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【数列】数列综合练习题(1)--测试用


数列综合练习题
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分 1、数列 ? 1, ,?
8 5 15 24 , ,? 7 9

的一个通项公式是
a n ? (?1) n B. 2n ? 1
n


n(n ? 3)



a

n ? ( ?1) D. 2n ? 1 2、若两数的等差中项为 6,等比中项为 10,则以这两数为根的一元二次方程是(

n3 ? n 2n ? 1 2 ( n n ? 1) ? 1 a ? ( ? 1 ) C. n 2n ? 1

A. a n ? (?1) n

n ( n ? 2)



A、 x 2 ? 6 x ? 100 ? 0 C、 x 2 ? 12x ? 100 ? 0

B、 x 2 ? 12x ? 100 ? 0 D、 x 2 ? 12x ? 100 ? 0

3、已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数, 9 则 b2(a2-a1)=( )A.8 B.-8 C.±8 D. 8 4、已知数列 ?a n ? 是等比数列,若 a9 a 22 ? a13 a18 ? 4, 则数列 ?a n ? 的前 30 项的积

T30 ? (



A、 4 ,

15

B、 2 ,

15

1? C、 ? ? ? , ? 2?

15

D、 3 15 , )
( )

5、已知等比数列{a n }的公比为 2, 前 4 项的和是 1, 则前 8 项的和为 ( A .15. B.17. C.19. D .21 6、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 ?
(A)18 (B)36 (C)54 (D)72

1 7、已知方程 ( x 2 ? 2x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 4
|m-n|= A.1 ( )

3 B. 4

1 C. 2

3 D. 8

8、 等差数列{an}中, a1+a2+…+a50=200, a51+a52+…+a100=2700, 则 a1 等于( ) A.-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 9、 设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比 q = 2, 如果 a 1 ·a 2 ·a 3 · … ·a 30 = 230, 那么 a 3 ·a 6 ·a 9 · … · a 30 = ( ) A.210. B.215. C.220. D.216. 10、某人从 1999 年 9 月 1 日起,每年这一天到银行存款一年定期 a 元,且每年 到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若年利率 r 保持不变,到 2003 年 9 月 1 日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数为 A 、 a?1 ? r ?
5

B 、

a (1+ r )5 - (1+ r ) r

[

]

C 、 a?1 ? r ?

4

D 、

a ?1 ? r ?5 ? 1 r

?

?

1

二、

填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分。

11、已知数列的通项公式 an ? 4n ? 7 ,则其中三位数的个数有_______个 12、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? S 20 ,则 S 30 的值是_______。 13、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和公式为 sn ? ?n 2 ? 1, 那么此数列的通项公式为 14、 在各项均为正数的等比数列 ?a n ? 中, 若 a50 ? a51 =9, 则l o g
3



a1 + l o g 3 a2 +. + l o g 3 a1 0 =

1 1 1 1 15、 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? (n ? n ) ________________ . 2 4 8 2 三、解答题:本大题共 7 小题,共 84 分。

15、 (本小题满分 10 分)已知等差数列 ?a n ? 中,公差为 d ? 1, 且 s99 ? 99 , 求 a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a95 ? a98 的值。

16、 (本小题满分 14 分) ⑴在等比数列 ?a n ? 中,若 a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, 求首项 a1 和公比 q 。 ⑵设等比数列 ?a n ? , sn 是它的前 n 项和,若 s3 ? s6 ? 2s9 , 求公比 q 。

17、三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个数与第三个数各减 2,则成等差数 列,求这三个数. (10 分)

2

18、已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (4 分) (Ⅱ)令 bn ? an 3n ( x ? R).求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.(6 分)

19、 (本小题满分 12 分) 某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况, 决定对原来以每件 2000 元出售的一种产品进行调价,并按新单价的八折优惠销 售, 结果每件产品仍可获得实际销售价 20%的利润。 已知该产品每件的成本是原 销售单价的 60%。 (I) 求调整后这种产品的新单价是每件多少元?让利后的实际销售价是每件 多少元? (Ⅱ)为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于 20 万元,今年至少 应销售这种产品多少件? (每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价)

20、设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2. (1)求证数列 {bn ? 2} 是等比数列(要指出首项与公比), (2)求数列 {an } 的通项公式. (14 分)

3

参考答案
一:选择题 1.D 2.D
二:填空题 11 .255 12. 0 13. an ? ?

3.C

4.B

5.B

6.D 7.C

8.C

9.C

10.B

? 0, n ? 0 ?? 2n ? 1, n ? 2

14.100

15 、

n?n ? 1? 1 1 1 1 1 ?1? n S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? (n ? n ) ? 2 2 4 8 2 2
三:解答题

15、解法一: S 99 ? 99 , ?a n ? 是等差数列 所以
99 a1 ? 99 ? 98 d ? 99 ,又 d ? 1 , a1 ? ?48 2

a2 ? a1 ? d ? ?47 , a98 ? a1 ? 97d ? 49, a2 ? a98 ? 2
所以: a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a95 ? a98
? 33? ?a 2 ? a98 ? 33? 2 ? ? 33 2 2
99 ? ?a1 ? a99 ? ? 99 , a1 ? a99 ? 2 ,亦即 a2 ? a98 ? 2 2

解法二:由

所以: a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? a95 ? a98
? 33? ?a 2 ? a98 ? 33? 2 ? ? 33 2 2

16、解:⑴ ?a n ? 是等比数列,则根据已知有:

a1q 3 ? a1q ? 24 a1q ? a1q 2 ? 6
联立①②两式可解得: 1 a1 ? , q?5 5 ⑵当 q ? 1 时, ?a n ? 是常数列,则根据 s3 ? s6 ? 2s9 , 得

① ②

4

3a1 ? 6a1 ? 18a1 , a1 ? 0 ,因为 ?a n ? 是等比数列, a1 ? 0
故 q ? 1。 当 q ? 1 时,

a1 1 ? q 3 a1 1 ? q 6 2a 1 ? q 9 1 ,解得 q ? ?3 。 ? ? 1 2 1? q 1? q 1? q

?

?

?

?

?

?

? a 3 ? 512 ?a ? 8 ? a ?a ? 8 ? ? 1. 17、解:设三数为 , a, aq. ? ?? a 或? ?? ? ? 2? ? (aq ? 2) ? 2a ?q ? 2 ?q ? q ? ? ? 2 ? ? ?? q
则三数为 4, 8, 16 或 16, 8 , 4 .

18、 (Ⅰ)解:设数列 {an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2. 所以 an ? 2n. (Ⅱ)解:由 bn ? an 3n ? 2n3n , 得
S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ?(2n ? 2)3n?1 ? 2n ? 3n , ①

3S n ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ?? (2n ? 2) ? 3n ? 2n ? 3n?1. ②

将①式减去②式,得 ? 2S n ? ?2(3 ? 32 ? ?3n ) ? 2n ? 3n?1 ? 3(3n ?1) ? 2n ? 3n?1. 所以 Sn ? 3(1 ? 3 ) ? n ? 3n ?1.
n

2

19、 (I)解:设每件产品的新单价是 x 元。 由已知,该产品的成本是 2000?60%=1200(元) 。…………………………1 分 由题意:x?80%-1200=20%?80%?x…………………………………………4 分 解得 x=1875(元) 。………………………………………………6 分 ∴80%?x=1500(元) 。…………………………………………8 分 所以,该产品调价后的新单价是每件 1875 元,让利后的实际销售价是每件 1500 元。………………………………9 分 (Ⅱ)解:设全年至少应销售这种电子产品 m 件。则由题意, 2 m(1500-1200)≥200000,解得 m ? 666 。 3 ∵m∈N ∴m 最小值应为 667(件) 。 所以全年至少售出 667 件,才能使利润总额不低于 20 万 元。……………………14 分 20、 解: (1) bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2), ?
5

bn?1 ? 2 ? 2, 又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 4 , bn ? 2

? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列.
(2)? bn ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? bn ? 2n?1 ? 2 .

? an ? an?1 ? 2 n ? 2.
令 n ? 1,2,?, (n ? 1), 叠加得 an ? 2 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2(n ? 1) ,

? an ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n ? 2
? 2(2 n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2 n?1 ? 2n. 2 ?1

数列求和 一、利用常用求和公式求和 1 、等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2 、等比数列求和公式:

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
[例 1] 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2
n

解:由 log3 x ?

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 2 =1- 1 由等比数列求和公式得: S n ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ? ? x n = = 1 2n 1? x 1? 2
[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2
∴ 当

f ( n) ?

1 1 n 1 Sn ? = 2 = = 64 8 50 n ? 34 n ? 64 (n ? 32) S n?1 n ? 34 ? ( n ? ) 2 ? 50 n n

n?

1 8 ,即 n=8 时, f ( n) max ? 50 8

二、错位相减法求和

6

种这方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an? bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 通项之积:设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n …②(设制错位) ① - ② 得
n ?1

}的

(1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

( 错 位 相 减 ) 再 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 得 :

(1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x





Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2 4 6 2n 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和.解: 由题可知, { n }的通项是等差数列{2n} 2 2 2 2 2 1 的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………… ② ① - ② 得 2 2 2 2 2 1 2n 1 2 2 2 2 2 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 2
[例 4] 求数列 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将 ① 式 右 边 反 序 得 : S ? sin 89 ? sin 88 ? ? ? ? ? sin 3 ? sin 2 ? sin 1 …… ②
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?







sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1





+







2S ? (sin2 1? ? cos2 1? ) ? (sin2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin2 89? ? cos2 89? ) =89 ∴ S=44.5
四、分组法求和

7

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将 其 每 一 项 拆 开 再 重 新 组 合 得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分组) a a a

(3n ? 1)n (3n ? 1)n Sn ? n ? 当 a=1 时, = (分组求和) 当 a ? 1 时, Sn ? 2 2

1?

1 a n ? (3n ? 1)n 1 2 1? a



a ? a1? n (3n ? 1)n ? a ?1 2

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解 : 设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴
n

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) =
k ?1

n

? ( 2k
k ?1

3

? 3k 2 ? k )

将 其 每 一 项 拆 开 再 重 新 组 合 得 :

Sn = 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n



2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 2 (n ? 2) ? ? = = 2 2 2 2
项五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1)

an ? f (n ? 1) ? f (n)

sin 1? (2) ? tan(n ? 1) ? ? tann ? ? ? cosn cos(n ? 1)
(2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? ? (3) a n ? n(n ? 1) n n ? 1
(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

8

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 1 n ? n ?1 1 2? 3 ? ??? ? ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 求数列

解:设 a n ?

? n ? 1 ? n ,则 1 n ? n ?1

Sn ?

1 1? 2

?

( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1
[例 11] 求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

解:设 S ?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

S?



1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} sin 1?


1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = ∴ 原等式成立 sin 1? sin 1? sin 2 1?

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+? ? ?+ cos178°+ cos179°的值. 解 : 设 Sn = cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + ? ? ? + cos178 ° + cos179 ° ∵

cosn? ? ? cos(180? ? n? )

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°) + ( cos2°+ cos178°) + (cos3°+ cos177°) +? ? ? + (cos89° + cos91°)+ cos90°= 0 (合并求和) [例 14] 在各项均为正数的等比数列中, 若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的 值。 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

9

由等比数列的性质

m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和 对 数 的 运 算 性 质
得:

loga M ? loga N ? loga M ? N

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ?1 ? ?? ? ?1 之和.解:由于 111 ?? ? ? ?
n个1
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
= =
n个1



1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
[例 16] 已知数列{an}: a n ?



1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1







(n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)



8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)
?



4?(

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4
= 4?( ? ) ? 8?

? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

1 3

1 4

1 4



13 3

10


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数列综合练习(有答案)

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