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高中数学竞赛模拟试题七


高中数学竞赛模拟试题七 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.方程 c o s
2

x ? x
2

?2

x ?1

?2

? ( x ?1)

? 0

2010

的实数解为___

__

2.如图,在 ? A B C 中, D 为 B C 边上的一点, 且 B D ? 2 D C . 过点 D 的直线分别交直线 A B , A C 于不同的两点 M , N , 若 A B ? m A M , A C 则 m ? 2 n 的值为
??? ? ???? ???? ? ???? ? n AN ,
B

A

N D C

M

3. 已知 f ( x ) ? a x

3

? x ? x ? 1,
2

对一切 x ? R ,均有 f (sin ? ) ? 0 成立,则实

数 a 的取值范围是

4.单位正方体 A B C D ? A B C D 中,用 A B C , B C D , C D
1 1 1 1 2 1

1

A , D A1 B , A1 B C 1 ,

B1 C D 1 , C 1 D A1 , D 1 A B1

这八个面截这个单位正方体, 则含正方体中心

的那一部分的体积为

5.设数列 ? a ? 满足 a
n

1

?

3 2

, a n ?1 ? a n ? a n ? 1 .
2

则m ?

1 a1

?

1 a2

? ?

1 a 2010

的整

数部分为

1

6.已知实数 x , y , z 满足 xyz ? 3 2, x ? y ? z ? 4 . 则 x

? y ? z

的最小值为

7.若 2 n

2

? 3n ? 1 6

(n ? 2)

是完全平方数,则最小正整数 n ? _ _ _ _ _

8.空间有 100 个点,任 4 点不共面,用若干条线段连结这些 点, 如果不存在三角形,最多可连 条线段.

二、解答题(共56分) 9. 分) S 为数列 ? a ? 的前 n 项和,满足 S (16 设
n

n

n

?

3 2

an ? 2n ?

9 2

( n ? N ).

?

等差数列 ? b ? 的前 3 项之和为 21,第二项,第三项,第四项之和
n

为 33. (1)求数列 ? a ? 和 ? b ? 的通项公式;
n
n

(2)设集合 A ? ? a a
1

2

, a 2 a 3 , ? , a n a n ? 1 , ? ? , B ? ? b1 , b 2 , ? , b n ? ? ,

求证 A ? B .

2

10. 分) (20 过抛物线 y

2

? 2 px

(其中 p 为大于 2 的质数)的焦点 F

作与 x 轴垂直的直线 l ,交抛物线于 P , Q 两点,线段 P Q 的垂直平 分线(垂足为 M )交 x 轴于 N 点. (1)求线段 M N 的中点 R 的轨迹 C 的方程; (2)证明: C 上有无穷多个整点(横,纵坐标都是整数的点),且 C 上任一整点到原点的距离均不为整数.

3

11. (20 分)已知二次函数
f (x) ? 0

f ( x ) ? x ? a x ? b ( a , b ? R ),

若方程

有两个非整数实根,且两根不在相邻两整数之间.试
f (k ) ? 1 4

求 a , b 满足的条件,使得一定存在整数 k ,有

成立.

4

二 试 一. (40 分)如图,已知 ? A B C 内一点 P ,设 D , E , F 分别为点 P 在 边
B C , C A, A B

上的射影,假设
A

AP ? PD
2

2

? BP ? PE
2

2

? CP ? PF ,
2 2



?ABC

的三个旁心分别为 I
A

, I B , IC ,

求证: P 是 ? I

I B IC

的外心.
A

F P B D

E

C

5

二. 40 分) a , b , c ? 0 ,求证: ( 设

1 a (1 ? b )

?

1 b (1 ? c )

?

1 c (1 ? a )

?

3
3

a b c (1 ?

3


abc )

6

三. (50 分)已知 n 个四元集合 A , A
1

2

, ? , An ,

每两个有且只有一

个公共元素,并且有 C a rd ( A

1

? A2 ? ? ? An ) ? n ,

试求 n 的最大值.(这里 C a rd ( A ) 为集合 A 中元素的个数.)

7

四. 分) a 为正整数 n 的二进制表示数的各位数字之和, (50 设
n

Sn

为数列 ? a ? 的前 n 项和. 若存在无穷多个正整数 n ,满足
n

an ? m

,且 m

(n, S n )

,则称 m 是“好数”.试问:

(1)2,3,5 是否都是好数? (2) 2
k

(k ? N )

?

是否都是好数?

8


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