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2016湖北省高考数学考试试卷 文

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2016 湖北省高考数学考试 试卷
(文)试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1、已知两个集合 A ? x ? R y ? 1 ? x 2 , B ? ? x | A. {x | ?1 ? x ? 1} 2、设复数 z ? A .1 B. {x | ?1 ? x ? 1} )

?

?

? ?

x ?1 ? ? 0? 则 A ? B ? ( 1? x ? C. {?1,1} D. ?



2 ,则 z ? z ? ( ?1? i
B. 2

C. 2

D. 4

3 、已知 ? 9, a1 , a 2 ,?1 成等差数列, ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列 ,则 b2 ?a1 ? a 2 ? 等于 ( ) A.30 B. ?30 C.±30 D.15

1 1 4、设函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) (| ? |? ? ) 的图象关于原点对称,则角 ? = 2 2 2
( ) A. ?

?
6

B.

? 6

C. ?

?
3

D.

? 3
)

? y ? x, ? 5、已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( ? x ? 2, ?
A.

1 2

B.2

C.

3 2

D.

4 3

6、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 的 x 的值是( A.2 ) B.
9 2

C.

3 2

D.3

7、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? [ 2, 2] ,则一条渐近线与 x 轴所 a 2 b2


成角的取值范围是(

A. [

? ?

, ] 6 4
2

B. [

? ?

, ] 6 3

C. [

? ?

, ] 4 3

D. [

? ?

, ] 3 2

8、在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积大于 20cm 的概率为( A. ) C.

1 6

B.

1 3

2 3

D.

4 5

9、执行右图所示的程序框图(其中[ x] 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值为( ) A.7 B.6 C.5
2

D.4
x

10、当 a>0 时,函数 f(x)=(x +2ax)e 的图象大致是(

)

11、已知等腰 ?OAB 中, OA ? OB ? 2 ,且 OA ? OB ? 值范围是( ) B. ? ?2, 4 ? C. ? ?4, 2 ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? 3 ??? AB ,那么 OA ? OB 的取 3

A. ? ?2, 4 ?

D. ? ?4, 2?

12、已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g′(x),满足 g′(x)-g(x)<0,若函数 g(x) 的图象关于直线 x=2 对称,且 g(4)=1,则不等式 A.(-2,+≦) B.(0,+≦)

g(x)
e
x

>1 的解集为(

) D.(-≦,2)

C.(-≦,0)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13、在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。分别为 角错误!未找到引用源。的对应边) ,则错误!未找到引用源。的形状为 14、正四面体的棱长为 4 6 ,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 15、抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,点 O 是坐标原点,过点 O、F 的圆与抛物线
2



C 的准线相切,且该圆的面积为 36π,则抛物线方程为________.
16、直线 y=a 分别与曲线 y =2(x+1),y=x+ln x 交于 A,B,则|AB|的最小值为 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17、 (本小题满分 12 分) 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a4 ? 9, a3 ? a7 ? 22 . (I)、求数列 {an } 的通项公式 an ; (II)、求证:

1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? S1 S 2 S3 Sn 4

18、 (本小题满分 12 分) 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究,对于高二年 级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩,按优秀和不优秀分类得结果:数学和物理都优秀 的有 60 人, 数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人, 物理成绩优秀但数学不优秀的有 100 人. (I)、能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关 系? (II)、4 名成员随机分两组每组 2 人,一组负责收集成绩,另一组负责数据处理,求学生 甲分到负责收集成绩组且学生乙分到负责数据处理组的概率. 附: P(K2≥ 0.01 0.00 K2= 0.001 k0) 0 5 2 n(ad-bc) 6.63 7.87 10.82 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) k0 5 9 8

19、 (本小题满分 12 分) 如图,已知 ?F ? 平面 ??CD ,四边形 ???F 为矩形,四边形 ??CD 为直角梯形,

?D?? ? 90? , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 .
(I)、求证: ?C ? 平面 ?C? ; (II)、求三棱锥 ? ? ?CF 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)设椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率与双曲线 a2 b2

x 2 ? y 2 ? 1 的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为 4.
(I)、求椭圆 M 的方程; (II)、 若直线 y ? 2 x ? m 交椭圆 M 于 A, B 两点,P(1, 2 ) 为椭圆 M 上一点, 求 ?PAB 面 积的最大值.

21、 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. (I)、当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (II)、讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3 (III)、若对任意 b>a>0,

m x

x

f(b)-f(a) <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何 如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上两点,AC 与 BD 相交于点 E,GC,GD 是圆 O 的切 线,点 F 在 DG 的延长线上,且 DG=GF。 求证:(I)、D、E、C、F 四点共圆; (II)、GE⊥AB
A O E B D G C F

23、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆 C 的方程为ρ=2acos θ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为?
?x=3t+1, ? ? ?y=4t+3

(t 为参数).

(I)、求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (II)、若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f (x)=|x-3|+|x-4|. (I)、解不等式 f (x)≤2; (II)、若存在实数 x 满足 f (x)≤ax-1,试求实数 a 的取值范围.

期末考试数学(文)参考答案 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B 3 2 11 A 12 C 16.y =16x
2

13.直角三角形

14. 144?

15.

17.解:(I)、≧等差数列 {an } , a4 ? 9 , a3 ? a7 ? 22 ,

?a1 ? 3d ? 9 ?a ? 3 ?? 1 ? an ? 2n ? 1(n ? N * ) ; ?2a1 ? 8d ? 22 ?d ? 2 (a ? an ) ? n (3 ? 2n ? 1) ? n (II)、由(I)可知, S n ? 1 ? ? n(n ? 2) , 2 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), S n n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? (1 ? ? ? ? ??? ? ) S1 S 2 S3 Sn 2 3 2 4 n n +2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4
?? 18. 解:(I)、由题意可得列联表: 物理优秀 数学优秀 60 物理不优秀 140 总计 160

数学不优秀 总计

100 200

500 600
2

640 800

800(60×500-140×100) 因为 k= =16.667>10.828. 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关. (II)、设其他学生为丙和丁,4 人分组的情况如下表 小组 1 2 3 4 5 6 收集成绩 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 数据处理 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总共有 6 种,学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占 2 种, 2 1 所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是 P= = . 6 3 19. 解:(I)、过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M ,因为 AD ? DC , 所以四边形 ADCM 为矩形. 所以 AM ? MB ? 2 , 又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
2 2 2 所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC ;因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE ,

所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC ,

又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B

所以 AC ? 平面 BCE . (II)、因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM , 又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF ,

VE ? BCF

AB ? 平面 ABEF , AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF . 1 1 1 1 8 VE ? BCF ?V ? VC ? BEF ? S ?BEF ?CCM ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ? BEF ? 3 3 2 6 3 c 2 20.解:(I)、双曲线的离心率为 2 ,则椭圆的离心率 e ? ? , a 2 c 2 由 2a ? 4 , ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ,得 a ? 2 , c ? 2 , b ? 2 , a 2 y 2 x2 故椭圆 M 的方程为 ? ?1 4 2 ? y ? 2 x ? m, ? 2 2 (II)、联立方程 ? x 2 y 2 得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 , ? 1, ? ? ? 2 4
由 ? ? (2 2m) 2 ? 16(m 2 ? 4) ? 0 ,得 ?2 2 ? m ? 2 2 .

? 2 x1 ? x2 ? ? m, ? ? 2 2 且? 所以 AB ? 1 ? 2 x1 ? x2 ? 3 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 2 ? x x ? m ?4, 1 2 ? ? 4

m 1 2 m2 . 又 P 到直线 AB 的距离为 d ? , m ? m2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 2 3 1 1 m2 m 1 m2 所以 S ?PAB ? AB d ? 3? 4? ? ? (4 ? ) ? m 2 2 2 2 2 3 2
= 3?

m 2 ? (8 ? m 2 ) ? 2. 2 2 2 2 2 当且仅当 m ? ?2 ? (?2 2, 2 2) 时取等号,所以 ( S ?PAB ) max ? 2 .
=

1

m 2 (8 ? m 2 ) ?

1

?

e x-e 21.解:(I)、由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 ,

x

x

?当 x∈(0,e),f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减, 当 x∈(e,+≦),f′(x)>0,f(x)在(e,+≦)上单调递增, e ?当 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2,?f(x)的极小值为 2. e x 1 m x 1 3 (II)、由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0),令 g(x)=0,得 m=- x +x(x>0). 3 x x 3 3 1 3 2 设φ(x)=- x +x(x≥0),则φ′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1), 3 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+≦)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+≦)上单调递减. ?x=1 是φ(x)的唯一极值点, 且是极大值点, 因此 x=1 也是φ(x)的最大值点, 2 ?φ(x)的最大值为φ(1)= . 又φ(0)=0, 结合 y=φ(x)的图象(如图), 可知 3

2 2 ①当 m> 时,函数 g(x)无零点;②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点;④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 3 2 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点;当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 f(b)-g(a) (III)、 对任意的 b>a>0, <1 恒成立, 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立. (*) b-a 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0),?(*)等价于 h(x)在(0,+≦)上单调递减. 2 1 m ? 1? 1 2 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+≦)上恒成立,得 m≥-x +x=-?x- ? + (x>0)恒成立, x x ? 2? 4 1 1 1? ? ?m≥ ?对m= ,h′(x)=0仅在x= 时成立?,?m 的取值范围是 F G 4 2 4? ? D ?1,+≦?. ?4 ? C ? ? 3 E 22.解:(I)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 2 1 A B 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3, O H ∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180?-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2. 又因为∠DEC=∠AEB=180?-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180?,所以 D,E,C,F 四点共圆. (II)、延长 GE 交 AB 于 H.因为 GD=GC=GF, 所以点 G 是经过 D, E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3, 所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB. x-1 =t, 3 ?x=1+3t, ? x-1 y-3 23.解 (I)由? 得 因此 = , 3 4 ?y=3+4t, y-3 ? =t. 4 所以直线 l 的普通方程为 4x-3y+5=0. 2 2 2 2 由ρ=2acosθ? ρ =2aρcosθ,又ρ =x +y , ? cos ? ? x 2 2 2 所以,圆 C 的标准方程为(x-a) +y =a . |4a+5| (II)、因为直线 l 与圆 C 恒有公共点,所以 2 ≤|a|, 2 4 +(-3) 2 两边平方得 9a -40a-25≥0,?(9a+5)(a-5)≥0, 5 所以 a 的取值范围是 a≤- 或 a≥5. 9

m x

? ? ? ? ?

?7-2x,x<3, ? 3≤x≤4, 作函 24.解:(I)f (x)=|x-3|+|x-4|=?1, ?2x-7,x>4. ?
数 y=f (x)的图象,它与直线 y=2 交点的横坐标为 图象知不等式 f (x)≤2 的解集为[ 5 9 和 ,由 2 2 5 9 , ]. 2 2 (II)、函数 y=ax-1 的图象是过点(0,-1)的直线. 当且仅当函数 y=f (x)与直线 y=ax-1 有公共点时, 存在题设的 x. 1 由图象知,a 取值范围为(-≦,-2)∪[ ,+≦). 2


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