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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2

时间:2017-10-24


用A~Z或0~9给教室的座位编号

分析: 给座位编号有2类方法, 第一类方法, 用英文字母,有26种号码; 第二类方法, 用阿拉伯数字,有10种号码; 所以 有 26 + 10 = 36 种不同号码.

从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽 车。一天中,火车有4 班,汽车有2班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少 种不同

的走法? 分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 = 6 种方法.

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中 有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同 的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法 两类中的 方法不相 同

例 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体如下: A大学 B大学
分析 : 两大 学只能选 一所一专 业,且没有 共同的强 项 专 业

生物学 化学 医学 物理学 工程学 5

数学 会计学 信息技术学 法学
+ 4 =9

从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽 车,还可以乘轮船。一天中,火车有4 班, 汽车 有2班,轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法,乘火车,有4种方法; 第二类方法,乘汽车,有2种方法; 第三类方法,乘轮船,有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.

完成一件事有三类不同方案,在第1类方案 中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不 同的方法,在第3类方案中有m3种不同的方法。 那么完成这件事共有 m1+m2+m3 种方法.

做一件事情,完成它可以有n类办法,在第 一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法 中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+?+mn __________种不同的方法

用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数字,以 A1,A2,?,B1,B2?的方式给教室的座位编号.
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9种

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9种

6 × 9 =54

如图,由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的 道路有2条。从A村经B村去C村,共有多少种 不同的走法?
北 B村 A村 北 南 C村




分析: 从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 所以从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同 的方法

分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不 同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完 成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

例 设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出 男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少 种不同的选法? 若再要从语 , 数 , 英三
科科任老师中选出一 分两步进行选取 名代表参加比赛,那又 再根据分步乘法原理 共 有 多 少 种 选 法 ?




×

老师
3 =2160

30 × 24 =720

如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3 步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3 种不同的方法. _________________
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的 方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么 完成这件事有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法. _____________________

例 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9
(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?

分3步完成,根据分步乘法计数原理
N=4×3×2=24
解题关键:从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.

练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法? 左边 右边 分 第一步 第二步 乙 两 甲 丙 步 3 × 2 完 甲 成 乙 丙 丙 甲



练习 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个? 分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是: 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).

分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是: 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)

练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。

答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首 位数字是0的密码数之和等于密码总数。

问: 若设置四位、五位、六位、…、十位等 密码,密码数分别有多少种?
答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, …… 种。

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四 步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种 数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
问: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

答:它们的涂色方案种 数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。

如图,该电路 从A到B共有多 少条不同的线 路可通电?

A

B

分类完成

分步完成

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.

点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1 A m2 …… mn B

乘法原理看成“串联电路”
A m1 m2 …... mn B

练习 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1 A1 D A B B1 C1

C

解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶 点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1

C1 B1

A1
D A

C B

练习 如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到 丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有 多少种不同的走法?

解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。

加法原理和乘法原理的共同点是什么?不同点什么?

加法原理

乘法原理

它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 相同点 不同的方法 方式的不同

不 同 点

分类完成
任何一类办法中的 任何一个方法都能 完成这件事

分步完成 这些方法需要分步, 各个步骤顺次相依, 且每一步都完成了, 才能完成这件事情

何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成. 分类要做到“不重不漏”

乘法原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事. 分步要做到“步骤完整”


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