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高三数学二轮专题函数与方程思想

时间:2017-09-05


高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

第一部分 论方法

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第一部分

论方法

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

研究一些数学思想和方法吧!它将会使你站在一个崭新的 高度去审视

问题.只有熟练地掌握数学的思想和方法,才能使 你在解答高考综合题时左右逢源、游刃有余! “数学思想方法”是数学的灵魂,要熟练掌握通性通法, 才是穿越高考的关键. 所有的高考试题都可以用基本方法求解, 可以采用常用技巧,但对于有些比较难以掌握的技巧与方法则 应淡化甚至放弃.

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第一部分

论方法

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专题1

函数与方程思想

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第一部分

专题1

高考调研
类型一

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

利用函数思想确定参数范围

一、函数思想 就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关 系,并用函数的解析式将其表示出来,从而通过研究函数的图像 和性质,使问题获解.

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第一部分

专题1

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典例 1

已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有

的实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,则 x 的取值范围 为________. 【思路】 求f?x? 变更主元,将 构造函数g?m?= ―→ ―→ 的值域 m看作主元 m?x-2?+x2-4x+4

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第一部分

专题1

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【解析】

∵t∈[ 2,8],

1 1 ∴f(t)∈[2,3],从而 m∈[2,3]. 原题可转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立. 当 x=2 时,不等式不成立,∴x≠2. 令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2 为 m 的一次函数. 1 问题转化为 g(m)在 m∈[2,3]上恒大于 0.

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第一部分

专题1

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1 ? ?g? ?>0, ? 2 解得 x>2 或 x<-1. ? ?g?3?>0, 故 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).

【答案】

(-∞,-1)∪(2,+∞)

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第一部分

专题1

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典例 2

设函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,如果

不等式 f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意 x∈[0,1]都成立, 那么实数 a 的取值范围为________. 【思路】 将抽象型函 二次不等式 二次函数区 ―→ ―→ 数符号去掉 恒成立问题 间最值问题

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第一部分

专题1

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【解析】 由于 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,所以 不等式 f(1-ax-x2)<f(2-a)对任意 x∈[0,1]都成立?不等式 1-ax -x2<2-a 对于任意 x∈[0,1]都成立. 由 1-ax-x2<2-a,得(1-x)a<x2+1. ∵x∈[0,1],∴1-x≥0. ∴①当 x=1 时,0<2 恒成立,此时 a∈R;

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第一部分

专题1

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x2+1 ②当 x∈[0,1)时,a< 恒成立. 1-x x2+1 求当 x∈[0,1)时,函数 y= 的最小值. 1-x 令 t=1-x(t∈(0,1]),则 x2+1 ?1-t?2+1 2 y= = =t+ -2. t t 1-x 2 而函数 y=t+ -2 是(0,1]上的减函数, t 所以当且仅当 t=1 时,即 x=0 时,ymin=1.
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专题1

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故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需 a<1. 由①②得 a<1. 故存在实数 a,使得不等式 f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意 x ∈[0,1]都成立, 其取值范围是(-∞,1).

【答案】

(-∞,1)

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第一部分

专题1

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典例 3

π 若方程 cos x-sinx+a=0 在(0, ]上有解,则 a 的 2
2

取值范围为________. 【思路】 将a表示成x 求三角函 ―→ 的三角函数 数的最值

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第一部分

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【解析】

由 cos2x-sinx+a=0,得 a=sin2x+sinx-1.
2

π 问题变成求函数 a=sin x+sinx-1 在 x∈(0,2]时的值域问 题. 12 5 ∵a=(sinx+2) -4, 而 0<sinx≤1,∴-1<a≤1,即 a 的取值范围为(-1,1].
【答案】 (-1,1]

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类型二
典例 4

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利用函数思想求最值

若点 P 在抛物线 y2=x 上,点 Q 在圆(x-3)2+y2=1

上,则|PQ|的最小值为________. 【思路】 根据三角形三边关 利用函数 P,Q都是动点 ―→ ―→ 系去掉一个动点 法求最值

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【解析】

由题意得抛物线与圆不相交,且圆的圆心为

A(3,0),则|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1,当且仅当 P,Q,A 三点共 线时取等号,所以当|PA|得最小值时,|PQ|最小.设 P(x,y),则 y =x,|PA|= ?x-3? +y = x -6x+9+x=
2 2 2 2

5 2 11 ?x-2? + 4 ,当

5 11 11 且仅当 x=2时,|PA|取得最小值 2 ,此时|PQ|取得最小值 2 - 1.

【答案】
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11 2 -1
第一部分 专题1

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典例 5

(2013· 浙江)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1

π |x| +ye2, x, y∈R.若 e1, e2 的夹角为6, 则|b|的最大值等于________. 【思路】 |x| 将 用x,y的函数式表示 ―→ 求最值 b

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第一部分

专题1

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|x| |x| 2 x2 【解析】 当 x=0 时, =0, 当 x≠0 时, ( )= 2 2 |b| |b| x +y + 3xy 1 |x| = ≤4,所以|b|的最大值是 2,当且仅 y2 y= y 3 1 1+?x? + 3x ? + ?2+ x 2 4 y 3 当 =- 时取得最大值. x 2 1

【答案】 2

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第一部分

专题1

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典例 6

等差数列{an}的首项 a1>0,设其前 n 项和为 Sn,且

S5=S12,则 n=________时,Sn 有最大值? 【思路】 n?n-1? 可利用 Sn=na1+ 2 d 及二次函数的性质求

解;也可利用首项 a1>0,公差 d<0,找最后一个正项求解;还可 以利用 Sn=An2+Bn 及二次函数图像的对称性求解.

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第一部分

专题1

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【解析】

方法一

设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=S12

1 得 5a1+10d=12a1+66d,d=-8a1<0. n?n-1? n?n-1? 1 1 所以 Sn=na1+ d=na1+ · (- a1)=- a1(n2- 2 2 8 16 1 17 2 289 17n)=-16a1(n- 2 ) + 64 a1. 因为 a1>0,n∈N*,所以当 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值.

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第一部分

专题1

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方法二 a1<0,

1 设等差数列 {an}的公差为 d,同方法一得 d =- 8

n?n-1? d 2 d 由于 Sn=na1+ d= n +(a1- )n, 2 2 2

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第一部分

专题1

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d 2 d 设 f(x)= x +(a1- )x, 则函数 y=f(x)的图像为开口向下的抛 2 2 物线. 5+12 17 由 S5=S12 知, 抛物线的对称轴为 x= = (如右图所示). 2 2 由图可知,当 1≤n≤8 时,Sn 单调递增; 当 n≥9 时,Sn 单调递减. 又 n∈N*,所以当 n=8 或 n=9 时,Sn 最大.
【答案】
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8或9
第一部分 专题1

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二、方程思想 就是分析数学中的变量间的等量关系,构建方程或方程组, 转化为对方程的解的讨论,从而使问题获解.

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第一部分

专题1

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类型一

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利用方程思想解不等式
2

典例 1

1 1 若不等式 ax +bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2 3

2x2+bx+a<0 的解集是________. 【思路】 先由“三个二次”和根与系数的关系求出 a,b

的值,则不等式 2x2+bx+a<0 易解.

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第一部分

专题1

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1 1 【解析】 由题意,知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2= 2 3 0 的两根且 a<0, b ? 1 1 ?-2+3=-a, 所以? ?-1×1=2, ? 2 3 a
? ?a=-12, 解得? ? ?b=-2.

则不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|- 2<x<3}.

【答案】
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{x|-2<x<3}
第一部分 专题1

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典例 2 值范围.

若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,求 ab 的取

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第一部分

专题1

高考调研
【解析】

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若设 ab=t,则 a+b=t-3,

所以 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. ?Δ=?t-3?2-4t≥0, ? 从而有?a+b=t-3>0, ?ab=t>0, ? ?t≤1或t≥9, ? 即?t>3, ?t>0, ?

解得 t≥9,即 ab≥9.

所以 ab 的取值范围是[9,+∞).
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第一部分

专题1

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类型二
典 例 3 1 ? ?sinx+siny=3, ? ?cosx-cosy=1, 5 ?

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

利用方程思想求值

(2013· “ 华 约 ” 自 主 招 生 试 题 ) 已 知

则 cos(x+y)=________.

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第一部分

专题1

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【解析】

1 由 sinx+siny= ,① 3

1 cosx-cosy=5,② 208 平方相加得 cos(x+y)=225.

【答案】

208 225

第28页

第一部分

专题1

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典例 4

(2013· 新课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, )

已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C.9 1 B.- 3 1 D.-9

第29页

第一部分

专题1

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【解析】 求出 a1,

先设出公比 q,然后根据已知条件列出方程组,

设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9,
? ?a1+a2+a3=a2+10a1, ∴? 4 ? ?a1q =9,
2 ? ?a1q =9a1, ∴? 4 ? ?a1q =9,

1 解得 a1=9,故选 C.

【答案】 C

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第一部分

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典例 5

x2 y2 已知直线 y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 a b

A、B 两点,且 OA⊥OB(其中 O 为坐标原点).若不论 a、b 如何 变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点 P ,则点 P 的坐标为 ________.

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第一部分

专题1

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【解析】

x2 y2 ? ? 2+ 2=1, 由?a b 消去 y,得 ? ?y=-x+1,

(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0. 由 Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0, 整理得 a2+b2>1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), a2?1-b2? 2a2 则 x1+x2= 2 ,x x = 2 . a +b2 1 2 a +b2 ∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1.
第32页

第一部分

专题1

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∵OA⊥OB(其中 O 为坐标原点), ∴x1x2+y1y2=0,即 2x1x2-(x1+x2)+1=0. 2a2?1-b2? 2a2 ∴ 2 2 - 2 2+1=0. a +b a +b 整理得 a2+b2-2a2b2=0.
? ? 2? ?2 ? 2?2 ? 2 ? 2? ? ? ? 2 2 2 2 由 a +b -2a b =0,得 2 + 2 =1,则不论 a、b 如何 a b ? 变化,椭圆恒过第一象限内的定点? ? ?
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? ? ? ?

2 2? ? , ?. 2 2?
专题1

第一部分

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【答案】

? ? ? ?

2 2? ? , ? 2 2?

第34页

第一部分

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典例 6

设二次函数 f(x)=x2+ax+a, 方程 f(x)-x=0 的两根

x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1.求实数 a 的取值范围.

第35页

第一部分

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【解析】

方法一

令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,

则由题意可得 ?Δ>0, ? ?0<1-a<1, 2 ? ?g?1?>0, ? ?g?0?>0 <3-2 2. 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2).
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?a>0, ? ? ?-1<a<1, ?a<3-2 2,或a>3+2 2 ?

?0<a

第一部分

专题1

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方法二

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方程 f(x)-x=0?x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理,

得 x1+x2=1-a,x1x2=a. ? ?Δ>0, ?x1+x2>0, ? 于是 0<x1<x2<1??x1x2>0, ? ??1-x1?+?1-x2?>0, ? ??1-x1??1-x2?>0 ?a>0, ? ??a<1, ?a<3-2 2或a>3+2 2 ?
第37页

?0<a<3-2 2.

第一部分

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【讲评】 二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的 重要内容,它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以“三个 二次”为载体,综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合 处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高考试题出现的频 率相当高,占据着令人瞩目的地位.

第38页

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典例 7

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 BC 的中点,

试在棱 CC1 上求一点 P, 使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.则 CP∶PC1 =________.

第39页

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【解析】 如图所示,以 D 为原点,直线 DA、DC、DD1 分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,CP=a, 1 则 P(0,1,a)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、E(2,1,0)、C1(0,1,1), → → ∴A1B1=(0,1,0),A1P=(-1,1,a-1), 1 → → DE=( ,1,0),DC1=(0,1,1). 2

第40页

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设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), → ? ?n1· A1B1=0, 则? → ? A1P=0, ?n1·
? ?y1=0, 即? ? ?-x1+y1+?a-1?z1=0.

令 z1=1,得 x1=a-1. ∴n1=(a-1,0,1).

第41页

第一部分

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设平面 C1DE 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), ? → ?n2· DE=0, 则? → ? DC1=0 ?n2· 1 ? ? x2+y2=0, ??2 ? ?y2+z2=0.

令 x2=-2,y2=1,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1). ∵面 A1B1P⊥面 C1DE, 1 ∴n1· n2=0?-2(a-1)-1=0,得 a=2.

第42页

第一部分

专题1

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∴当 P 为 C1C 的中点时,平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

【答案】

1∶1

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专题集训?作业(word)

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第一部分

专题1


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