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第1章1.3.1第二课时优化训练

时间:2012-10-29


1.函数 f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为( ) A.9 B.9(1-a) C.9-a D.9-a2 解析:选 A.x∈[0,3]时 f(x)为减函数,f(x)max=f(0)=9. 2.函数 y= x+1- x-1的值域为( ) A.(-∞, 2 ] B.(0, 2 ] C.[ 2,+∞) D.[0,+∞) ?x+1≥0 ? 解析:选 B.y= x+1-

x-1,∴? , ? ?x-1≥0 ∴x≥1. 2 ∵y= 为[1,+∞)上的减函数, x+1+ x-1 ∴f(x)max=f(1)= 2且 y>0. 3.函数 f(x)=x2-2ax+a+2 在[0,a]上取得最大值 3,最小值 2,则实数 a 为( ) A.0 或 1 B.1 C.2 D.以上都不对 2 解析:选 B.因为函数 f(x)=x -2ax+a+2=(x-a)2-a2+a+2, 对称轴为 x=a,开口方 向向上,所以 f(x)在[0,a]上单调递减,其最大值、最小值分别在两个端点处取得,即 f(x)max =f(0)=a+2=3, f(x)min=f(a)=-a2+a+2=2.故 a=1. x y + 4.(2010 年高考山东卷)已知 x,y∈R ,且满足 + =1.则 xy 的最大值为________. 3 4 y x x 解析: =1- ,∴0<1- <1,0<x<3. 4 3 3 x 4 32 而 xy=x· 4(1- )=- (x- ) +3. 3 3 2 3 当 x= ,y=2 时,xy 最大值为 3. 2 答案:3 1.函数 f(x)=x2 在[0,1]上的最小值是( ) A.1 B.0 1 C. D.不存在 4 解析:选 B.由函数 f(x)=x2 在[0,1]上的图象(图略)知, f(x)=x2 在[0,1]上单调递增,故最小值为 f(0)=0. ?2x+6,x∈[1,2] ? 2.函数 f(x)=? ,则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) ?x+7,x∈[-1,1] ? A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对 解析:选 A.f(x)在 x∈[-1,2]上为增函数,f(x)max=f(2)=10,f(x)min=f(-1)=6. 3.函数 y=-x2+2x 在[1,2]上的最大值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.不存在 2 解析:选 A.因为函数 y=-x +2x=-(x-1)2+1.对称轴为 x=1,开口向下,故在[1,2] 上为单调递减函数,所以 ymax=-1+2=1. 1 4.函数 y= 在[2,3]上的最小值为( ) x-1

A.2 1 C. 3

1 B. 2 1 D.- 2

1 解析:选 B.函数 y= 在[2,3]上为减函数, x-1 1 1 ∴ymin= = . 3-1 2 5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x, 其中销售量(单位: 辆). 若该公司在两地共销售 15 辆, 则能获得的最大利润为( ) A.90 万元 B.60 万元 C.120 万元 D.120.25 万元 解析:选 C.设公司在甲地销售 x 辆(0≤x≤15,x 为正整数),则在乙地销售(15-x)辆, ∴公司获得利润 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元,故选 C. 6.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选 C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a. ∴函数 f(x)图象的对称轴为 x=2, ∴f(x)在[0,1]上单调递增. 又∵f(x)min=-2, ∴f(0)=-2,即 a=-2. f(x)max=f(1)=-1+4-2=1. 7.函数 y=2x2+2,x∈N*的最小值是________. 解析:∵x∈N*,∴x2≥1, ∴y=2x2+2≥4, 即 y=2x2+2 在 x∈N*上的最小值为 4,此时 x=1. 答案:4 8.已知函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且 f(x)的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范 围是________. 解析:由题意知 f(x)在[1,a]上是单调递减的, 又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3], ∴1<a≤3. 答案:(1,3] x 9.函数 f(x)= 在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________. x+2 x+2-2 x 2 解析:∵f(x)= = =1- , x+2 x+2 x+2 ∴函数 f(x)在[2,4]上是增函数, 2 1 ∴f(x)min=f(2)= = , 2+2 2 4 2 f(x)max=f(4)= = . 4+2 3 2 1 答案: 3 2 1 x2 ?- ≤x≤1? 2 10.已知函数 f(x)= , 1 ?1<x≤2? x

? ? ?

求 f(x)的最大、最小值.

1 解:当- ≤x≤1 时,由 f(x)=x2,得 f(x)最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0)=0; 2 1 当 1<x≤2 时,由 f(x)= ,得 f(2)≤f(x)<f(1), x 1 即 ≤f(x)<1. 2 综上 f(x)max=1,f(x)min=0. 11.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每 辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 3600-3000 解:(1)当每辆车的月租金为 3600 元时,未租出的车辆数为 =12.所以这时租 50 出了 88 辆车. x-3000 (2)设每辆车的月租金为 x 元.则租赁公司的月收益为 f(x)=(100- )(x-150)- 50 x-3000 ×50, 50 整理得 x2 1 f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050. 50 50 所以,当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为 307050 元. 12.求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为 x=a.

①当 a<0 时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a. ②当 0≤a<1 时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a. ③当 1≤a≤2 时,由图③可知, f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max=f(0)=-1. ④当 a>2 时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1.

综上所述,当 a<0 时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a; 当 0≤a<1 时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a; 当 1≤a≤2 时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1; 当 a>2 时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.


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