nbhkdz.com冰点文库

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


21 00年第 2期 

2  3

20 09年全 国高中数学联赛陕西赛区预赛 
中圈分类号 : 4 4 7  G 2 .9 文献标识码 :   A 文章编号:10 0 5-6 1 (0 0 0 02 0  4 6 2 1 )2- 0 3— 5

第 一 试 
填 空题 ( 每小 题 6分 , 6

共 0分 )   1 已知集 合 A={ ∈ RI 一2l }  .    t      ≤1 ,


是 





曰 

c 

集 B{ R三。则  = 合 = ∈l > A日   争 ) n  .
............... .. ........ .

图2  

图3  

_ .  

8如图 3在△ A . , BC中 , B:3 A A , C:5 .  

2图1 . 是一个算法 流程 图. 若输 入 n:1  , 则 最终输 出 的数据 是— —. .  

若 0为△ A C的外心,   . 的值为 B 则 赢  
9 一个含 有底 面的半球 形容 器内放 置有  . 三个 两两外 切 的小 球. 这 三个 小球 的半 径  若 均 为 1且 每 个 小 球 都 与 半 球 的底 面 和 球 面  , 相切, 则该半球的半径 R= 一   l. O 把长 为 a的线段分 成三段 , 这三 条线  段能 构成 三角形 的概率 为— —  二、 解答题 ( 每小题 2 0分 , 6 共 0分 )   1. 0< <  < 2兀 若 对任 意 的  1设    , 口< . ∈ R, 都有  CS ̄+ O(  )+ i(  ) √ cs =   s x+ +  0  0 n

图 l  

3 设 圆  +  :1的一 条 切 线 与  轴 、 . Y   Y轴 分 别 交 于 点 A 曰 则 IBI 最 小 值 为  、 . A  的 4 已知函数  .
、  

恒成立, 试求 
<2;  

的值。  

f  , 2  

, ig  1, >. 【 l3 +) 1     o(   2
若关 于  的方 程 f )=m 有 两 个 不 同  ( 的实根 , 实 数 m 的取 值 范 围是 — — ( 则 用  区间形式 表示 ) .   5 设  ( 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , .  )   1 = ,  > ) 2当 0时, )   是增函数 , 且对任  意 的 xy∈ R, , 都有  +y   )+ y . )=   )   则函数, 在区间[ 3 一 ] (  ) 一 , 2 上的最大值是 
........... . ............

_ -  

1 . 图 4 设 点 A(一 ,)B( ,)  2如 ,   0、   0, △ A C内切 圆的圆心在 直线 : B 2上移 动.   () 点 c 1 求   的轨迹 方程 ;   ( 若 过 点  2) M( ,)作 两 条  20 / /   射线 , 分别交 ( ) 1  中所求 轨迹 于点  图4   P 口, MP?   、 且 MQ 0, 证 : 求 直线 P p必过定点.  
J  



6 对于 1∈ N+ 若 2n+1是 3的整 数  . 7 , , " 倍 , n被 6除所 得 余 数 构 成 的集 合 是  则
●  
.。h。. _.● _ __.__ ____. 一

1已函 ) 筹 , {} 3 知 数 = 孑 列a、 . 笔 数 n  
}  满 足  b}
a1>0, bl>0,  
a  =  

1  

7如图 2A 是半 圆O0的直径 , 、   . ,B CD 是半圆上 的两个 动点 , C 且 D∥A . B 若半 圆  (0 3 的半径为 1则梯形 A C , B D周长的最大值 

)b = ( 1 ( = ,, . , 厂 b一) n 23 …)     () a 1 求  的取值 范 围 , 得对 任 意 的正  使
a 




中 等 数 学 

整数 r都 有 口+ >    / , ,  l 0 ;

>2 0 9  0  

( ) 口 = ,。 4 求证 : 2 若 1 3b= ,  
0<6 -O ≤ n  ̄   n (  =12 … ) ,, .   的最小 正整数.  

用估算法可得 = 3 6.  
3. . 2 

第 二 试 


由对 称性 , 不妨 设切 点为 



(O分 ) 4 已知数列 { 满 足  0}

口I=4, + 0 Ⅱn 1  +6   l一4口 口+  一8 =0  .

P。 , ( 詈. ( i 0 <) c0  <   ss
则 IA =a , l ct . P I tn0 l   = o0    故 l =IAI P =t   +ct A BI P +IBl a 0 o n  ≥2 .   当且仅 当 tn0 o 0 即 0= 时 , 式  a  =ct ,     上
等号成 立.  
4 (, . 1 +∞ ) .  

记6    :

( ∈ N+ . :   )求  

() 1 数列 {  的通 项公式 ; b}   () 2 数列 {.  前  项 和 J. ab } s   
二、 4 ( 0分 )   如 图 5, A B P 、P   为 o  的两 条 切  0

线 , 点 分 别 为  切 A 日, 、 过点 P的直  线交 o0于点 C、   D, 弦 A 于 点  交 B
q 求证 : .  

图5  



p   P ? D—Q - . Q : CP C qo 

如 图 6 在 同一  , 直 角 坐 标 系 中作  出函数Y=  )和   ( Y=m的 图 像 . 知  易 当 m >1时 , 程  方 厂 (  )= 有 两 个 不  m 同的实根.  
5. 一4.  

,  ,


1.  y
l  


 

  ,  
J  
~ 

0  2  

图6  

三 、5 ) (0分 设 
(  +1   一 ) ) ( 3 
:  

“+ O

,  1

“一 + O2 ,   + …   ,X 一

+ On_1 + 口  ,  

(、 p g∈ N+ . )  

( ) 口  求 证 :n是 完全 平方数 ; 1 若  =o, 3   ( )证 明 : 在 无 穷 多 个 正 整 数 对  2 存 ( ,)使得 a =0. pq , 1 2   四 、5 ) 明 : (0分 证   () 1 对任 意 的  > , 0, 0Y> 有 

因为  ) 是奇函数, 且在( , ∞) 0 + 上是  增 函数 , 以 , ( 在 (一∞ ,) 也 是增 函  所 f ) 0上 数. 于是 , (3    _) )  (2 . ≤ 一)   又  2   1 , 1 4 则  )= )+ ( )= , ,(2 _ )=一 ( )=一 . ,2 4  故函数, ) 一 , 2上的最大值为 一 . ( 在[ 3 一 ]   4   6 { ,} . 12 .  
2 +1 3—1    =( )n+1   = M +( 1  3 . ) n+1  ∈ N) . ( .  

南一   南 (塞  ≥ . 2 c     )


由 3 (  + ) 贝  J (1  + ]  2 I 1 ,0   一 ) 1 . 3[   当 n= 矗k∈ N+ 时 , 6( )  
( ) +1 6 _1  = k+1 ( o  )  兰1 r d3 ; o

参 考 答 案 
第 一. 试 


当 n= k ( 6 +1 k∈ N) , 时 
( )凡+1 一 k 0 r d3 ; -1 “ = 6 - ( o  )  o

.  

当n 6 + ( = k 2 k∈N)   时,
( )n+1 6 +3 ( o  )  _1  = k -0 r d3 ; o



1 { 2< . I  ≤3 . }  

易知 A={ 2 ≤3 ,  1  < }  1≤  }B={ 2< 5 .  
2. 3  6.

当 n= k ( 6 +3 k∈ N) , 时 
( )n+1 一 k一 兰1 m d3 ; _1  = 6 2 ( o   ) 

依题 意 , 求  应为满 足不 等式  所

当  = k+ ( 6 4 后∈ N) , 时 

21 0 0年第 2期 

( ) n+1 6 + -2 mo  )  _1  = k 5 ( d3 ;

当 n= k 5 k∈ N) , 6+ ( 时  
( ) n+1 一1  =一  一 -2 m d3 . 6 4 ( o  )  

c  

() : . 学  学  

综 上 , 且 仅 当 n=6 当 k+1或 6  +2   ( k∈ N) , I2 r+1 . 时 3 (  t )  
7.   5.

1{  o. .
设分 成 的 三 条 线 段 的 长 分 别 为  、 、 Y 
口一( Y . Ⅱ  + ) 贝  『  <口  0< ,

在 图 2中联 结 A 过点 C作 C 上 A   C, H B

于 H  曰=0 <)  点 设 A   < 詈. c (  则
AD =BC =ABc s 0=2c s 0  o  o  .

{ <  。 【 , ,   <   0
+y < 口   .

① 

不等 式 组 ① 表 示 
的 平 面 区 域 为 图 8 中  的△ A B的 内部 ( O 不 
含边 界 ) 。  

从 而 ,H= C o  =2o  B B cs0 cs 所 以 ,D= B一 B 2— cs C A 2 H: 4 o  故 梯形 A D的周长 为  BC
Z:AB +曰C +CD + A    


4 +4c S0 —4c s 0 O  o   
’   2  

这 三 条 线 段 构 成  三角形 的条件 是 
r l- , - l l l 、 _  

图8  
0 

y  

I(s ) 4o c  寺 ,  
于是 , cs :了 当 。  1


+  +  y   n  > 
口 ( +

+  n  一  
(  

一  

戈+y>  
n 

,  

即 = 时z 5  詈 , . ~= 

一  
( +  

+ ) y

)  )   y y   >  >  y

<  

,  

② 

8 8  ..

<  

口 

?  

设 D为边 B C的 中点 , 结 O A 则  联 D、 D. O D上 B 于是 ,     A B O? C=( O+D ? C A D) B  
=AD?-k+DD?—   — ?— ' — BC  — — 日C=A BC  — -.   . - . — }—— — —— — —   D —
l —   —  、 —_ + —_’ 

不等式组 ②表示 的平 面区域为 图 8中的 
△ A曰C ( 曰 、        A 、  C 分别 为 O O A 的 中  A、 B、B

点) 的内部 ( 不含边界 ) .  

=. ( C+ B ?A -  g A A ) ( C—J   - 4 曰)
=' (A     BI1: .  -  CI I   )=   - I  一 A   4 8

一  

故这三条线段能构成三角形的概率为 
p一  


::      :一

lf   

I  

S~ 0 一 4 ’ B  

二 、1 已知等式 可化为  l.
9 .

学 .  

( S s 卢十2 e  + c 卢 n )n Q 1  +i √)l ( s ‘ia s :   3 0 n l s 0 s i

三个 小球 的球心 0 、 :0 构成 边 长 为   0 、 ,

上 式对任 意 的  ∈ R 恒成 立 的 充要 条 
件为 

2正角, 外圆径学. 的三形 其接半为   则
设半球 的球 心为 0, 小球 0  与半球 底 面  切 于点 A 如 图 7, 过  . 经

fO a4 i卢+ 2= , CS   s   - n √ 0 
【O  一 i 0=   CS s  c 0 n


点 00、 、, A作半球的截  面, 圆 0  的 半 径  半 0
O C


In = e 一   s卢 一o  , i s
【 O 口=s   CS i n
2 .  

L O 0 B —  C   A, , L O  
图 7  

平方相加并化简得 。  :一 。 。 丝
因为 0< < 所 以 , = .    ,      
从 而 ,。 J    : 。 。 B: i    

于点 B 则 . 
OA :0, : B  
j 

.  

在 R △O O t A  中 , 由 

中 等 数 学 

又因为7 卢< 7 所 以,   . c < 2, c 卢=  
1. 1设 △ A C的内切 圆切边 A 于点  2 () B   D 则  .
I A  I   I—   C C l= I I— I AD BD I  


要使 口 + >   只须 口 > 1即   l a , 2 口,
1 a +7 6 ,  
> 口?  ’

解 得 0< l     口 < /. () 0 = 2 当   3时 , ( ) n+ >   即  由 1 知  1 口 ,
1  +7 6a  
an.  

( + )一( 一2 4<     2   )= 2

所 以 , C的轨 迹 是 以 A和 B为 焦 点 、 点  

实轴长为 4的双 曲线 的右支 ( 不含右顶点 ) ,  
,,  

其 程 争一 1 >) 方 为  =( 2.    
() l : 2 设 尸  =m a y+a a> ) ( 2.  

解得 0<口 < 1 .     
又 口 = 贝  ≤n < ( ∈ N+ . 1 3,U 3      )   当 b 4时 , 1 知 b +≤6 ,  = 由( )   。   得  I≤6 ≤4  ∈ N+ .   ( )   所 以 ,    0 n∈ N+ . b 一a > ( )  

代 等一2 1   人 y=, 得
f — )2 2 m a 一 O m2 4 y + a y+   4= .  

设 P(lY) Q( Y )则  x ,。 、 x ,2.
2a m
Yl+y   2


(2 4 g .  



一 —2 — 4 ’ Y   m 2 — Y1 2 — 4。   m

故 b 一a    
9  

又J芦? =( l 2 ( 2 2 ,Y  ]   I     一 )  - )+ , 2 1


(y+ 2( 2 m 1 口- ) my +口一 )+ , 2 2 ,Y  l ( 2 1,y + ( - )Y + 2 + 口 2  m + )l2 m 口 2 (1 Y) ( - ) ,  
O.  


4 a +1 (  1 1   (  l ) b 一 + )





故   !

a )( 一 2 ( 2 +n
a  ̄





- -

_







,  





2  。  ): .

÷ 商  。  
?   ≤ =  

化 简得 3  一1a+ 0= . a 6 2 0   解得 G: ( 2 舍去 ) 口: . 或    

≤ 


.  

综上 , n a≤ 0<6 - n  

( n=1 2 … ) ,, .  

故 线Q 过 点 ,  直 P必 定 ( 0  ) .
1 . 1 注意 到  3()
=  

第 二 试 


詈 . ?    



( ) 6 =口n —  1由   

口 =Dn + .    2  

贝 口+ 一   4  1 口


代 入 a+ + a+ - a 一 0, nl 6  l 4   8= 得   
b+   l=4b  +3.  

( 4 ÷  )( 一 ÷  ) 4  
  . 

则 b+ + = (  1 , 中,l 1 4  l 1 4 6 + )其 b+ = .  
从 而 ,  b +1=   4 =   6 =  一1 4x   4   4 .  




竺 二! = ! ! 

4 (   ) 口 一 +1  口 +1 (   l )


()t 2f l  

j口 = b + .   2  6故 

(  詈 )

斋 

S  =nI 1+a b b z 2+… +a. n b 


2 b +b +… +   + n (l 2 b) 6  2 4+  +… +  一n 6   ( 4   4 )+ n



( 而   t而   l1 2 -  ̄  



注意 到 a 0  ∈ N+ .  > ( )  



墨  

一 n 6  2 +, l

21 00年第 2期 



吾 l     +4 . +一

A=( q ) 4 9   q = 8 9 6 +3  一 (q 一3 ) 4 q+  

二 、 图 9  如 , 联 结 O 、伽 、 A   o . O   A  P 设 P s  B 交 于点  , D 的  C 中 点 为  , 结  联 O 则O 上C   M. M D,
o H  A   B. 图9  

是完全平方数 , p: ±  且  

是正整数。  

I 4 q 9= (k+1  ∈ N+ ,q l 8 + 98 K )( )贝  ( , ) 3 k + 1 3 1 k +3 ) p 窖 =( 6 。 2 k+ ,2   J . I  } 由于 后为任意 的正整数 , 于是 , 在 无穷  存 多组正整数对( ,)使得 a = : Jq , P 。 a.   四、 1 由 ()  
—   一  

所 以, 日、 肼 四点共 圆. 0、 Q、   于是 , Q? M=P P . P P H? O  又 R △ P A∽ R △ P O, t H t A 则 
PA。:PH. PO
.  

二 

1 y ( y  + 1+ )
=  

1      Y一 +
一  

(  , 2  + ,   1 )
+ 

从 而 ,Q?M = A . P P P    由切割线 定理得 P  = C 尸 . A P ?l 故  D P P = C?D Q? M P P   P   Q+Q ) C? D QP M、=P P   = p  : C P   Q P ? D—P Q   Q? M. 又 因 P A 0、 及 P、 M、 、、 M B、 0分 别 四点  共 圆 , 以 , B、 0、 所 P、 M、 A五点共 圆.   由相 交弦定理 得  P Q Q- M:A Q Q? B=C Q . Q? D 





(+ 1  )
,  

1 一  




l  
≤ 

)  21 + 

当且仅 当  =, , )时 上式 等号成立 . 故 

—L  上


lx而 ~ +≥ 前

一 二    

 


故 P   P ?D— C Q . Q = C P Q ?D  三 、 1 易知 P十9   () =m 因(  +1  一 ) )( 3 


() ( ) 2 在 1 的结论 中 , 取 = 1 有   

【 p一   +p+ x  


一 …?   】 +  
. 1  
+  
: .  +. , .

点≥ 南  , 南一 , ) ?  
对 J O 1 … ,, 不 等 式 两 边 分 别 同  } ,, /将 : 1 ,

3 +    
3g p 

乘以 C 并相加得  :
c 

X (一 )~ f n p3     + q n+




所 以 , l P一 q  a= 3,
+  一  .  


南  南   k = O  
( :1 ,O)  c  一kc ? ,     : =

又 a =a , 1 2则  2 p一 q p p一1 9 ( 1 6 q ( 3 )= ( )+ q q一 )一 p   ( 3 )=( 3 ) p- q p一 q p一 q - 9   3 p g = P- q 2 ( + ) ( 3 ).   故 3 :( 3 ) 为完全平方数. n P- q 。   ( ) 】 口  ( 9 2a=2 p+ ):( 3 ) P一 q  车 一(q 3p+ q 一 q O   6 + ) 9  3 : .   ①  因此 , 只须证明方程①有无穷多组正整 

而   ( nn 南 一 【+)2. 丽 I _】 H - y J ‘  
:   ,

得 

c :  

≥  
十 

:  
( 刘康宁

.  
提供)  


2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题

2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。数学竞赛九子山教育网 http://www.qyjzs.cn---完全免费,无须注册,天天更新! 2009 年全国高...

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本)

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题一、填空题(每小题 6 份,共 ...

2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题

2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题一、填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小...

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题与答案

2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 小题,要求直接将答案写在横线上) 一,填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小题,要求直接将答案写在横线上)...

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本)

2009年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题及参考答案(word版本) 高中数学竞赛辅导首选高中数学竞赛辅导首选隐藏>> 2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题小题,要求直接...

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题_学科竞赛_高中...

2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题

数学驿站 www.maths168.com 2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题小题,要求直接将答案写在横线上) 一、填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小题,...

2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题

全国最大家教 家教平台 找家教,到 阳光家教网 全国最大家教平台 家教,! 2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题小题,要求直接将答案写在横线上) 一、填空题(...

2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛

2008 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第一试一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设等差数列 {an } 共有 n 项 S n ,若 S 2 =10, S 5 =55,经过...