 2

【答案】
?B ?

?
4 , tanA=2 , 则 sinA=____________ ;

13. ( 北 京 理 9 ) 在 ? A B C 中 。 若 b=5 , a=_______________。
2 5 2 10

【答案】 5
?
5

14.(全国大纲理 14)已知 a∈( 2 , ? ) ,sinα= 5 ,则 tan2α=
? 4 3

【答案】

15.(安徽理 14)已知 ? A B C 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ? A B C 的面积为_______________. 【答案】 15 3
tan( x ?

?
4

) ? 2,

tan x

16.(江苏 7)已知
4

则 tan 2 x 的值为__________

【答案】 9 三、解答题 17.(江苏 15)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c
sin( A ?

?
6 1 3

) ? 2 cos A ,

(1)若
cos A ?

求 A 的值;
, b ? 3c

(2)若

,求 sin C 的值.

本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力。 解: (1)由题设知
sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A , 从而 sin A ?

3 cos A , 所以 cos A ? 0


?
3 .

tan A ?

3 , 因为 0 ? a ? ? , 所以 A ?

cos A ?

1 3

, b ? 3c及 a

2

? b ? c ? 2 bc cos A , 得 a
2 2

2

? b ?c .
2 2

(2)由

B ?

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 3.

故△ABC 是直角三角形,且 18.(安徽理 18)

在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数的 乘积记作
Tn

,再令
{a n }

a n ? lg T n , n≥ 1 .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

的通项公式; 求数列
{b n }

b n ? tan a n ?tan a n ? 1 ,

的前 n 项和

Sn

.

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运 用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解: (I)设
l1 , l 2 , ? , l n ? 2

构成等比数列,其中 ① ②
2

t 1 ? 1, t n ? 2 ? 100 ,



T n ? t 1 ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? t n ? 2 , T n ? t n ?1 ? t n ? 2 ? ? ? t 2 ? t 1 ,

①×②并利用
2

t 1 t n ? 3 ? i ? t 1 t n ? 2 ? 10 (1 ? i ? n ? 2 ), 得
2(n?2)

T n ? ( t 1 t n ? 2 ) ? ( t 2 t n ? 1 ) ? ? ? ( t n ? 1 t 2 ) ? ( t n ? 2 t 1 ) ? 10

,? a n ? lg T n ? n ? 2 , n ? 1 .

(II)由题意和(I)中计算结果,知

b n ? tan( n ? 2 ) ? tan( n ? 3 ), n ? 1 .
tan( k ? 1) ? tan k 1 ? tan( k ? 1) ? tan k

tan 1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?

,

另一方面,利用
tan( k ? 1) ? tan k ? tan( k ? 1) ? tan k tan 1

? 1.


Sn ?

所以
? ?

?

n

k ?1

b k ? ? tan( k ? 1) ? tan k
k ?3

n?2

?(
k ?3

n?2

tan( k ? 1) ? tan k tan 1 ? n.

? 1)

tan( n ? 3 ) ? tan 3 tan 1

19.(湖北理 16)

设 ? A B C 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 ? A B C 的周长 (Ⅱ)求
co s ? A ? C ?

a ? 1 .b ? 2 . co s C ?

1 4

.

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力。 (满 分 10 分)
?c
2

? a ? b ? 2 a b co s C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2

1 4

? 4

解: (Ⅰ)
? c ? 2. ? ? A B C 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
1 4
15 ? sin A ? a sin C c
? a ? c ,? A ? C

? co s C ?

,? sin C ?

1 ? co s C ?
2

(Ⅱ)

1 2 1? ( ) ? 4

15 4

.

?

4 2

?

15 8

,故 A 为锐角,
2

? co s A ?

1 ? sin

A ?

1? (

15 8

)

2

?

7 8

.

? co s( A ? C ) ? co s A co s C ? sin A sin C ?

7 8

?

1 4

?

15 8

?

15 8

?

11 16

.

20.(湖南理 17) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (Ⅰ)求角 C 的大小;
?

(Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C . 因为 0 ? A ? ? , 所以
sin A ? 0 .从 而 sin C ? co s C .又 co s C ? 0, 所 以 tan C ? 1, 则 C ?

?
4

B ?

3? 4

? A.

(II)由(I)知
3 sin A ? co s( B ? ?

于是
3 sin A ? co s( ? ? A )

?
4

)?

3 sin A ? co s A ? 2 sin ( A ? 3? 4 ,?

?
6

). ,从 而 当 A ?

?0? A?

?
6

? A?

?
6

?

1 1? 12

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

时,

2 sin ( A ?

?

) 6 取最大值 2. 3 sin A ? co s( B ?

?

)

A?

?
3

,B ?

5? 12

.

综上所述, 21.(全国大纲理 17)

4 的最大值为 2,此时

△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 解:由 a ? c ?
s i nA ? 2 b 及正弦定理可得 s iC ? n 2 sBi n . …………3 分

C.

又由于 A ? C ? 90 ? , B ? 180 ? ? ( A ? C ), 故
co s ? C ? s iC ? n 2 s A n (C i? ) )

2 sin (9 0 C 2 ? ?

?
2 2

2 c o sC2
2 2

.

…………7 分

co s C ?

sin C ? co s 2 C ,

c o s ( 4?C ? ) ? 5

cC s 2 o

.

因为 0 ? ? C ? 90 ? , 所以 2 C ? 45 ? ? C ,
C ? 15?

22.(山东理 17)
co s A -2 co s C = 2 c-a b

在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

co s B



sin C

(I)求 sin A 的值;
1

(II)若 cosB= 4 ,b=2, ? A B C 的面积 S。 解:
a ? b sin B ? c sin C ? k,

(I)由正弦定理,设 sin A
2c ? a ? 2 k sin C ? k sin A k sin B ?

2 sin C ? sin A sin B

,



b

co s A ? 2 co s C

?

2 sin C ? sin A sin B

.

所以

co s B

即 (cos A ? 2 cos C ) sin B ? (2 sin C ? sin A ) cos B , 化简可得 sin( A ? B ) ? 2 sin( B ? C ). 又A? B?C ?? , 所以 sin C ? 2 sin A
sin C ? 2.

因此 sin A
sin C ? 2

(II)由 sin A 由余弦定理

得 c ? 2 a.

b ? a ? c ? 2 a c co s B 及 co s B ?
2 2 2

1 4

, b ? 2,

得 4=a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 4

.

解得 a=1。 因此 c=2
co s B ? 1 4 ,且 G ? B ? ? .

又因为
sin B ?

15 4

.

所以

S ?

1 2

a c sin B ?

1 2

?1? 2 ?

15 4

?

15 4

.

因此

23.(陕西理 18) 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦 之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有
a ? b ? c ? 2 b c co s A
2 2 2

b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

证法一 如图
???? ???? 2 a ? BC ? BC
???? ??? ? ???? ??? ? ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ???? 2 ???? ??? ??? 2 ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

???? 2 ???? ??? ? ??? 2 ? ? AC ? 2 AC ? AB C O SA ? AB
? b ? 2 bc cos A ? c
2 2

2 2 2 即 a ? b ? c ? 2 b c co s A

2 2 2 同理可证 b ? a ? c ? 2 ac cos B

c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点, 所在直线为 x 轴, AB 建立直角坐 标系,则 C ( b cos A , b sin A ), B ( c , 0) ,
? a ? BC
2 2

? ( b co s A ? c ) ? ( b sin A )
2

2

? b cos A ? 2 bc cos A ? c ? b sin A
2 2 2 2 2

b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

同理可证

b ? c ? a ? 2 ca co s B ,
2 2 2

c ? a ? b ? 2 a b co s C .
2 2 2

24.(浙江理 18)在 ? A B C 中,角 A . B .C 所对的边分别为 a,b,c.
sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? ,
5 4 ac ? 1 4 b
2

已知





p ?

,b ? 1

(Ⅰ)当

时,求 a , c 的值;

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。
5 ? a?c ? , ? ? 4 ? ?ac ? 1 , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?
? a ? 1, ? ? 1 或 ?c ? , 4 解得 ? 1 ? ?a ? , 4 ? ?c ? 1. ?

2 2 2 (II)解:由余弦定理, b ? a ? c ? 2 ac cos B

? ( a ? c ) ? 2 a c ? 2 a c co s B
2

? p b ?
2 2

1 2

b ?
2

1 2

b co s B ,

2

即p ?
2

3 2

?

1 2

co s B ,

0 ? co s B ? 1, 得 p ? (
2

3 2

, 2)

因为
p ? 0, 所 以 6 2



? p ?

2.

由题设知


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