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教案 椭圆的简单几何性质(一)

时间:2014-12-04


高中数学(教案) 椭圆的简单几何性质
万源市第三中学校 教学目的 1.熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点等简单几何性质
王新敞
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宋东甲

2.掌握标准方程中 a, b, c 的几何意义,以及 a, b, c, e 的相互关系

王新敞
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新疆<

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3.理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一 般方法
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教学重点 教学难点 教 具

椭圆的几何性质 如何贯彻数形结合思想,运用曲线方程研究几何性质 多媒体、实物投影仪
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一.复习引入 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两 定点间的距离)的动点的轨迹
2.标准方程:
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x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2

3.问题: (1 (2) “范围”是方程中变量的取值范围,是曲线所在的位置的范围, 椭圆的标准方程中的 x, y (3 (4)椭圆的顶点是怎样的点?椭圆的长轴与短轴是怎样定义的?长 轴长、短轴长各是多少? a, b, c (5)椭圆的离心率是怎样定义的?用什么来表示?它的范围如何?

(6)画椭圆草图的方法是怎样的?

二.讲解新课 由 椭

y
圆 方 程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 研究椭圆的 a2 b2

P′ A1

B2

P F2 A2 x

性质.(利用方程研究,说明结论与由 图形观察一致) (1)范围: 从标准方程得出
x2 y2 ? 1 ? 1 ,即 , a2 b2

F1
Q

O

B1 P″

有? a ? x ? a ,?b ? y ? b, 可知椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性: 把方程中的 x 换成 ? x 方程不变,图象关于 y 轴对称. y 换成
? y 方程不变,图象关于 x 轴对称.把 x , y 同时换成 ? x,? y 方程也

不变,图象关于原点对称. 如果曲线具有关于 x 轴对称, 关于 y 轴对称和关于原点对称中 的任意两种,则它一定具有第三种对称
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y 轴叫椭圆的对称轴. 原点叫椭圆的对称中心, 简称中心. 从 x 轴、

椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆
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x2 y2 ? ? 1 的方程里,令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此椭圆和 x 轴有两 a2 b2

x2 y2 个交点 A (?a,0), A2 (a,0) ,它们是椭圆 2 ? 2 ? 1 的顶点 a b

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令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,因此椭圆和 y 轴有两个交 B (0,?b), B2 (0, b) ,它们

也 是 椭 圆

x2 y2 ? ?1 的 顶 点 a2 b2

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因 此 椭 圆 共 有 四 个 顶 点 :

A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b)

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加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点. A1 A2 叫椭圆的长 轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b . a , b 分别为椭圆的长半 轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点.因而只需少量描点就可以较正确的 作图了. (4)离心率: 发现长轴相等,短轴不同,扁圆程度 不同
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这种扁平性质由什么来决定呢? 概念:椭圆焦距与长轴长之比
定义式: e ?
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c b ? e ? 1 ? ( )2 a a
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范围: 0 ? e ? 1

考察椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 , 椭圆变圆, 直至成为极限位置圆, 此时也可认 为圆为椭圆在 e ? 0 时的特例
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y

B2 A1
O

e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位

A2 B1

x

置线段 F1 F2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例
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三.讲解范例 例 1 求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形. 解:把已知方程化成标准方程
x2 y2 ? ?1 52 4 2

所以, a ? 5, b ? 4, c ? 5 2 ? 4 2 ? 3 , 因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a ? 10,2b ? 8 ,离 心率 e ?
c 3 ? ,两个焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆的四个顶 a 5
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点是 A (?5,0), A2 (5,0) , B (0,?4), B2 (0,4) 将已知方程变形为 y ? ?

4 4 25 ? x 2 ,根据 y ? 25 ? x 2 ,在 5 5

0 ? x ? 5 的范围内算出几个点的坐标 ( x, y ) :

x
y
y 4

0 4

1 3.9

2 3.7

3 3.2

4 2.4

5 0

先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:

-5

O -4

5

x

例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图:
x2 y2 ?1 (1) ? 25 16 x2 y2 ?1 (2) ? 25 9

答:简图如下:
y 4

3
-5 O -3 -4 5 x

例 3 分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图:
x2 y2 ?1 (1) ? 9 4 x2 y2 ?1 (2) ? 49 36

答:简图如下:

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y 2

6

y

-3

O -2

3

x

-7

O -6

7

x

四.课堂练习 1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3 : 2 两段,求其离心率
(a ? c) : (a ? c) = 3 : 2 ,即 解: 由题意,
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1? e 3 ,解得 e ? 5 ? 2 6 ? 1? e 2

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2.如图,求椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 )内接 a2 b2
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y
A

正方形 ABCD 的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知, 正方 形 BFOE 的面积是所求正方形面积的 1/4,且 B 点横纵坐标相等,故设 B( t , t ),代入椭圆方程 求得 t2 ?
4a 2 b 2 a2 ? b2 a 2b 2 , 即 正 方 形 ABCD 面 积 为 a2 ? b2

B2
E O B F

A1
D

A2 x

B1

C

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五.小结 这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法;学习 了椭圆的几何性质:对称性、顶点、范围、离心率;学习了椭圆的描 点法画图及徒手画椭圆草图的方法
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