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2011年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理科)及答案


2011 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字

笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 圆台侧面积公式: S ? ? ( r ? r ?) l .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? ? 1, 0, a ? , B ? ? x 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是 A. ( ? ? , 0 ) B. (0,1) C. ?1? D. (1, ?? ) 2.已知向量 a ? (1,1), 2 a ? b ? (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角的余弦值为 A.
3 10 10

B. ?

3 10

10

C.

2 2

D. ?

2 2

3.在等差数列 ? a n ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 a k ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ,则 k ? A. 2 2 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 5 4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 ... A.6 C. 3 5 ? B. 6 ? D. 6 5 ?
第 4 题图

5.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? ( a ? 2i)(1+i) 在复平面内对应的点为 M ,则“ a ? ? ”是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.函数 y ? co s ( x ? A.
?
4

?
?

) ? sin ( x ?

?

?
?

) 的最小正周期为

B.

?
2

C. ?

D. 2 ?

7.已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

,则对任意 x1 , x 2 ? R ,若 0 ? x1 ? x 2 ,下列不等

式成立的是 A. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 8.已知双曲线
x a
2 2 2 2

B. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0
2

?

y b

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线

的一个交点为 P ,若 P F ? 5 ,则双曲线的渐近线方程为 A. x ?
3y ? 0

B. 3 x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0

D. 2 x ? y ? 0

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图). s 1 , s 2 分别表示甲、乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差, 则 s1
s 2 .(填“ ? ”“ ? ”或“=” 、 ).
第 9 题图

10. 如果 ( x +

1 x

) 展开式中,第四项与第六项的系数相等,

n

则n = ,展开式中的常数项的值等于 . 11. 已知直线 x ? 2 y ? 2 与 x 轴, y 轴分别交于 A , B 两点, 若动点 P ( a , b ) 在线段 A B 上,则 a b 的最大值为__________. 12. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 13.若点 P 在直线 l 1 : x ? y ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l 2 与曲线 C : ( x ? 5) ? y ? 16 只有一个公共点 M ,
2 2



则 P M 的最小值为__________.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

第 12 题图

14. (坐标系与参数方程)在平 面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3 ) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 15. (几何证明选讲)如图,在 ? ABC 中, DE // BC ,
EF // CD ,若 B C ? 3, D E ? 2, D F ? 1 ,



则 A B 的长为___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 12 分)
? 在 ? A B C 中,已知 A ? 45 , co s B ?

第 15 题图

4 5

.

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 B C ? 1 0, D 为 A B 的中点,求 C D 的长.

17. (本题满分 14 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25, 55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从 [40, 50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验 活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的 分布列和期望 E X .

18. (本题满分 12 分) 设 数 列 ? a n ? 是 首 项 为 a? ( a? ? ? ) , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且
S1 , S 2, S 3 成等差数列.

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 b n ?
an 2
n

的前 n 项和为 T n ,求 T n .

19. (本题满分 14 分) 如图,已知 E , F 分别是正方形 A B C D 边 B C 、 C D 的中点, E F 与 A C 交于点 O , P A 、 N C 都垂直于平面 A B C D ,且 P A ? A B ? 4 , N C ? 2 , M 是线段 P A 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 P A C ? 平面 N E F ; (Ⅱ)若 P C // 平面 M E F ,试求 P M : M A 的值; (Ⅲ)当 M 是 P A 中点时, 求二面角 M ? E F ? N 的余弦值.

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

第 19 题图

?

y

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e ?

3

,以原点为圆心,椭圆短半轴

b 3 长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A , B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上

的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若 P 与 A , B 均不重合,设直线 P A 与 P B 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,证明: k 1 ?k 2 为定 值; (Ⅲ) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若 说明轨迹是什么曲线.
OP OM ? ? ,求点 M 的轨迹方程,并

21. (本题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? a x ? b x ? cx ? a , b , c ? R ? .
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 ( ? 1, 2 ) 且在点 ? 1 , f ? 1? ? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数
f

? x ? 的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间 ? ? 3, 2 ? 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? t ,求实数 t 的最小值;

(Ⅲ)当 ? 1 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 1 ,试求 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的表 达式.

2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 B 2 C
1 2

3 A
1 2

4 C

5 A

6 C

7 D
?
3

8 B
9 2

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.? 10.8,70 11. 12.? 13.4

14.( 2, 2 k ? ?

)

15.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解 : (
1 ? co s B ?
2


3 5



? co s B ?

4 5

,



B ? (0 ,180 )

?

?



∴ sin B ?

.-------------------------------2 分
?

cos C ? cos(180 ? A ? B ) ? cos(135 ? B )

?

------------------------------- 3 分
? co s 1 3 5 co s B ? sin 1 3 5 sin B ? ?
? ?

2 2

?

4 5

?

2 3 2 ? ? ? . 2 5 10

---------------------) 可 得

---------6 分 ( Ⅱ









sin C ?

1 ? co s B ?
2

1 ? (?

2 10

) ?
2

7 10

2 .

-------------------------------8 分 , 即
10 2 2 ? AB 7 10 2













BC sin A

?

AB sin C







A B ? 14 .

-------------------------------10 分
2 2 2

在 ? B C D 中, B D ? 7 , C D ? 7 ? 1 0 ? 2 ? 7 ? 1 0 ? 所
CD ? 37 .

4 5

? 37 ,

以 ------------------------------

-12 分 17. (本题满分 14 分) 解 : Ⅰ ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 , 所 以 高 为 (
0 .3 5 ? 0 .0 6 .频率直方图如下:

-------------------------------2 分 第一组的人数为
120 0 .6 ? 2 0 0 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? 200 0 .2 195 300 ? 0 .6 5 . ? 1000 .

由题可知, 第二组的频率为 0. 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 3, 所以 p ?

第 四 组 的 频 率 为 0.03 ? 5 ? 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所 以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . -------------------------------5 分 ) ( Ⅱ ) 因 为 [ 4 0 , 4 5 岁 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 与 [ 4 5, 5 0 ) 岁 年 龄 段 的 “ 低 碳 族 ” 的 比 值 为
60 : 30 ? 2 : 1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [ 4 0, 4 5) 岁中有 12 人, [ 4 5, 5 0 ) 岁中有 6

人. -------------------------------6 分 随机变量 X 服从超几何分布.
P ( X ? 0) ? C12 C 6 C18
3 0 3

?

5 204

, P ( X ? 1) ?

C12 C 6 C18
3

1

2

?

15 68



P ( X ? 2) ?

C12 C 6 C18
3

2

1

?

33 68



P ( X ? 3) ?

C12 C 6 C18
3

3

0

?

55 204



-------------------------------10 分

所以随机变量 X 的分布列为
X
P

0
5 204

1
15 68

2
33 68

3
55 204


EX ? 0 ? 5 204 ? 1? 15


? 2? 33 68 ? 3? 55 204 68


? 2.

-------------------------------12 分 期 望 -------------------------------14

分 18. (本题满分 12 分) 解 :( Ⅰ ) ∵ S 1 ? a1 , S 2 ? a1 ? a 2 ? 2 a1 ? 2 , S 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? 3 a1 ? 6 , -------------------------------2 分 由 S 1 , S 2 , S 3 成等差数列得, 2 S 2 ? 解 得
a1 ? 1

S1 ?

S 3 ,即 2 2 a1 ? 2 ?

a1 ?

3 a1 ? 6 ,





an ? 2n ? 1



---------------------------------------4 分 ( Ⅱ )
bn ? an 2
n

?

2n ? 1 2 1
n

1 n ? ( 2 n ? 1)( ) 2



---------------------------------------5 分 法 1: T n ? 1 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ( ) ,
1 2 3 n

1

1

1


n? ) (?2 1? 1 n 1 ), ( 2 )

2 1 1 1 2 ① ? 得 , Tn ? 1 ? ( ) ? 2 2 2

2

? 3

2 1 3 ( ? ) 2

2

?5

1 4 ( ?) ? ? 2

1 n n ? 2 ? 3 ) ?( ( 2

② ① ? ②得, T n ?
2
1 ? 2? 2 1? (1 ? 1 2 1 2
n

1

1

1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ? ? 2 ? ( ) ? ( 2 n ? 1) ? ( ) 2 2 2 2 2

) ?

1

1 n ?1 3 1 2n ? 1 ? ( 2 n ? 1) ? ( ) ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2



---------------------------------------10 分 ∴ Tn ? 3 ?
4 2
n

?

2n ? 1 2
n

? 3?

2n ? 3 2 1 2
n ?1 n



------------------------------

---------12 分 法 2: b n ?
an 2
n

?

2n ? 1 2
n

? n?

?

1 2
n



设 Fn ?

?

n

k 2
n

k ?1

,记 f ( x ) ?

k ?1

? ( kx
k ?1

n

k ?1

),

则 f (x) ?

?

?x

k

?

?

k ?1

n ?1 ? ? n x?x ? k ? ??? x ? ? ? ? k ?1 ? ? 1? x

? n ? 1 ? (n ? 1 ? nx) x ? , ? n (1 ? x ) ?
n ?1



?1? Fn ? 4 ? ( n ? 2 ) ? ? ?2?



---------------------------------------10 分 故
1 Tn ? Fn ? 2 1? (1 ? 1 2 1 2
n

) ? 4 ? (n ? 2) ? 2

1
n ?1

?1?

1 2
n

? 3?

2n ? 3 2
n



------------------------------

---------12 分 19. (本题满分 14 分) 解:法 1: (Ⅰ)连结 B D , ∵ P A ? 平面 A B C D , B D ? 平面 A B C D ,∴ P A ? B D , 又∵ B D ? A C , A C ? P A ? A , ∴ B D ? 平面 P A C , 又∵ E , F 分别是 B C 、 C D 的中点,∴ E F // B D , ∴ E F ? 平面 P A C ,又 E F ? 平面 N E F , ∴平面 P A C ? 平面 N E F ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ)连结 O M , ∵ P C // 平面 M E F ,平面 P A C ? 平面 M E F ? O M , ∴ P C // O M , ∴
PM PA ? OC AC ? 1 4

,故 P M : M A ? 1 : 3

-------------------------------8 分

(Ⅲ)∵ E F ? 平面 P A C , O M ? 平面 P A C ,∴ E F ? O M , 在等腰三角形 N E F 中,点 O 为 E F 的中点,∴ N O ? E F , M ? EF ? N ∴ ?MON 为 所 求 二 面 角 ---------------------------------------10 分 ∵点 M 是 P A 的中点,∴ A M ? N C ? 2 , 的 平 面 角 ,

所 以 在 矩 形 M N C A , 可 求 得 M N ? AC ? 4 2 , NO ? 中 --------------------12 分

6 , MO ?

22 ,

在 ? M O N 中,由余弦定理可求得 co s ? M O N ? ∴
? 33 33

MO ? ON
2

2

? MN

2

2 ? MO ?ON

? ?

33 33

, 值 为

二 .





M ? EF ? N







---------------------------------------14 分

法 2: (Ⅰ)同法 1; (Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则 P (0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , E (4, 2, 0) , F ( 2, 4, 0 ) , ∴ P C ? ( 4, 4, ? 4 ) , E F ? ( ? 2, 2, 0 ) , 设点 M 的坐标为 (0, 0, m ) ,平面 M E F 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 M E ? (4, 2, ? m ) ,
? ???? ?n ? ME ? 0 ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ? 所以 ? ? ???? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , m ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? EF ? 0 ?

??? ?

??? ?

?

????

故 n ? (1,1,

?

6 m

),

∵ P C // 平面 M E F ,∴ P C ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ?

??? ? ?

24 m

? 0 ,解得 m ? 3 ,

故 AM ? 3 , 即 点 M 为 线 段 P A 上 靠 近 P 的 四 等 分 点 ; 故 PM : M A ? 1 : 3 --------------------------8 分 (Ⅲ) N ( 4, 4, 2 ) ,则 E N ? (0, 2, 2) ,设平面 N E F 的法向量为 m ? ( x , y , z ) ,
?? ???? ?m ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ???? ,即 ? ,令 x ? 1 , ??2 x ? 2 y ? 0 ?m ? EF ? 0 ?

????

??

则 y ? 1 , z ? ? 1 ,即 m ? (1,1, ? 1) , 当 M 是 P A 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1, 3) ,
?? ? 1?1? 3 3? 11 33 33
33 33
?

??

∴ co s ? m , n ? ?

? ?



∴二面角 M ? E F ? N 的余弦值为 ? 20. (本题满分 14 分)

.-------14 分

解: (Ⅰ)由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,
2 2 2

∵ 直 线

x? y?2?0

与 圆 相 切 , ∴

d ?

2 2

?b

, 即

b ?

2



---------------------------------------1 分

又e ? 所
x
2

c a

?

3 3

,即 a ? 以

3 c , a ? b ? c ,解得 a ?
2 2 2

3 ,c ? 1 ,











?

y

2

? 1.

---------------------------------------3 分
x0 3
2

3

2 ? y0 2
2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ) ( y 0 ?0) , A ( ? 3 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) ,则 则
k1 ? y0 x0 ?
2

? 1 ,即 y 0 ? 2 ?
2

2 3

x0 ,

2


3
2

k2 ?

y0 x0 ? 3



---------------------------------------4 分 即 k1 ? k 2 ? ∴
? 2 3

y0
2

2

2? ?
2

x0 ? 3

3 ? 3 2 x0 ? 3 x0 ? 3

x0

2

(3 ? x 0 )
2

? ?

2 3

, 定 值

k 1 ?k 2





---------------------------------------6 分

(Ⅲ)设 M ( x , y ) ,其中 x ? [ ? 3 , 3 ] .
OP OM
2

x ?2?
2

2

x

2

由已知 整
x ? [?

2

? ? 及点 P 在椭圆 C 上可得
2

3 2 2 x ? y
2

?

x ?6
2

3( x ? y )
2 2

? ? ,
2

理 .3
3 3


,
2

( ? ?
2

x ? ? y ? 3

1

) ,

2

其 3

2



6

3 ] -------------------------------------8 分

①当 ? ?

时,化简得 y ? 6 ,
3 ) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段;
2

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6 (? 3 ? x ? --------------------9 分 ② 当 ? ?
3 3

时 , 方 程 变 形 为

x
2

2

6 3? ? 1

?

y

6 3?
2

? 1 , 其 中 x ? [?

3 ,

3 ] ,

-------------------------------------11 分 当0 ? ? ? 的部分; 当
3 3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ?
3的
3 3

时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ? x ?

3

部分; 当 ? ?1 时 , 点 M 的 轨 迹 为 中 心 在 原 点 、 长 轴 在 x 轴 上 的 椭 圆. ---------------------------------------14 分 21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 过点 ( ? 1, 2) ,∴ f ( ? 1) ? ? a ? b ? c ? 2 , ①

2 又 f ? ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,函数 f ( x ) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,

∴?

? f (1) ? ? 2 ? f ? (1) ? 0

,∴ ?

?a ? b ? c ? ?2 ?3a ? 2b ? c ? 0

, ,
c ? ?3

② , 故
f (x) ? x ? 3x
3

由 ① 和 ② 解 得 a ?1 , b ? 0 ---------------------------------------4 分



2 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 x ? 3 ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1 ,

∵ f ( ? 3) ? ? 18 , f ( ? 1) ? 2 , f (1) ? ? 2 , f ( 2 ) ? 2 , ∴在区间 ? ? 3, 2 ? 上 f m ax ( x ) ? 2 , f m in ( x ) ? ? 18 , ∴对于区间 ? ? 3, 2 ? 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 2 0 ,
t ? 20 ∴ , 从 而 ---------------------------------------8 分
2 (Ⅲ)∵ f ? ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,

t











20



? f ? (0 ) ? c ? 则 ? f ? ( ? 1) ? 3 a ? 2 b ? c ,可得 6 a ? f ?( ? 1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) . ? f ? (1) ? 3 a ? 2 b ? c ?

∵当 ? 1 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 1 ,∴ f ? ( ? 1) ? 1 , f ? (0 ) ? 1 , f ? (1) ? 1 , ∴ 6 | a |? f ?( ? 1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0 ) ? f ? ( ? 1) ? f ? (1) ? 2 f ?(0 ) ? 4 , ∴a ?
2 3

,故 a 的最大值为

2 3



? f ? (0) ? c ? 1 ? 2 当 a ? 时, ? f ? ( ? 1) ? 2 ? 2 b ? c ? 1 ,解得 b ? 0 , c ? ? 1 , 3 ? ? f ? (1) ? 2 ? 2 b ? c ? 1


f

a













?x? ?

2 3

x ?x.
3

---------------------------------------14 分


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