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陕西省西北工业大学附属中学2016届高三数学第七次适应性考试试题理(新)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性 训练理科数学
第Ⅰ部分(选择题 共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的)
2 1.已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? x | x ? 4 ? 0 ,则A ? B

? (

?

?



A. ? 0, 1?

B. ? 0, 2?

C. ?1, 2 ?
2

D. ?1 , 2? )

2.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线
1 A. 2

y ? x 2 ? 1的渐近线的距离是( 3
D. 3

3 B. 2
ix

C. 1

3.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位, x ? R )是 由瑞士著名数学家欧拉发明 的,它将指数函数的定义扩大到 复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 根据欧拉公式计算

? e? 4 i 复数 ? ? i ? e4 ? A. ?1
?

? ?( ? ? ?

2



B.1 C. ?i D. i 4.执行右面的程序框图,随机输入一个 x( 0 ? x ? 1 )与 y ( 0 ? y ? 1) ,则能输出数对(x,y)的概率为( )
3 1 1 2 A. 4 B. 3 C. 3 D. 4 5.下列说法中正确的是( ) A.“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件

B




2

2 p : ? x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0





?p : ?x ? R , x ? x ?1 ? 0 C.若 p ? q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题
D.命题“若 ? ? ? 6 ,则 sin ? ?
1 ”的否命题是“若 ? ? ? 6 ,则 sin ? ? 2 ” sin( A ? B) 2 2 6.在 ?ABC 中,若 a ? b ? 3bc 且 ? 2 3 ,则角 A ? ( ) sin B
1 2

2? 5? D. 6 3 6 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 7.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ? 唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为( ) A. ?1, ?? ? B. ?1, ?? ? C. (?1,1) D. (0,1)
A. B.

?

? 3

C.

1

8. 如图所示, 单位圆中弧 AB 的长为 x , f ( x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图像是( )

9.用红、黄、蓝、绿 4 种颜色为一个五棱锥的六个顶点着色,要求每一条棱的两个端点 着不同的颜色 ,则不同的着色方案共有( )种? A.120 B.140 C.180 D.240 ??? ??? ??? 2 1 ??? 2 10.在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0, AB ? BD ? 2 ,若将其沿 BD 折成直二面 2 角 A ? BD ? C ,则三棱锥 A ? BDC 的外接球的表面积为( ) A. 16? B. 8? C. 4? D. 2? 11.设等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为 Sn 错误!未找 到引用源。 ,且满足错误!未找到引用源。 ,对任意正整数错误!未找到引用源。 ,都有错 误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。的值为 ( ) A .1006 B.1007 C.1008 D.1009 12.已知函数 f ( x) ? ?

?| x ? 1| ( x ? 0) ,若方程 f ( x) ? a 有 4 个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 且 ?| log 2 x | ( x ? 0) 1 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x3 ( x1 ? x2 ) ? 2 的取值范围是( ) x3 x4
B. ? ?1.1? C. (??,1) D. ? ?1,1?

A. (?1, ??)

第Ⅱ部分(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应的横线上. 13.记 cot(?80 ) ? a ,那么 sin 20 ? ; 14 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为 .
?
?

15.在 ( 则

1 ? 3) n ( n ? N ? ) 的展开式中,所有项的系数和为 ?32 , x

2

1 的系数等于 x
2
2

16.如图所示,点 F 是抛物线 y ? 8 x 的焦点,点 A , B 分别在抛 物线 y ? 8 x 及圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 16 的实线部分上运动,且 AB 总 是平行于 x 轴,则 ?FAB 的周长的取值范围是 .

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.写出必要的文字说明和

2

演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an2 ? nan ? 1 ( n ? N ).
?

(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值,猜出通项 an ,并用数学归纳法证明你的结论; (Ⅱ)令 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . a n a n ?1

18. (本小题满分 12 分)根据国家最新人口发展战略,一对夫妇可生育两个孩子,为了解 人们对放开生育二胎政策的意向, 某机构在 A 城市随机调查了 100 位 30 到 40 岁已婚人群, 得到情况如下表: 意向 男 女 合计 (Ⅰ) 是否有 95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”, 生 40 20 60 并说明理由(请参考所附的公式及相关数据) ; 不生 20 20 40 (Ⅱ)把以上频率当概率,若从 A 城市随机抽取 3 位 30 合计 60 40 100 到 40 岁的已婚男性,记其中愿意生二胎的人数为 X,求随 机变量 X 的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 分 别是椭圆的左右焦点,过 4 3 椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. ???? ? ???? (Ⅰ)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在请 求出直线 l 的方程,若不存在请
20.(本小题满分 12 分)设椭圆 C: 说明理由; (Ⅱ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN / / AB ,求证:

| AB |2 为定值. | MN |

21.已知 f ? x ? ?

m ? n ln x (m,n 为常数) ,在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . x ?1

3

(Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式并写出定义域; (Ⅱ)若 ?x ? ? ,1? ,使得对 ?t ? ? , 2 ? 上恒有 f ? x ? ? t 3 ? t 2 ? 2at ? 2 成立,求实数 a e 2 的取值范围; (Ⅲ)若 g ? x ? ? f ? x ? ? bx ?

?1 ? ? ?

?1 ?

? ?

2 ?b ? R ? 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1x2 ? e2 . x ?1

请考生从 22、23、24 题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应题号右侧 方框涂黑,按所选涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选 考题的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,∠APC 的平分 线分别交 AB、AC 于点 D、E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 PC 的值.

PA

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方 程

? x ? t cos ? 2 , 直线 l :? (t 1 ? sin ? ? y ? t sin ? 为参数, 0 ? ? ? ? ).
已 知曲线 C:? ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点(A 在第一象限) ,当 OA ? 3OB ? 0 时,求 ? 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式证明选讲 已知 c ? 0 ,关于 x 的不等式: x ? x ? 2c ? 2 的解集为 R. (I)求实数 c 的取值范围; ( Ⅱ ) 若 c 的 最 小 值 为 m , 又 p、 q、 r 是 正 实 数 , 且满 足 p ? q ? r ? 3m , 求 证 :

??? ?

??? ?

?

p2 ? q 2 ? r 2 ? 3 .
2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第七次适应性训练 理科数学(答案) 一、DBABD 二、13. ABDAC CB 16.

2a 7 14. 15. ?270 ? 2 a ?1 2 17. (Ⅰ) a2 ? 3, a3 ? 4, a4 ? 5 an ? n ? 1证明略. ?

(8,12)

4

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? ? . ? ? 2 n?2 an an ?1 n ? 1 n ? 2

25 ? 3.841 ,没有 95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”。 9 2 ? 2? (Ⅱ)由已知得,男性愿意“生二胎”的概率为 ,且 X ? B ? 3, ? ,分布列为 3 ? 3?
18. (Ⅰ) K ?
2

X

0

1

2

3

EX ? 2

P

1 27

2 9

4 9

8 27

19. (Ⅰ)证明:∵长方形 ABCD 中,AB= 2 2 ,AD= 2 ,M 为 DC 的中点,∴AM=BM=2, ∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥ 平面 ADM ∵AD? 平面 ADM ∴AD⊥BM;

???? ??? ? ? ???? ???? ? ??? ? 一个法向量 n ? (0,1, 0) , ME ? MD ? ? DB ? (1 ? ? , 2? ,1 ? ? ), ???? ? ?? AM ? (?2, 0, 0) ,设平面 AME 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ), ?2 x ? 0 2? 取 y=1, 得 x ? 0, y ? 1, z ? , 所以 ? 1? ? ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0 ?? 2? m ? (0,1, ), 1? ? ?? ?? ? m?n 5 1 ? ? 因为 cos ? m, n ?? ?? ,求得 ? ? , 所以 E 为 BD 的中点. 2 | m |?| n | 5
(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设 DE ? ? DB ,则平面 AMD 的

20.(Ⅰ)由题可知,直线 l 与椭圆必相交,①当直线斜率不存在时,经检验不合题意,②

? x2 y 2 ?1 ? ? 设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 ? 4 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 ???? ? ???? 4k 2 ? 12 8k 2 2 4k ? 12 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? ? k ( ? ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?5k 2 ? 12 ? ? ?2 ? k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) ; 3 ? 4k 2 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ) , B( x4 , y4 ) ,由(1)可得:

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , x1 ? x2 ?

5

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ] 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 12(k 2 ? 1) ?1 12 ? ? 2 ? ,由 ? 4 消去 y ,并整理得: x ? , 3 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k ? y ? kx ? 48(1 ? k 2 ) 2 2 2 | AB | 3(1 ? k ) ,∴ ? 3 ? 4k 2 ? 4 为定值 | AB |? 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 2 | MN | 12(1 ? k ) 3 ? 4k 3 ? 4k 2

n ? ,由条件可得 f ' ?1? ? ?1 及在 x ? 1 处的切线方程为 ? x ? 1? x 1 2 1 ? ln x ,x∈(0,+∞) x ? y ? 2 ? 0 ,得 m ? 2, n ? ? ,所以 f ? x ? ? 。 2 x ?1 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)在 ? ? e ,1? ? 上单调递减,∴f(x)在 ? ? e ,1? ? 上的最小值为 f(1)=1, 1 1 3 2 2 2 故只需 t ﹣t ﹣2at+2≤1,即 2a ? t ? t ? 对 ?t ?? 1 恒成立,令 m ? t ? ? t ? t ? , 2 , 2? t t 1 7 5 1 易得 m(t)在 ? 2 ,1? 单调递减,[1,2]上单调递增,而 m ? 2 ? ? 4 , m ? 2? ? 2 ,
21.解: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ?
2

m

5 ∴ 2a ? m ? 2? ? 5 ∴a ? 5 ,即 a 的取值范围为 ? 4, 2, ? 4 , ??? 。

1 ln x ? bx ,不妨设 x1>x2>0,∴g(x1)=g(x2)=0, 2 1 1 x ? x2 x1 ∴ ? ln x1 ? bx1 , ? ln x2 ? bx2 ,两式相加相减后作商得: ln x1 ? ln x2 ? 1 ln , 2 2 x1 ? x2 x2 x ? x2 x1 x x ?x 要证 x1 x2 ? e2 ,即证明 lnx1+lnx2>2,即证: 1 ln ? 2 ,需证明 ln 1 ? 2 1 2 x1 ? x2 x2 x2 x1 ? x2 t ?1 t ?1 x 成立,令 1 ? t ? 1 ,于是要证明: ln t ? 2 ,构造函数 ? ? t ? ? ln t ? 2 , t ?1 t ?1 x2
(Ⅲ)∵ g ? x ? ? ?

? t ? 1? ? ?t ? ? 2 t ? t ? 1?
2 '

? 0, 故 ? ?t ? 在 (1, +∞) 上是增函数, ∴ ? ?t ? ? ? ?1? ? 0 , ∴ ln t ? 2

t ?1 , t ?1

故原不等式成立.

22. 解 : ( Ⅰ ) ∵PA 是 切 线 , AB 是 弦 , ∴∠BAP=∠C 又 ∵∠APD=∠CPE , ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE ∴∠ADE=∠AED ( Ⅱ ) 由 (1) 知 ∠BAP=∠C, 又 ∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, PC = AC ,∵AC=AP,

PA

AB

∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180?,∵BC 是圆 O 的直
6

径 ,∴∠BAC=90?∴∠C+∠APC+∠BAP=90?,∴∠C=∠APC=∠BAP=30?, 在

Rt?ABC

中 ,

AC = 3 ,∴ PC = 3 AB PA
2 , 得 ? ?? s 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? 4 y ? 4 ; n i? 2 ? , 1 ?s n i ? 2 2 (Ⅱ) 【方法一】 : 将直线 l 的参数方程代入 x2 ? 4 y ? 4 , 得 t cos ? ? 4t sin ? ? 4 , 设 A, B
23. (Ⅰ) 由? ?

? 3 ,故 ? ? . 6 3 ??? ? ??? ? ? ? ?? 【方法二】 :设 A( ?1 , ? ) ,则 B( ?2 , ? ? ? ) , ? ? ? 0, ? , OA ? 3OB ? 0 ? ?1 ? 3?2 , ? 2? 1 ? 2 2 ? ? ? ? 3? ? ? sin ? ? 2 ,∴ ? ? 6 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ?
两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,由韦达定理及 t1 ? ?3t2 得 tan ? ? 24. 解 ( I ) 不 等 式 x? | x ? 2 c |? 的解集为 2

R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在

R上恒大于或等于2 , ? x? | x ? 2c |? ? ?

在R上的最小值为2c ,? 2c ? 2 ? c ? 1. 所以,实数 c 的取值范围为 ?1 , +?? .
2 2 2 2 2 2

2 x ? 2c, x ? 2c, , ?函数y ? x? | x ? 2c | , x ? 2c, ?2c,

(Ⅱ) 由(1)知 p+q+r=3, 又 p, q, r 是正实数, 所以(p +q +r )(1 +1 +1 )≥(p×1 2 2 2 2 2 +q×1+r×1) =(p+q+r) =9,即 p +q +r ≥3.当且仅当 p ? q ? r ? 1等号成立。

7


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