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2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法


事情总会有结果! ! !

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
学习目标: 1.理解变号零点的概念。 2.理解用二分法求函数零点的步骤及原理。 3.了解二分法的产生过程,掌握二分法求方程近似解的过程和方法。 4.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。 知识回顾: 1.函数零点的概念 2.函数零点的性质 【概念

探究】 阅读课本 72 页完成下列问题。 1 .一个函数 y ? f ( x) ,在区间 ?a, b? 上至少有一个零点的条件是 <0,即存在一点 与 。 异号,即 有

x0 ? (a, b) 使

,这样的零点常称作 。

时曲线通过零点时不变号,这样的零点称作 2.能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系? 阅读课本 73 页完成下列问题。 3.求函数变号零点的近似值的一种计算方法是 上,求它在 D 上的一个变号零点

其定义是:已知函数 y ? f ( x) 定义在区间 D 。

x0 的近似值 x ,使它满足给定的

4.用二分法求函数零点的一般步骤是什么? 典型例题分析:
3 例:求 2 近似值(精确到0.01)
3 3 3 3 例题解析:设x= 2 ,则 x =2,即 x -2=0,令f(x)= x -2,则函数f(x)零

点的近似值就是得近似值,以下用二分法求其零点. 由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用 二分法逐次计算.列表如下: 端点(中点)坐 标 计算中点的函数值 取区间

-1-

事情总会有结果! ! !

f(1)=-1 <0

f(2)=6>0

[1,2] [1,1.5] [ ,1.5] ] ]

x =1.5
1

f( f( f( f(

x1 )=1.375>0 x2 )=-0.0469<0 x3 )=0.5996>0 x4 )=0.2610>0 x5 )=0.1033>0 x6 )=0.0273>0 x7 )=-0.01<0 x8 )<0

x x

2

=1. 25

x =1. 375
3

[1.25, [1.25,

4

=1.31

25

x =1. 281
5

[1.25,1.281125]

f(

25

x
x

[1.25,1.26562]

6

=1.26

f(

562 [1.25781,1.26562]
7

=1.25

f(

781

x =1. 261
8

[1. 25781,



f(

71 由上表的计算可知,区间[1.25781,1.26171]的左右端点按照精确度要求的 近似值都是 ,即为所求的近似值. 评析:学会用二分法求近似值的主要步骤. 思考:如何用二分法求 3 3 的近似值(精确到 0.01) 当堂检测: 1. 若函数 f ( x) 的图象在区间 ?a, b? 是连续不间断的, 且 f (a) ? f (b) ? 0 , 则这个函数在该区间上 ( ) A.只有 1 个零点 B. 有 2 个零点 C.不一定有零点 ) D.至少有一个有零点 y

2. 函数 f ( x) 的图象如图则函数 f ( x) 的变号零点个数为( A.1 B.2 C.3
3

D.4 )

0 ③

x

3.用二分法求函数 f ( x) ? x ? 5 的零点可以取的初始区间是(

-2-

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A. ?? 2,1?

B. ?? 1,0?

C. ?0,1?

D. ?1,2?

4. 若函数 f ( x) 的图象在区间 ?1,2? 是连续不间断的,由下图的表判断:方程 f ( x) ? 0 的一个近似解 为 X 1 -2 (精确到 0.1) 1.25 -0.984 1.375 -0.260 1.4065 -0.052 1.438 0.165 1.5 0.625 1.625 1.982 1.75 2.645 1.875 4.35 2 6

f ( x)

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课后作业
1. 若函数 f ( x) 的图象是连续不间断的,且 f (0) ? 0, f (1) ? f (2) ? f (4) ? 0 ,则下列命题正确的是 ( ) A.函数 f ( x) 在区间 ?0,1? 内有零点 C.函数 f ( x) 在区间 ?0,2? 内有零点
3 2

B.函数 f ( x) 在区间 ?1,2? 内有零点 D.函数 f ( x) 在区间 ?0,4? 内有零点 )

2. 方程 x ? 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 在区间 ?? 2,4? 上的根必定属于区间(

A. (?2,1)

5 ( ,4) B. 2

(1, ) 4 C.

?

7 5 ( , ) D. 4 2

3. 下图 4 个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是 y y y y 1 0 ①
2

x

0 ②

x

0 ③

x

-1 ④

x

4. 函数f(x)=- x +4x-4在区间[1,3]上(



A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D. 有无数个零点 5.函数 y ? x 与 y ? A. (?1,0)

x ? 1 图象交点横坐标的大致区间为(
B. (0,1) C. (1,2)
-3-



D. (2,3)

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6.方程 x ? 2 x ? 3x ? 6 ? 0 在区间[-2,4]上的根必定属于区间(
3 2



A. [-2,1] B. [2.5,4] 7. 函数 f(x)= f ( x) ?

C. [1, )

7 7 ] D. [ ,2.5] 4 4

x ?x

3

2

? x ? 1 在[0,2]上(

A.有 3 个零点 B.有 2 个零点 C.有 1 个零点 D.没有个零点 8. 9.函数 f(x)=3ax-2a+1 在[-1,1]上存在一个零点,则 a 的取值范围是( ) A.a ?

1 5

B.a ? ?1
4

C. ? 1 ? a ?

1 5

D. .a ?

1 或 a ? ?1 5

10. 试说明:方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 在[-1, 2] 上至少有两个实根。

-4-


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