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求数列通项公式方法大全[1]

时间:2017-05-01


求数列通项公式的常用方法 类型 1、 Sn ? f (an ) 解法:利用 an ? ?
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

S n (n ?

2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。

例 1 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , 并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) , 求 ?a n ? 的通项公式?
? Sn ? 1 ? an , ? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 , ? an ?1 ?
1 1 ?1? an , 又 a1 ? , an ? ? ? . 2 2 ?2?
n

变 式 1. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ?
S n ? n(2n ? 1)an ,求 an

1 , 前 n 项 和 S n 与 an 的 关 系 是 3

变式 2. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) . 求数列 {an } 的通项公式 变式 3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S ,其中 {bn } 是首项为 1, ( n ? 1 ) b n? n 公差为 2 的等差数列. 求数列 {a n } 的通项公式; 变式 4. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,an?1 ? 2Sn (n ? N* ) . 求数列 ?an ? 的通项 an 变式 5. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) . 求数列 {an } 的通项公式; 变式 6. 已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 S n 满足 (1)求证:{an } 是等差数列 和的最小值
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Sn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

(2)若 b n

?

1 a n ? 30 2 ,求 {bn } 的前 n 项

类型 2、 an?1 ? kan ? b 型(其中 k、b 为常数, kb ? 0 , k ? 1 ) 解:设 an?1 ? m ? k (an ? m) 比较系数: km ? m ? b ∴ ∴ ∴ 例1
{a n ?

∴ an?1 ? kan ? km ? m ∴
m? b k ?1

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1

an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1 b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1

a n ? (a1 ?

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

【解析】:利用 (an ? x) ? 2(an?1 ? x) , an ? 2an?1 ? x ,求得 x ? 1 ,
an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,? ?an ?1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,

即 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 , an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ?1 变式 1.已知数 {an} 的递推关系为 a n ?1 ? a n ? 4 ,且 a1 ? 1 求通项 an
2 3

类型 3、 an?1 ? an ? f (n) 型,( f (n) 可求前 n 项和), 利用 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。 例 1.已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N )求通项公式。
*

解:
an ? an?1 ? 2(n ? 1) an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 ? 2 ? 2
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? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
2 ∴ an ? n ? n ? 1

变式 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公 式。 变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ?1,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项 公式。 变式 3. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an-1 (n ? 2) 求数列 ?an ? 的通项 公式. 已知数列 ?a ?满足 a
n

变式 4.

1

? 1,

an ?1 ? an ?

1 n(n ? 1) ,求 ?an ?的通项公式。

类型 4 an?1 ? kan ? an ? b 型 解:可设 an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B) ∴ an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1)B ? A
?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?(k ? 1) B ? A ? b

解得:

A?

b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,

∴ {an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列
n?1 ∴ an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k n?1 ∴ an ? (a1 ? A ? B) ? k ? An ? B

将 A、B 代入即可

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例 1. 已知: a1 ? 1 , n ? 2 时, 解:

an ?

1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设
an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ? ? 1 A ? 1 B ? ?1 2 ? 2 ∴ ?

? A ? ?4 ? 解得: ?B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3
1 { a ? 4 n ? 6 } ∴ n 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列

1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6
n



类型 5 an?1 ? kan ? q 型 ( q ? 0 ) 等式两边同时除以 q 令
Cn ? an qn
n ?1

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 q q q 得q



C n ?1 ?

k 1 Cn ? q q

∴ {Cn } 可归为 an?1 ? kan ? b 型

n a 例 1. 已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 n 。

a n a n ?1 ? n ?1 ? 1 n 由 an ? 2an?1 ? 2 得 2 2
n

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{

an an 1 } ? ? (n ? 1) n 2 成等差数列, 2 n 2

n n?1 ∴ an ? n ? 2 ? 2

类型 6

an?1 ? Aan ? Bqn ( A、B、q 为常数,下同)型,

n ?1 n a ? ? ? q ? A ( a ? ? ? q ) 的形式. 可化为 n ?1 n

例 1.在数列 ?an ?中, a1

? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,求通项公式 an

解:原递推式可化为:

a ? ? ? 3n ? 2(a ? ? ? 3n ? 1) n ?1 n
比 较 系 数 得

① 式 即 是 :

? ? ?4

, .



an ?1 ? 4 ? 3n ? 2(a n ? 4 ? 3n ?1 )
则 数 列

{an ? 4 ? 3n?1}

是 一 个 等 比 数 列 , 其 首 项

a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.
n?1 n?1 a ? 4 ? 3 ? ? 5 ? 2 ∴ n

即 an

? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .

变式 1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项 公式。 变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 , 求数列 ?an ? 的通项公 式。 变式 3. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1, 求数列 {an } 的通项
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公式。 类型 7、 an?1 ? f (n) ? an 型。 (1)若 f (n) 是常数时,可归为等比数列。 (2)若 f (n) 可求积,利用恒等式 an ? a1 项公式的方法称为累乘法。 例 1:已知:
a1 ? 1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通 a1 a2 an?1

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解: an?1 an?2 an?3 a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1



变式 1. 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 变式 2. (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足
a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
a1 ? a n ?1 ? an 3, n ? 1 ,求 an 。 变式 3. 已知数列 ?an ? 满足 2

n

变式 4.

已知 {an } 中,

a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

类型 8、 an ?1 ?

can (c ? 0, d ? 0) an ? d
1 d 1 1 ? ? 的形式的方法叫倒数变换. an ?1 c an c
an ,求数列 ?an ? 的通项 2an ? 1

取倒数变成 例 1

已知数列 ?an ? (n ? N * ) 中, a1 ? 1 , an?1 ?

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公式. 【 解 析 】 : 将
an ?1 ? an 2an ? 1









:

?1? 1 1 1 1 1 ? 2 ? ,? ? ? 2 ,? ? ? 是以 ? 1 为首项,公差为 2 的等差 a1 an?1 an an?1 an ? an ?

数列.

1 1 . ? 1 ? 2( n ? 1) ,? an ? 2n ? 1 an

例 2 已知 {an } 中, a1 ? 4 , 解:
an?1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )求 an 。

4 2(an ? 2) ? an an

∴ an?1 ? 2
1

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )
? 1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2

∴ a n?1 ? 2 即

bn ?1 ? bn ?

1 ( n ? 1) 2

∴ {bn } 是等差数列
1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ an ? 2 a1 ? 2
an ? 2 ?2 n

例 3. 已知数列 {an} 满足: a1= , 且 an= 数列{an}的通项公式; 解:(1)将条件变为:1- 等比数列, 其首项为 1-
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3 2

3na n-1 (n ? 2,n ? N?) 求 2a n-1+n- 1

n n 1 n-1 ) = (1- ,因此{1- }为一个 an an 3 a n-1

1 1 1 1 n = , 公比 , 从而 1- = n , 据此得 a n 3 3 3 a1 an
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n ? 3n (n?1) 3n-1

变式 1.已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 a n ?1 ? 项公式。 变式 2.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 变式 3.在数列{ an }中, a1 =1, 变式 4. 数列 {an } 中,
a n?1 ?

an ( n ? N ),,求数列的通 an ? 1

2an , (n ? N ? ) an ? 2

(n ? 1)an ?1 ? nan ,求 an 的表达式。

2 n?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。

2 2S n an ? 2S n ? 1 S a { a } a ? 1 变式 5. 已知 n 中, 1 ,其前 n 项和 n 与 n 满足

(n ? 2)
1 } S n (1)求证: 为等差数列 {

(2)求 {an } 的通项公式

类型 9、 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)。 (特征根法): 对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数 列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,
n?1 (1)当 x1 ? x2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,其中 A,B 由 n?1 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得

到关于 A、B 的方程组);
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( 2 )当 x1 ? x2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A, B 由
a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到

关于 A、B 的方程组)。 3、 a n ? 2

? A ? an ?1 ? B ? an 型,可化为

an ? 2 ? ?an ?1 ? ( A ? ? ) ? (an ?1 ? ?an ) 的形式。
例 11 在 数 列 { an } 中 , a1 ? ?1, a2 ? 2 , 当 ① 求通项公式 an .

n? N



an?2 ? 5an?1 ? 6an
解:①式可化为:

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得 ? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:

an ? 2 ? 2an ?1 ? 3(an ?1 ? 2an )
则 {an?1 公比为 3. ∴ an?1

? 2an } 是一个等比数列, 首项 a2 ? 2a1 =2-2 (-1) =4,

? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有:

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
例 1 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求 an 解(特征根法):的特征方程是: 3x 2 ? 5x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ? ,
2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3 2 3

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?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?

故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n?1
2 3 1 3

2 3

变式 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n? 2 ? a n?1 ? an ,求 an 。
key : an ? 7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3

变式 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

r 类型 10 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用 待定系数法求解。
2 (a ? 0) ,求数列 ?an ? 例 1 已知数列{ an }中,a1 ? 1, a n ?1 ? ? a n 的通项公式 . 2 解:由 a n ?1 ? ? a n 两边取对数得 lg a n?1 ? 2 lg a n ? lg ,

1 a

1 a

1 a

a n ? a ( ) 2 n ?1 令 bn ? lg an , 则 bn ?1 ? 2bn ? lg , 再利用待定系数法解得:

1 a

1 a

变式 1. 【2002 年上海高考题】若数列{ an }中, a 1 =3 且 an ?1 ? an (n 是正整数),则它的通项公式是 a n =

2

类型 11 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。 例 1 若数列 ?an ? 满足 an?1
1 ? 2 a , ( 0 ? a ? ) n n ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a20 的值为 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

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___________。 变式【2005 湖南文 5】已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? 则 a 20 =() A.0 B. ? 3 C. 3 D.
3 2

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,

类型 12 平方(开方)法 【例 1】 若数列{ an }中,a 1 =2 且 an ? 3 ? an?1 (n
2

? 2 ),

求它的通项公式是 an . 解 将 an
2 ? 3 ? an ?1

2 两边平方整理得 an

2 ? an ?1 ? 3 。数

2 列 { an } 是 以

a12

=4 为 首 项 , 3 为 公 差 的 等 差 数 列 。 。 因 为

2 2 an ? a1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1

an

> 0 , 所 以

an ? 3n ? 1 。

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