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山东省泰安市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)


2016 年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},则(?UA)∪B=( ) A.{4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3,4,5} 2.已知

为实数,则实数 t 的值为( )

A.1

B.﹣1 C.

D. )

3.如图是一个程序框图,则输出 S 的值是(

A.84 B.35 C.26 D.10 4.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”是“x0 是函数 y=f(x)的极值点” 的必要不充分条件 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“角 α 的终边在第一象限角,则 α 是锐角”的逆否命题为真命题 5.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、 俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

1

A.

B.

C.

D. 及抛物线 x2=﹣4y 上一动点 P(x,y) ,则|y|+|PQ|的最小值是

6.已知点 ( ) A. B.1 C.2

D.3

7. 已知 A (2, 1) , O (0, 0) , 点M (x, y) 满足

, 则

的最大值为 (



A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.1 8.分别在区间[0,π ]和[0,1]内任取两个实数 x,y,则不等式 y≤sinx 恒成立的概率为 ( ) A. B. C. D. 的图象向右平移 ) 个单位后与原

9.已知函数 图象重合,则 ω 的最小值是( A.3 B. C. D.

10.奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5) 的值为( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填写在答题卡相应位置. 11.已知 ,则 cos(30°﹣2α )的值为 .

12.随机抽取 100 名年龄在[10,20) ,[20,30)?,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查, 由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法 随机抽取 22 人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为 .

13.设二项式(x﹣ )6(a≠0)的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=44,则 a= . 14.已知平面向量 , 范围为 .

满足|β |=1,且





的夹角为 120°,则

的模的取值

2

15.若函数 f(x)=﹣2x3+2tx2+1 存在唯一的零点,则实数 t 的取值范围为



三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=sinxcos(x+ )+1.

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边 f(C)= ,b=4, ? =12,求 c.

17.一个袋中装有 7 个大小相同的球,其中红球有 4 个,编号分别为 1,2,3,4;蓝球 3 个,编号为 2,4,6,现从袋中任取 3 个球(假设取到任一球的可能性相同) . (I)求取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球的概率; (Ⅱ)记 ξ 为取到的球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 18.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=1,且 a1,a3,a2+14 成等差数列,数列{bn}满足: n a1b1+a2b2+?+anbn=(n﹣1)?3 +1,n∈N. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 man≥bn﹣8 恒成立,求实数 m 的最小值. 19.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥平面 PAC,∠APC=90°,AB=1,AC= ,E 是 AB 的中 点,M 是 CE 的中点,N 点在 PB 上,且 4PN=PB. (1)证明:平面 PCE⊥平面 PAB; (2)证明:MN∥平面 PAC; (3)若∠PAC=60°,求二面角 P﹣CE﹣A 的大小.

20.如图:A,B,C 是椭圆

的顶点,点 F(c,0)为椭圆的右焦点,

原点 O 到直线 CF 的距离为

,且椭圆过点



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点, 直线 CP 交 x 轴于点 E, 直线 BC 与 AP 相交于点 D, 连结 DE. 设直线 AP 的斜率为 k, 直线 DE 的斜率为 k1, 问是否存在实数 λ , 使得 成立,若存在求出 λ 的值,若不存在,请说明理由.

3

21.已知函数 f(x)=lnx 2 (Ⅰ)若函数 F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x ﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l,求 t 的值; (Ⅱ)证明: (Ⅲ)若不等式 mf(x)≥a+x 对所有的 取值范围. ; 都成立,求实数 a 的

4

2016 年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3},集合 B={3,4},则(?UA)∪B=( ) A.{4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据全集 U 求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,3}, ∴?UA={4,5}, ∵B={3,4}, 则(?UA)∪B={3,4,5}. 故选:C.

2.已知

为实数,则实数 t 的值为(



A.1

B.﹣1 C.

D.

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由虚部为 0 求得 t 值. 【解答】解:∵z1=2t+i,z2=1﹣2i, ∴ = ,



为实数,

∴4t+1=0,即 t=﹣ . 故选:D. 3.如图是一个程序框图,则输出 S 的值是( )

5

A.84 B.35 C.26 D.10 【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 k=1 时,不满足退出循环的条件,执行循环后,S=1,k=3; 当 k=3 时,不满足退出循环的条件,执行循环后,S=10,k=5; 当 k=5 时,不满足退出循环的条件,执行循环后,S=35,k=7; 当 k=7 时,满足退出循环的条件, 故输出的 S 值为 35, 故选:B. 4.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” B.已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”是“x0 是函数 y=f(x)的极值点” 的必要不充分条件 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“角 α 的终边在第一象限角,则 α 是锐角”的逆否命题为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用命题的定义判断 A 的正误;函数的极值的充要条件判断 B 的正误;命题的否定 判断 C 的正误;四种命题的逆否关系判断 D 的正误; 【解答】解:对于 A,命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1”,不满足 否命题的定义,所以 A 不正确; 对于 B,已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”函数不一定有极值,“x0 是 函数 y=f (x) 的极值点”一定有导函数为 0,所以已知 y=f (x)是 R 上的可导函数,则“f′ (x0)=0”是“x0 是函数 y=f(x)的极值点”的必要不充分条件,正确; 2 2 对于 C,命题“存在 x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x +x+1<0”, 不满足命题的否定形式,所以不正确; 对于 D,命题“角 α 的终边在第一象限角,则 α 是锐角”是错误命题,则逆否命题为假命 题,所以 D 不正确; 故选:B. 5.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、 俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

6

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】剩余几何体为四棱锥,分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积. 【解答】解:由俯视图可知三棱柱的底面积为 =2,∴原直三棱柱的体积为 2×4=8.

由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥,四棱锥的底面为侧视图梯形的面积 =6,由俯视图可知四棱锥的高为 2, ∴四棱锥的体积为 =4. .

∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为 故选 C. 6.已知点 ( ) A. B.1 C.2

及抛物线 x =﹣4y 上一动点 P(x,y) ,则|y|+|PQ|的最小值是

2

D.3

【考点】抛物线的简单性质;抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 【分析】抛物线的准线是 y=1,焦点 F(0,﹣1) .设 P 到准线的距离为 d,利用抛物线的定 义得出:y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1,利用当且仅当 F、Q、P 共线时取最小 值,从而得出故 y+|PQ|的最小值. 【解答】解:抛物线 x2=4y 的准线是 y=1,焦点 F(0,﹣1) . 设 P 到准线的距离为 d,则 y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2(当且仅当 F、Q、P 共线时取等号) 故 y+|PQ|的最小值是 2. 故选:C.

7. 已知 A (2, 1) , O (0, 0) , 点M (x, y) 满足

, 则

的最大值为 (



7

A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.1 【考点】简单线性规划. 【分析】先画出平面区域 D,进行数量积的运算即得 z=2x+y﹣5,所以 y=﹣2x+5+z,所以根 据线性规划的方法求出 z 的最大值即可.

【解答】解:

表示的平面区域 D,如图中阴影部分所示,

的=(2,1)?(x﹣2,y﹣1)=2x+y﹣5; ∴y=﹣2x+5+z; ∴5+z 表示直线 y=﹣2x+5+z 在 y 轴上的截距,所以截距最大时 z 最大; 如图所示,当该直线经过点 A(2,2)时,截距最大,此时 z 最大; 所以点(2,2)带人直线 y=﹣2x+5+z 即得 z=1. 故选:D.

8.分别在区间[0,π ]和[0,1]内任取两个实数 x,y,则不等式 y≤sinx 恒成立的概率为 ( ) A. B. C. D.

【考点】几何概型. 【分析】根据几何概型的概率公式,求出对应事件对应的平面区域的面积,进行求解即可. 【解答】解:由题意知 0≤x≤π ,0≤y≤1, 作出对应的图象如图所示:

则此时对应的面积 S=π ×1=π , 阴影部分的面积 S= sinxdx=﹣cosx =﹣cosπ +cos=2,

8

则不等式 y≤sinx 恒成立的概率 P= 故选:B.



9.已知函数 图象重合,则 ω 的最小值是( A.3 B. C. D. )

的图象向右平移

个单位后与原

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【分析】函数 原图象重合可判断出 【解答】解:∵函数 位后与原图象重合, ∴ =n× ,n∈z, 的图象向右平移 个单位后与

是周期的整数倍,由此求出 ω 的表达式,判断出它的最小值 的图象向右平移 个单

∴ω =3n,n∈z, 又 ω >0,故其最小值是 3. 故选:A. 10.奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5) 的值为( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 【考点】抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到 f(x+4)=f(x) ,即可得到结论. 【解答】解:∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数, ∴设 g(x)=f(x+1) , 则 g(﹣x)=g(x) , 即 f(﹣x+1)=f(x+1) , ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x+1)=f(x+1)=﹣f(x﹣1) , 即 f(x+2)=﹣f(x) ,f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=f(x) , 则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, ∴f(4)+f(4)=0+2=2, 故选:A. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填写在答题卡相应位置. 11.已知 ,则 cos(30°﹣2α )的值为 .

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数.

9

【分析】利用诱导公式求得 sin(15°﹣α )= ,再利用二倍角的余弦公式可得 cos(30° ﹣2α )=1﹣2sin2(15°﹣α ) ,运算求得结果. 【解答】解:∵已知 ∴sin(15°﹣α )= , 则 cos(30°﹣2α )=1﹣2sin2(15°﹣α )= , 故答案为 . ,

12.随机抽取 100 名年龄在[10,20) ,[20,30)?,[50,60)年龄段的市民进行问卷调查, 由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法 随机抽取 22 人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为 2 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图,求出样本中不小于 30 岁人的频率与频数,再求用分层抽样 方法抽取的人数 【解答】解:根据频率分布直方图,得; 样本中不小于 30 岁的人的频率是 1﹣0.020×10+0.025×10=0.55, ∴不小于 30 岁的人的频数是 100×0.55=55; 从不小于 30 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 22 人, 在[50,60)年龄段抽取的人数为 22× 故答案为:2. =22× =2.

13.设二项式(x﹣ )6(a≠0)的展开式中 x2 的系数为 A,常数项为 B,若 B=44,则 a= ﹣ . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 02,求出 r 的值,即可求得 x2 的 系数为 A 的值;再令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项 B,再根据 B=44,求 得 a 的值.

10

【解答】解:二项式(x﹣ ) (a≠0)的展开式中的通项公式为 Tr+1= 令 6﹣2r=2,求得 r=2,可得展开式中 x2 的系数为 A=15a2. 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得展开式中常数项为﹣20a3=44,求得 a=﹣ 故答案为:﹣ .

6

?(﹣a) ?x

r

6﹣2r





14.已知平面向量 范围为 (0, ]

, .

满足|β |=1,且





的夹角为 120°,则

的模的取值

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设 = , = ,得到∠ABC=60°由正弦定理得:| |= sinC≤ ,从

而求出其范围即可. 【解答】解:设 = , = 如图所示: 则由 = ﹣ ,又∵ 与 ﹣ 的夹角为 120° ∴∠ABC=60° 又由| |=| |=1 由正弦定理 | ∴| |= = , ] ]. 得:

sinC≤

|∈(0,

故答案为: (0,

15.若函数 f(x)=﹣2x3+2tx2+1 存在唯一的零点,则实数 t 的取值范围为 t>﹣ 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】求解导数 f′(x)=﹣6x2+4tx,分类讨论得出极值点, 根据单调性判断极值的大小,即可得出零点的个数. 3 2 【解答】解:∵函数 f(x)=﹣2x +2tx +1, 2 ∴f′(x)=﹣6x +4tx=0, ∴x=0,x= (1)当 t=0 时,f(x=﹣2x3+1 单调递减,



11

f(0)=1>0,f(2)=﹣15<0 ∴存在唯一的零点,是正数. (2)当 t>0 时, f′(x)=﹣6x2+4tx>0,即 0 f′(x)=﹣6x2+4tx<00,即 x<0,x ∴f(x)在(﹣∞,0) , ( 在(0, )单调递增 )>f(1) ,极小值 f(0)=1>0, ,+∞)单调递减

∴极大值 f(

∴存在唯一的零点, (3)当 t<0 时, f′(x)=﹣6x2+4tx>0,即 <x<0 ,x>0

f′(x)=﹣6x2+4tx<00,即 x< ∴f(x)在(﹣∞, 在( ,0)单调递增

) , (0,+∞)单调递减

∴极小值 f(

)<f(1) ,极大值 f(0)=1>0, )>0 即可,

∵只需极小值 f( +1>0,且 t<0 ∴﹣ <t<0,

综上:﹣ <t<0,或 t≥0 故答案为:t>﹣ .

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)=sinxcos(x+ )+1.

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边 f(C)= ,b=4, 【考点】解三角形;两角和与差的余弦函数. ? =12,求 c.

12

【分析】 (1)使用和角公式展开再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简 f(x) ,利用正弦 函数的单调性列出不等式解出; (2)根据 f(C)= 求出 C,根据, 【解答】 解: (1) f (x) =sinx ( + . 令 ≤2x+ ≤ ,解得 , ≤x≤ ],k∈Z. )=1,∴C= . . ? =12 解出 a,使用余弦定理解出 c. sin2x﹣ +1= sin (2x+ )

cosx﹣ sinx) +1=

∴函数 f(x)的单调递减区间是[ (2)∵f(C)= sin(2C+

)+ = ,∴sin(2C+

∵ ? =abcosA=2 a=12,∴a=2 . 由余弦定理得 c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4. ∴c=2. 17.一个袋中装有 7 个大小相同的球,其中红球有 4 个,编号分别为 1,2,3,4;蓝球 3 个,编号为 2,4,6,现从袋中任取 3 个球(假设取到任一球的可能性相同) . (I)求取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球的概率; (Ⅱ)记 ξ 为取到的球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差. 3 【分析】 (I)从 7 个球中取出 3 个球,基本事件总数 n=C7 =35,然后求出取出的 3 个球中, 含有编号为 2 的球的结果数,代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 ξ 所有可能取值为 0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值 的概率,即可求解分布列及期望值. 【解答】解: (Ⅰ) 设“取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球”为事件 A,则 从盒子中取出 3 个球,基本事件总数 n=C73=35, 其中含有 2 号球的基本事件个数 m=C21C52+C22C51=25, ∴取出的 3 个球中,含有编号为 2 的球的概率 (Ⅱ)ξ 所有可能取值为 0,1,2,3.? P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= = ,P(ξ =2)= = ,P(ξ =3)= = ,? = .?

所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 P

2

3

随机变量 ξ 的数学期望 Eξ =1×

+2×

+3×

=

.?

13

18.已知等比数列{an}的公比 q>1,a1=1,且 a1,a3,a2+14 成等差数列,数列{bn}满足: a1b1+a2b2+?+anbn=(n﹣1)?3n+1,n∈N. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 man≥bn﹣8 恒成立,求实数 m 的最小值. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (I)数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列,运用等比数列的通项公式和等差 数列的中项性质,解方程可得 an=3n﹣1,再将 n 换为 n﹣1,两式相减可得 bn=2n﹣1; (2)若 man≥bn﹣8 恒成立,即为 m≥ 的最大值,由 cn= ,作差,判断单调性,

即可得到最大值,进而得到 m 的最小值. 【解答】解: (I)∵数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列, n﹣1 ∴an=q , 由 a1,a3,a2+14 成等差数列,可得 2a3=a1+a2+14, 2 即为 2q =1+q+14,解得 q=3(负的舍去) , n﹣1 即有 an=3 , ∴a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn=b1+3b2+32b3+?+3n﹣1bn=(n﹣1)?3n+1, 2 n﹣2 n﹣1 ∴b1+3b2+3 b3+?+3 bn﹣1=(n﹣1﹣1)?3 +1(n≥2) , n﹣1 n n﹣1 n﹣1 两式相减得:3 bn=(n﹣1)?3 ﹣(n﹣2)?3 =(2n﹣1)?3 , ∴bn=2n﹣1, 当 n=1 时,a1b1=1, 即 b1=1 满足上式, ∴数列{bn}的通项公式是 bn=2n﹣1; (2)若 man≥bn﹣8 恒成立,即为 m≥ 的最大值,

由 cn=

,n≥2 时,cn﹣1=



cn﹣cn﹣1=



=



可得 n=2,3,?,6 时,cn≥cn﹣1;n=7,?时,cn<cn﹣1. 即有 n=5 或 6 时,cn 取得最大值,且为 即为 m≥ ,可得 m 的最小值为 . ,

19.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥平面 PAC,∠APC=90°,AB=1,AC= 点,M 是 CE 的中点,N 点在 PB 上,且 4PN=PB. (1)证明:平面 PCE⊥平面 PAB; (2)证明:MN∥平面 PAC; (3)若∠PAC=60°,求二面角 P﹣CE﹣A 的大小.

,E 是 AB 的中

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【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)根据面面垂直的性质定理证明平面 PCE⊥平面 PAB. (2)根据面面平行的性质定理证明平面 MNF∥平面 PAC,即可证明 MN∥平面 PAC; (3)建立空间直角坐标系,求出对应平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】证明: (1)∵∠APC=90°,∴PC⊥AP, ∵AB⊥平面 PAC,PC? 平面 PAC, ∴AB⊥PC, ∵AP∩AB=A, ∴PC⊥平面 PAB, ∵PC? 平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PAB; (2)取 AE 的中点 F,连接 FN,FM, ∵M 是 CE 的中点,∴MF 是△AEC 的中位线, 则 MF∥AC,AB=2AE=4AF ∵4PN=PB, ∴PB:PN=AB:AF,则 FN∥AP, ∵AP∩PC=C,∴平面 MNF∥平面 PAC; ∵MN? 面 MNF; ∴MN∥平面 PAC, (3)过 P 作 PO⊥AC 于 O,则 PO⊥平面 ABC,过 O 作 AB 的平行线交 BC 于 H, 以 O 坐标原点建立空间坐标系如图: 若∠PAC=60°, ∵∠APC=90°,AB=1,AC= ,E 是 AB 的中点,M 是 CE 的中点, ∴AP= = ,OA= AP= = ,OC=AC﹣OA= ,AE= , , ,0) ,C(﹣ ,0,0) ,P(0,0, ) , = .

OP=APsin60°= 则 A( ,0,0) ,E(

则平面 AEC 的一个法向量为 =(0,0,1) , 设平面 PEC 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则 =( , ,0) , =(﹣ ,0,﹣ ) ,

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,即



即 即 =(1,2

,令 x=1,则 z=﹣ ,﹣ ) ,则| |= =

,y=2 =2 ==﹣ ,

, ,

则 cos< , >=

即< , >=120°, ∵二面角 P﹣CE﹣A 是锐二面角, ∴二面角 P﹣CE﹣A 的大小为 60°.

20.如图:A,B,C 是椭圆

的顶点,点 F(c,0)为椭圆的右焦点,

原点 O 到直线 CF 的距离为

,且椭圆过点



16

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点, 直线 CP 交 x 轴于点 E, 直线 BC 与 AP 相交于点 D, 连结 DE. 设直线 AP 的斜率为 k, 直线 DE 的斜率为 k1, 问是否存在实数 λ , 使得 成立,若存在求出 λ 的值,若不存在,请说明理由.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)推导出直线 CF 的方程为 bx+cy﹣bc=0,由原点 O 到 CF 的距离为 点 ,求出 a,b,由此能求出椭圆方程. ,直线 AP 的方程为:y=k(x﹣4) ,代入椭圆方程,得 ,从而得到 E ) ,由此能求出 λ . +b, ,椭圆过

(Ⅱ)求出直线 BC 的方程为 y=

(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣16=0,求出直线 CP 的方程为 y= ( ,0) ,将直线 BC 与直线 AP 联立,得 D( ,

【解答】解: (Ⅰ)由题意,得 C(0,b) ,∴直线 CF 的方程为 y=﹣ 即 bx+cy﹣bc=0, 又原点 O 到 CF 的距离为 ,



=

,由 b +c =a 整理,得 a=2b,

2

2

2

又椭圆过点 解得 a2=16,b2=4, ∴椭圆方程为

,∴

=1,



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B(﹣4,0) ,C(0,2) , 故直线 BC 的方程为 y= ,

∵直线 AP 的斜率为 k,点 A(4,0) ,∴直线 AP 的方程为:y=k(x﹣4) ,

联立

,得(4k2+1)x2﹣32k2x+64k2﹣16=0,

17

又点 P(xP,yp)在椭圆上,故有:4?xP=



∴xP=





∴P(



) ,

故直线 CP 的方程为 y=

x+2,

即 y=

, ,

又点 E 为直线 CP 与 x 轴交点,令 y=0 得 x= ∴E( ,0) ,

将直线 BC 与直线 AP 联立,得:

,解得

,∴D(



) ,

故直线 DE 的斜率为:

=

=



∴ ∴λ =2.



21.已知函数 f(x)=lnx 2 (Ⅰ)若函数 F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x ﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l,求 t 的值; (Ⅱ)证明: (Ⅲ)若不等式 mf(x)≥a+x 对所有的 ; 都成立,求实数 a 的

取值范围. 【考点】函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论.

18

(Ⅱ)构造函数 h(x)=f(x)﹣x 和 G(x)=

,求函数的导数,分别求出函数

的最值进行比较比较即可. (Ⅲ)利用参数分离法,转化为以 m 为变量的函数关系进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)g′(x)=2x,F(x)=tf(x)=tlnx, F′(x)=tf′(x)= , ∵F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x2﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l, ∴k=F′(1)=g′(1) , 即 t=2, (Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣x,则 h′(x)= ﹣1= 在(1,+∞)上是减函数, ∴h(x)的最大值为 h(1)=﹣1, ∴|h(x)|的最大值是 1, 设 G(x)= = + ,G′(x)= , ,则 h(x)在(0,1)上是增函数,

故 G(x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数, 故 G(x)max= + <1, ∴ ; 都成立, 都成立, 是关于 m 的一次函数,

(Ⅲ)不等式 mf(x)≥a+x 对所有的 则 a≤mlnx﹣x 对所有的 令 H(x)=mlnx﹣x, ∵x∈[1,e2],∴lnx∈[0,2], ∴当 m=0 时,H(m)取得最小值﹣x, 即 a≤﹣x,当 x∈[1,e2]时,恒成立, 故 a≤﹣e2.

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