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高中数学必修五第一章《解三角形》正弦定理、余弦定理的应用


正弦定理、余弦定理的应用
一中(jrx)

2016/3/19

正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R( R为?ABC外接圆的半径) sin A sin B sin C

正弦定理的一些常见变形:
() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin

C (边化角公式)

a b c (2) sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(角化边公式)

(4)a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B
2016/3/19

余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b2 ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2
2 2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc

cos B ? cos C ?
2016/3/19

c2 ? a 2 ? b2 2ca 2 2 2 a ?b ?c 2ab

?

角化边公式

一. 解三角形
正弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两角及任一边(AAS、ASA)。
(2)已知两边和一边的对角(“SSA”)。
C C C

b
A B A

b

a
B

c

B A

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余弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两边及夹角(SAS)。 (2)已知三边(SSS)。
C C

A
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B

A

B

例1、在△ABC中,已知b= 2 , c=1, B=45°,求a,A,C的值.
6? 2 a? , C ? 30? , A ? 105?. 2 已知两边和其中一边对角,求另一边及另两角

注:解决这类问题可有两种方法: (1)正弦定理

(2)利用方程的思想,引出含第三边为未知量
的方程, 间接利用余弦定理解决问题
2016/3/19

解三角形时常用结论
(1)a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b (即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)

A? B ? C (2) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , ? ? 2 2 2 (3) sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C

A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

(4)在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B (即大边对大角,大角对大边)
2016/3/19

(5)正弦定理和余弦定理

二. 判断三角形形状
一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为边与边之间的关系,通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式,从而判断 出三角形的形状;(角化边) 判断三角形的形状的途径有两条: 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为角与角之间三角函数的关系,通过 三角恒等变形以及三角形内角和定理得到 内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角)
2016/3/19

二. 判断三角形形状

(1)a cos A ? b cos B; 等腰三角形或直角三角形
a b c ( 2) ? ? ; 等边三角形 cos A cos B cos C

(3)b ? a cosC

直角三角形
等腰三角形

(4) sin A ? 2sin B cos C
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三. 证明三角形中有关等式

例3.在?ABC中,求证: (1)a ? b cos C ? c cos B; (2)b ? c cos A ? a cos C; (3)c ? a cos B ? b cos A.
2016/3/19

三. 证明三角形中有关等式
例4.求证:在?ABC中, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2(bc cos A ? ac cos B ? ab cos C )
提示:将余弦定理中的三个等式相加。

例5.在?ABC中,角A, B, C分别对应边a, b, c, a ?b sin( A ? B) 求证: 2 ? . c sin C 思考:怎样由右边推出左边?
2 2
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例6.在?ABC中,求证: (1) sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2sin B sin C cos A ; (2) sin B ? sin A ? sin C ? 2sin A sin C cos B ;
2 2 2

(3) sin C ? sin A ? sin B ? 2sin A sin B cos C .
2 2 2

变式:求下列值: (1) sin 20? ? sin 10? ? 3 sin 20? sin10?; 2 2 (2)sin 20? ? cos 80? ? 3 sin 20? cos80?; 2 2 (3)sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos50?.
2 2
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1 4 3 4

1 4

() 1 设2a ? 1, a, 2a ? 1为钝角三角形的三边, 求实数a的取值范围.
2?a?8

(2)已知锐角三角形边长分别为2,3, x, 求 x 的取值范围.
5 ? x ? 13
(3)?ABC的三内角A,B,C所对边长分别为 ? ? a,b,c,设向量p ? (a ? c, b), q ? (b ? a, c ? a), ? ? ? ? 若 p ? q, 则?C的大小为 ____________ 3 .
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已知?ABC中,(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, sin A ? 2sin B cos C, 试确定三角形的形状.

等边三角形
2016/3/19

正余定理掌握住, 三角形中任漫步. 边角转化是关键, 正余合璧很精彩.
2016/3/19


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