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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练10 新人教A版


圆锥曲线(10)
x2 y2 ? =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及其准线的交点从左到右 m m ?1 的顺序为 A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD|| y D (1)求 f(m)的解析式; C (2)求 f(m)的最值
1、如图,已知椭圆
o A B x

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及

半焦距依次为 a、b、c,则 a =m,b =m-1,c =a -b =1 ∴椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0) 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=±

2

2

2

2

2

a2 ,即 x=±m ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1) c

?y ? x ?1 ? 2 2 考虑方程组 ? x 2 ,消去 y 得 (m-1)x +m(x+1) =m(m-1) y2 ?1 ? ? ? m m ?1
整理得 (2m-1)x +2mx+2m-m =0 Δ =4m -4(2m-1)(2m-m )=8m(m-1) ∵2≤m≤5,∴Δ >0 恒成立,xB+xC=
2 2 2 2 2

? 2m 2m ? 1

又∵A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上

∴|AB|=|xB-xA|= 2 =(xB-xA)? 2 ,|CD|= 2 (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= 2 |xB-xA+xD-xC|= 2 |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|? 2 =| 故 f(m)=

2 2m ? 2m |? 2 = (2≤m≤5) 2m 1 ? 2m

2 2m ,m∈[2,5] 2m

2 2m 2 2 ,可知 f(m)= 1 2m 2? m 10 2 4 2 1 1 1 , 又 2- ≤2- ≤2- ,∴f(m)∈[ ] 9 3 2 5 m 4 2 10 2 故 f(m)的最大值为 ,此时 m=2;f(m)的最小值为 ,此时 m=5 9 3 2、舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米,它们准备捕海洋动物,某时 刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的,动物信号
(2)由 f(m)= 的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/秒,其中 g 为重力加速度,若不计空气阻力与舰 3

高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解 取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如 图所示的直角坐标系 由题意可知,A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 )
1

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC| 于是 P 在线段 BC 的中垂线上,易求得 其方程为 3 x-3y+7 3 =0 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x2 y2 ? =1 的右支上 4 5

直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得|PA|=10 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是 舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东 30° 设 发 射 炮 弹 的 仰 角 是 θ , 初 速 度 v0=

y
20 3g , 则 3

P

C

300

B

o

A

x

2v0 ? sin? 10 ? , g v0 ? c o? s
∴sin2θ =

10g v0
2

?

3 ,∴仰角θ =30° 2

3、若椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与直线 l x+y=1 在第一象限内有两个不同的交点,求 a、b 所满足的条 a 2 b2

件,并画出点 P(a,b)的存在区域



?x ? y ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y,整理得 (a +b )x -2a x+a (1-b )=0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a



则椭圆与直线 l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0,1)内有两相异实根,令 f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则有

? ?? ? 4a 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ? ?a 2 ? b 2 ? 1 2 2 ? f (0) ? a (1 ? b ) ? 0 ? ? ?0 ? b ? 1 2 2 2 2 ?? ? f (1) ? b ? a ? a (1 ? b ) ? 0 ? ?0 ? a ? 1 2 a ?0 ? ? ?1 ?a ? b ? 0 ? a 2 ? b2 ?a ? b ? 0 ?

y 1

o

1

x

同时满足上述四个条件的点 P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习 1 已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当△ABC 的面积最大时,m B

等于( B ) A 3

9 4

C

5 2

D

3 2

1 解:由题意知 A(1,1),B(m, m ),C(4,2) 直线 AC 所在方程为 x-3y+2=0,
2

点 B 到该直线的距离为 d=

|m ? 3 m ? 2| 10

S ?ABC ?

1 1 | m ? 3 m ? 2| 1 1 3 1 | AB | ?d ? ? 10 ? ? | m ? 3 m ? 2 |? | ( m ? ) 2 ? | 2 2 2 2 2 4 10

∵m∈(1,4),∴当 m ? 答案 2 A

9 3 时,S△ABC 有最大值,此时 m= 4 2
2

设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v) +( 2 ? u 2 ? 4 B 2 C 8
2 2

9 2 ) 的最小值为(C ) v

D 2 2

解:考虑式子的几何意义,转化为求圆 x +y =2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的距离的最小值 3、A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA= _________

?
2

,则椭圆离心率的范围是

2 <e<1 2

解:设椭圆方程为

x2 y2 ? =1(a>b>0),以 OA 为直径的圆 a2 b2

x2-ax+y2=0,两式联立消 y 得

a 2 ? b2 2 x- a2

ax+b2=0 即 e2x2-ax+b2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理 x2= a?

a a -a,0<x2<a,即 0< 2 -a< 2 e e

2 <e<1 2 2 5 已知抛物线 y=x -1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的 横坐标的取值范围是_________ (-∞,-3 ] ∪ [ 1,+∞) t 2 ? 1 ( s 2 ? 1) ? (t 2 ? 1) ? =-1, t ?1 s?t 2 2 2 即 t +(s-1)t-s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ =(s-1) +4 (s-1)≥0 即 s +2s-3≥0, 解得 s≤-3 或 s≥1
解析 设 P(t,t -1),Q(s,s -1)∵BP⊥PQ,∴
2 2

8

如图, ? ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲

线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之

间 ,
D

DM =λ ,求λ 的取值范围 DN 8 解 (1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,O 为原点,
设 建立平面直角坐标系,? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4 ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1
A

Q

O

B

3

∴曲线 C 的方程为

x2 2 +y =1 5 x2 2 2 2 +y =1,得(1+5k )x +20kx+15=0 5

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入
2 2 2

Δ =(20k) -4?15(1+5k )>0,得 k >

3 5

由图可知

DM x1 ? =λ DN x2

20k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 5k 2 将 x =λ x 代入得 由韦达定理得 ? 1 2 ? x ? x ? 15 1 2 ? 1 ? 5k 2 ?
? 400k 2 2 2 ( 1 ? ? ) x ? ? 2 ? (1 ? 5k 2 ) 2 ? ??x 2 ? 15 2 ? 1 ? 5k 2 ?
两式相除得

y D N x2 M x1 o

x

(1 ? ?) 400k 80 ? ? 2 ? 15(1 ? 5k ) 3(5 ? 1 ) k2 3 1 5 1 20 ? k 2 ? ,? 0 ? 2 ? ,?5 ? 2 ? ,即4 ? 5 3 k k ?5 3
2 2

80 16 ? 1 3 3( 2 ? 5) k
① ②

?4 ?

(1 ? ?) 2 16 DM 1 ? ,? ? ? ? 0,? 解得 ? ? ? 3 ? 3 DN 3

?? ?

x1 DM ? , M 在 D、N 中间,∴λ <1 x2 DN

又∵当 k 不存在时,显然λ =

DM 1 ? (此时直线 l 与 y 轴重合) DN 3

4


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