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江西省南昌二中2015届高三上学期第三次考试 数学理


南昌二中 2014—2015 学年度上学期第三次考试 高三数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ) M ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,N ? ?x | log2 x ? 1? ,则M ? N等于( A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?

x | -1 ? x ? 2? 2.下列命题的说法错误 的是( ) .. C. ?x | -1 ? x ? 0? D. ?x | -1 ? x ? 1?

A.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”. B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.对于命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0. D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题. 3.已知 cos( A.

?

18 25

3 ? x) ? ,则 sin 2 x ? ( 4 5 7 B. 25

) C. ?

7 25

D. ?

16 25

?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 4.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 {a n } 满足 an ? f (n) ,且 {a n } 单调递增,则实 ( x ? 7) ?a 数 a 的取值范围为( )

A. (2,3)

B. (1,3)

C. ( ,3)

9 4

D. [ ,3) )

9 4

5.在△ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , S?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 的值为( A. ? 2 B. 2 C. ? 4 6.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为( A. D. ?2 )

32 9

B.2-ln 3

C.4+ln 3

D.4-ln 3

x3 a 2 ?1 ? ? x ? x ? 1 在区间 ? ,3 ? 上有极值点,则实数 a 的取值范围是( 7.若 函数f ( x) ? ) 3 2 ?2 ? ? 5? ? 5? ? 10 ? ? 10 ? A. ? 2, ? B. ? 2, ? C. ? 2, ? D. ? 2, ? ? 2? ? 2? ? 3? ? 3? ? 8.设函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ? cos??x ? ? ? (? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 π,且 2 f ?? x ? ? f ?x ? ,则( ) . ? ? 3? ) 单调递减 A. f ( x)在(0, ) 单调递减 B. f ?x ? 在 ( , 2 4 4 ? ? 3? ) 单调递增 C. f ( x)在(0, ) 单调递增 D. f ? x ? 在 ( , 2 4 4 9.函数 y ? f ( x) 在[0,2]上单调递增,且函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则下列结论成立的是
( ) B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( ) A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1)

10.如图,把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) , 恒谦 一动点 M 从 A 开始

逆时针绕圆运动一周,记弧 AM=x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t ? f ( x) 的 图像大致为( )

二、填空题:本大题共 5 个小题;每小题 5 分,共 25 分. 11.若直线 y ? x 是曲线 y ? x3 ? 3x2 ? ax ? 1 的切线,则 a 的值为 12.设函数 f ? x ? ? ? 零点个数有
2

.

? ? x ? bx ? 2, x ? 0 若 f (?4) ? f (0) ,则函数 y ? f ( x) ? ln(x ? 2) 的 ? ?2? x,x ? 0
个. .

13.函数 f ( x) ? 3sin(20 ? x) ? 5sin( x ? 80 ). 的值域为

14.已知向量 a , b 满足 b ? (1, 3) , b ? (a ? b) ? ?3 ,则向量 a 在 b 上的投影为_________. 15.给出下列四个命题:

1 在 R 上单调递增;②若函数 y ? x 2 ? 2ax ? 1在 ?? ?,?1? 上单调递减,则 x a ? 1 ;③若 log0.7 (2m) ? log0.7 (m ?1) , 则 m ? ?1 ;④若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) ? 0 . 其中正确的序号是 .
①函数 y ? ? 三、解答题:本大题共 6 个小题共 75 分.每题解答过程写在答题卡上. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1( x ? R)

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ? 6 ? ?? ? ? (II)若 f ( x 0 ) ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos( 2 x 0 ? ) 的值. 5 6 ?4 2?
(I)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n 2 2 2

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (I)求此数列的公差 d; (II)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 ? b 在 x ? 2 处有极大值. (Ⅰ)当 x ? [?2, 4] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45x ? 9x2 的下方,求 b 的 取值范围. (Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 b 的取值范围;

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上, 对任意的 x,y ? R , f ( x) ? 0 , 且 f( x ? y) ? fx () f y () (I)求 f (0) ,并证明: f ( x ? y ) ?

.

f ( x) ; f ( y)

2 r r 对任意 ? ?[0, 2? ) , f (a ? b) ? f (3) ? 0 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

(II)若 f ( x ) 单调,且 f (1) ? 2 .设向量 a ? ( 2 cos

?

,1) ,b ? ( 2? sin

?
2

, cos 2 ? ) ,

(I)若 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) ,求实数 a 的值; (II)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (III) 设 h( x) 有两个极值点 x1 , x 2 , 且 x1 ? (0, ), 若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立 , 求 m 的 最大值.

1 2

1 2

南昌二中 2015 届高三第三次考试答案
一、选择题 ADCAD DCABD 二、填空题:本大题共 5 个小题;每小题 5 分,共 25 分. 11. a ? 4 或 a ? ?

11 ; 4

12.4;

13. [-7,7]; 14.

1 ; 15. ②④. 2

三、解答题:本大题共 6 个小题共 75 分.每题解答过程写在答题卡上. 16. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1( x ? R) (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(2)若 f ( x 0 ) ?

6 ? ?? ? ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos( 2 x 0 ? ) 的值. 5 6 ?4 2?

解: (1)∵ f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ?1, ∴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ∴函数的最小正周期为 T ? ? , ∵ x ? [0,

?
6

),

? 7? ? ? ? [ , ] ,∴ f ( x) max ? f ( ) ? 2 , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 ; 2 6 6 6 6 2 ? ? 6 2x ( 0 ? ) , 则 f ( x0 ) ? 2 s i n 2x (0 ? ) ? , ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 f ( x0 ) ? 2 s i n 6 6 5 ? 3 sin( 2 x0 ? ) ? , 6 5 ? ? ? 2? 7? ? , ] ,∴ cos( 2 x0 ? ) ? 0 , 又∵ x0 ? [ , ] ,∴ 2 x0 ? ? [ 4 2 6 3 6 6
?
] ,∴ 2 x ?

?

即 cos(2 x0 ?

?

? 4 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ? ) ? ? . 6 6 5
x ? , 1) n,? 2 x ( 3 sin 2 x ,2c o s, 设 ) 函数 2

17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( c o s

f ( x) ? m ? n
(1)求 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点;
2 (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 b ? ac ,求 f ( B ) 的取值范

围. 【答案】 (1)

? 、? ; (2) (?1, 0] . 3

解:因为向量 m ? (cos 所以 f ( x) ? 3 sin

x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m n . 2 2 2

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? sin x ? 2 2 2 2 2
3分

?

3 1 1 ? 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 6 2

(1)由 f ( x) ? 0 ,得 sin( x ?

?
6

)?

∴x? ∴ x=

?
?
6

=

?
6

+2k? , 或x ?

?

6

=

5? +2k? ,k ? Z 6

1 . 2

3

+2k? , 或x=? +2k?,k ? Z

又 x ??0, ? ? ,? x ?

?
3

或? .

所以 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的零点是
2

? 、? . 3

6分

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ac 1 ? ? ? . (2)在 ?ABC 中, b ? ac ,所以 cos B ? 2ac 2ac 2ac 2
由 cos B ?

1 ? ? ? ? ?? 且 B ? (0, ? ) ,得 B ? (0, ], 从而B- ? ? - , ? 2 3 6 ? 6 6?

10 分

? 1 1 ? 1 ∴ sin( B ? ) ? (? , ] , ∴ f ( B) ? sin( B ? ) ? ? (?1, 0] 6 2 2 6 2

12 分

18. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数。 (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值。 解: (1) ?

?a6 ? 23 ? 5d ? 0 23 23 ? ? ? d ? ? ? d 为整数,? d ? ?4 5 6 ?a7 ? 23 ? 6d ? 0
n(n ? 1) ? (?4) ? ?2n 2 ? 25n ? 0 ? 0 ? n ? 12.5 ? n 的最大值为 12. 2
2

(2) S n ? 23n ?

考点:等差数列的通项与求和. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? a) ? b 在 x ? 2 处有极大值. (Ⅰ)当 x ? [?2, 4] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45x ? 9x 的下方,求 b 的取
2

值范围;

(Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 b 的取值范围; 解: (Ⅰ) f ( x) ? x( x ? a)2 ? b ? x3 ? 2ax2 ? a2 x ? b ? f ?( x) ? 3x 2 ? 4ax ? a 2 ,

f ?(2) ? 12 ? 8a ? a2 ? 0 ? a ? 2 或 a ? 6 ,
当 a ? 2 时,函数在 x ? 2 处取得极小值,舍去; 当 a ? 6 时, f ?( x) ? 3x2 ? 24 x ? 36 ? 3( x ? 2)( x ? 6) , 函数在 x ? 2 处取得极大值,符合题意,∴ a ? 6 . (3 分) ∵当 x ? [?2, 4] 时,函数 y ? f ( x) 的图象在抛物线 y ? 1 ? 45x ? 9x2 的下方,
3 2 2 ∴ x ? 12 x ? 36 x ? b ? 1 ? 45x ? 9 x 在 x ? [?2, 4] 时恒成立,
3 2 即 b ? ? x ? 3x ? 9 x ? 1 在 x ? [?2, 4] 时恒成立,令 h( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 1 ,

则 h?( x) ? ?3x ? 6x ? 9 ? ?3( x ? 3)( x ? 1) ,由 h?( x) ? 0 得, x1 ? ?1, x2 ? 3 .
2

∵ h(?2) ? 3 , h(?1) ? ?4 , h(3) ? 28 , h(4) ? 21 , ∴ h( x) 在 [?2, 4] 上的最小值是 ?4 , b ? ?4 . (6 分)
3 2 (Ⅱ) f ( x) ? x ?12 x ? 36 x ? b ,设切点为 ( x0 , x0 ?12x0 ? 36x0 ? b) ,

3

2

2 则切线斜率为 f ?( x) ? 3x0 ? 24x0 ? 36 , 3 2 2 切线方程为 y ? x0 ?12x0 ? 36x0 ? b ? (3x0 ? 24x0 ? 36)( x ? x0 ) ,



2 3 2 y ? (3x0 ? 24x0 ? 36) x ? 2x0 ?12x0 ?b,

3 2 3 2 ∴ ?2x0 . ?12x0 ? b ? 0 ? b ? 2x0 ?12x0

令 g ( x) ? 2 x ?12 x ,则 g?( x) ? 6x ? 24x ? 6x( x ? 4) ,
3 2 2

由 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0, x2 ? 4 . 函数 g ( x) 的单调性如下:

x
g ?( x)

(??, 0)

0

(0, 4)

4

(4, ??)

?


0
极大值 0

?


0
极小值 ?64

?


g ( x)

∴当 ?64 ? b ? 0 时, 方程 b ? g ( x) 有三个不同的解, 过原点有三条直线与曲线 y ? f ( x) 相 切. (12 分) 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) 定义在 R 上,对任意的 x,y ? R , f ( x) ? 0 ,且

f (x ? y ) ? f (x ) f (y ) .
(1)求 f (0) ,并证明: f ( x ? y ) ?

f ( x) ; f ( y)

(2)若 f ( x ) 单调,且 f (1) ? 2 .设向量 a ? ( 2 cos

?
2

,1) , b ? ( 2? sin

?
2

, cos 2 ? ) ,对

任意 ? ?[0, 2? ) , f (a ? b) ? f (3) ? 0 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 解:(1)令 y ? x ? 0 得 f (0) ? f 2 (0) ,又∵ f ( x) ? 0 , f (0) ? 1 , 由 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 得 f ( x) ? f [( x ? y) ? y] = f ( x ? y) f ( y) , ∵ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ? y ) ? 2分

r r

f ( x) . f ( y)

5分

(2) ∵ f (0) ? 1 ,f (1) ? 2 ,且 f ( x) 是单调函数,∴ f ( x) 是增函数. 而 a ? b ? ? sin ? ? cos

6分

r r

2

r r ? ,∴由 f (a ? b) ? f (3) ? 0 ,得 f (? sin ? ? cos2 ? ) ? f (3) ,

2 又∵因为 f ( x ) 是增函数,∴ ? sin ? ? cos ? ? 3 恒成立, ? ? [0, 2? ) .
2 即 sin ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 . 2 令 t ? sin ? ,得 t ? ?t ? 2 ? 0

8分 (﹡).

∵ ? ?[0, 2? ) ,∴ ?1 ? sin ? ? 1 ,即 ?1 ? t ? 1.
2 令 h(t ) ? t ? ?t ? 2 ? (t ?

?
2

)2 ? 2 ?

?2
4

? ?1 ? t ? 1? ,

10 分

? ?1 ,即 ? ? ?2 时,只需 h(?1) ? 0 ,(﹡)成立, 2 ∴ ? ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? ? ? ?2 ;
①当 ②当 ?1 ?

?

11 分

?

? 1 ,即 ?2 ? ? ? 2 时,只需 h(t ) min ? h( ) ? 2 ? ? 0 ,(﹡)成立, 2 2 4
12 分

?

?2

2 ∴ ? ? 8 ,解得 ? 2 2 ? ? ? 2 2 ,∴ ? 2 ? ? ? 2 .

? 1 ,即 ? ? 2 时,只需 h(1) ? 0 ,(﹡)成立, 2 ∴ ? ? 3, ∴ 2 ? ? ? 3, 综上, ?3 ? ? ? 3 .
③当

?

13 分

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x 2 ? ax, g ( x) ? ln x, h( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)若 h( x) 的单调减区间是 ( ,1) ,求实数 a 的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 设 h( x) 有两个极值点 x1 , x 2 , 且 x1 ? (0, ), 若 h( x1 ) ? h( x2 ) ? m 恒成立, 求 m 的最大 值. 解:(1) 由题意得 h(x) ? x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,则 h?(x) ?

1 2

1 2

2 x 2 ? ax ? 1 (x ? 0) x

1 1 2 2 2 2 x ? 3x ? 1 (2 x ? 1)(x ? 1) ? (x ? 0) , 另一方面当 a ? 3 时 h?(x) ? x x 1 1 由 h?(x) ? 0 解得 x ?( ,1) ,即 h(x) 的单调减区间是 ( ,1) . 2 2
综上所述 a ? 3 . (4 分) (2)由题意得 x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,∴ a ? x ?

要使 h(x) 的单调减区间是 ( ,1) 则 h?(1) ? h?( ) ? 0 ,解得 a ? 3 ;

ln x (x ? 0) . x x 2 ? ln x ? 1 ln x 设 ?(x) ? x ? (6 分) (x ? 0) ,则 ? ?(x) ? x2 x
∵ y ? x2 ? ln x ? 1 在 (0, ??) 上是增函数,且 x ? 1 时, y ? 0 . ∴当 x ?(0,1) 时 ? ?(x) ? 0 ; 当 x ?(1, ??) 时 ? ?(x) ? 0 , ∴ ? (x) 在 (0,1) 内是减函数 , 在 (1, ??) 内 是增函数. ∴ ?min ? ? (1) ? 1 ∴ a ? ?min ? 1 , 即 a ?(??,1] . (8 分)

2 x 2 ? ax ? 1 (x ? 0) x 1 ∴方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0(x ? 0) 有两个不相等的实根 x1 , x2 ,且 x1 ?(0, ) 2
(3) 由题意得 h(x) ? x 2 ? ax ? ln x(x ? 0) ,则 h?(x) ? 又∵ x1 x2 ?

1 1 2 2 ? (1, ??) ,且 ax1 ? 2x1 ? 1, ax2 ? 2x2 ?1 ,∴ x2 ? 2 x1 2

(10 分)

2 2 2 2 2 2 而h(x1 ) ? h(x2 ) ? (x1 ? ax1 ? ln x1 ) ? (x2 ? ax2 ? ln x2 ) ? [ x1 ? (2 x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x2 ? (2 x2 ? 1) ? ln x2 ] x 1 2 2 2 2 ? x2 ? x1 ? ln 1 ? x2 ? 2 ? ln2x2 (x2 ? 1) x2 4 x2

(2 x 2 ? 1)2 1 2 ? ? ( x ) ? ? 0(x ? 1) , , 则 (12 分) ? ln2 x ( x ? 1) 2x 3 4 x2 3 3 ∴ ? (x) 在 (1, ??) 内是增函数, ∴ ?(x2 ) ? ?(1) ? ? ln2 即 h(x1 ) ? h(x2 ) ? ? ln2 , 4 4 3 3 ∴ m ? ? ln2 ,所以 m 的最大值为 ? ln2 . (14 分) 4 4
设 ?(x) ? x2 ?


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