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1.2.集合间的基本关系


界首中学

高彩云

阅读教材7-8页,思考下列问题:

1.集合之间包含和相等的含义是什么? 2.子集和真子集的含义分别是什么,联系和区别 是什么? 3.集合除了列举法和描述法,还有什么表示方法?

观察下面几个例子,讨论每组集合 问题1: 中的元素有什么特点?
1、A={1,3,5,

7};B={1,2,3,4,5,6,7}. 2、A= {高一13班的所有男生} ;B= {高一13班的所有学生} . 3、A={x|x是等腰三角形};B={x|x是三角形}. 4、A= {x∈Z|x>7} ;B= {x|x>7} . 5、A={x|x2-1=0};B=Z.

结论: 在集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素. 这时我们说集合A与集合B有包含关系.

1. 子集的定义
定义
一般地,对于集合A、B,如果集合A 中的任何一 个元素都是集合B的元素,我们就说集合A与集合 B有包含关系,称集合A为集合B的子集(subset) 记做 A ? B(或B ? A) 读做“A包含于B”(或“B包含A”)

Venn图
上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示:
用平面上封闭曲线的内部代 表集合,这种图称为Venn 图.

B

A

2. 集合相等
问题2: 观察下面几个例子,讨论每组集合中的
元素有什么特点?
1、A={1,3,5,7};B={7,5,3,1}. 2、A={x|x2-1=0};B={-1,1}.

定义

对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都 是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都 是集合A中的元素,我们就说集合A与集合B相等

B ? A且 A? B

A=B

Venn图

B ( A)

3. 真子集
定义:
对于两个集合A与B,如果A是B的子集且A≠B,我

们就说集合A是集合B的真子集.
记作: A?B(或B?A) 读作:A真包含于B(B真包含A)

图形语言 (Venn图) 类比: 结论:

B

A

实数中a≤b怎样理解?有几层意思?类比A?B又有几 层含义?

B

A 真子集

B(A) 集合相等

3. 真子集
讨论:
N
讨论下列几个数集的包含关系: N,N*,Z,Q,R

N*

Z

Q

R

4. 子集的性质
由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: 1、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A 2、空集是任何集合的子集,即任意集合A, ? ? A

C B

A

3、如上图,对于集合A、B、C,如果 A ? B 且 B ? C , 那么 A ? C .

5. 子集的个数
写集合子集的一般方法:先写空集,然后按照集合元素从少 到多的顺序写出来,一直到集合本身.写集合真子集时除去集 合本身外其余子集都是它的真子集. 例 1.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
解:集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为 ? ,{a},{b}.

练习1 写出集合{a,b,c}的所有子集. 解:集合{a,b,c}的所有子集为○,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c}.

思考:根据上面两例,你能归纳出子集的个数与集合 结论: 含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非
空真子集数为2n-2。解题时可以依据上面的结论检验解 答正确与否.

元素个数的关系吗?

练习2 用适当的符号填空: 1)a____{a,b,c}; 2) 0____{x|x2=0}; 3)○ ____{x∈R|x2+1=0};4){0,1} ____N; 5){0} ____{x|x2=x}; 6){2,1} ____{x|x2-3x+2=0}.

答案
练习3 判断下列两个集合之间的关系: 1) A={1,2,4},B={x|x是8的约数}; 2) A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6n,n∈N}; 3) A={x|x是2与3的公倍数},B={x|x=6n,n∈N*}.

答案

1、基本概念有: 子集 2、基本符号有: ? ?

真子集 相等

( 1) A ? A 3、性质有: (2)A ? B,且B ? C,则A ? C
(3)? ? A (4)若A≠ ? ,则 ? A。

注:可以类比实数的关系来帮助识记一些集合关系的符号。


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