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9.《独立重复试验与二项分布》


2.2.3 独立重复试验与二项分 布

在研究随机现象时 , 经常要在相同的条件下 重复 做大量试验来发现规律 .例如要研究掷硬币结果 的规律,需要做大量的掷硬币试 验.显然, 在n次重 复掷硬币的过程中 , 各次掷硬币试验的结果 都不 受其他掷硬币试验的影 响,即 ?1 ? P?A1A 2 ? ? ? An ? ? P?A1 ?P?A 2 ? ? ? ?

P?An ?. 其中A i ?i ? 1 ,2,? ? ?,n? 是第i次试验的结果 . 一般地, 在相同条件下重`复做的n次试验称为 n次 重复试验 (independent and repeated trials).

在n次独立重复试验中 , " 在相同条件下 " 等价于 各次试验的结果不会受 其他试验的影响,即 ?1? 式成立 .

探究 投掷一枚图钉 , 设针尖向上的概率为 p, 则针尖向 下的概率为q ? 1 ? p.连续掷一枚图钉3 次, 仅出现1 次针 尖向上的概率是多少 ? 连续掷一枚图钉3次, 就是3次独立重复试验,用A i (i ? 1 ,2, 3)表示第i次掷得针尖向上的事件,用Bi表示" 仅出现一次 针尖向上"的事件,则 Bi ? A1 A 2 A 3 ? A1A 2 A 3 ? A1 A 2 A 3 .

?

? ?

? ?

?

由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? q2p ? q2p ? q2p ? 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
3q2p.

思考 上面我们利用掷 1次图钉, 针尖向上的概率为 p, 求出了连续掷 3次图钉, 仅出现1次针尖向上的概率 .类 似地, 连续掷3次图钉,出现k ?0 ? k ? 3 ?次针尖向上的 概率是多少? 你能发现其中的规律吗 ? 对于任何0 ? k ? 3, 用Bk表示连续掷一枚图钉3次,出 现k次针尖向上的事件.类似于前面的讨论,可以得到 :

P(B0 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? q2 , P(B1 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? 3q2p, P(B2 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? P( A1 A 2 A 3 ) ? 3qp2 , P(B3 ) ? P( A1A 2 A 3 ) ? p3 .
仔细观察上述等式,可以发现
k 3 ?k P(BK ) ? Ck p q ,k ? 0,1 ,2,3. 3

一般地, 在n次独立重复试验中 , 设事件A发生 的次数为X, 在每次试验中事件A发生的概率 为p, 那么在n 次独立重复试验中 , 事件A 恰好 发生k次的概率为

P?X ? k ? ? C p ?1? p? ,k ? 0,1 ,2,? ? ?,n. 此时称随机变量X服从 二项分布(binomial distribution),记作 X ~ B?n, p?,并称 p 为成功 概率.
k k n n?k

对比这个公式与表示二 项式定理的公式 , 你能 看出它们之间的联系吗 ?

思考 二项分布与两点分布有 何关系?

例 4 某射手射击击中目标的 概率是 0.8.求这名 射手在10 次射击中 , ?1?恰有8次击中目标的概率 ; ?2?至少有8次击中目标的概率 .(结果保留两位有 效数字 .)

解 设X为击中目标的次数,则X ~ B?10,0.8?.

?1?在10次射击中, 恰有8次击中目标的概率为 10 ?8 8 8 P?X ? 8? ? C10 ? 0.8 ?1 ? 0.8? ? 0.30. ?2?在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 P?X ? 8 ? ? P?X ? 8 ? ? P?X ? 9 ? ? P?X ? 10 ? 10 ?8 10 ?9 8 8 9 9 ? C10 ? 0.8 ?1 ? 0.8? ? C10 ? 0.8 ?1 ? 0.8? 10 ?10 ? 0.68 . 10 10 ? C10 ? 0.8 ?1 ? 0.8?

探究与发现

服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大

二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 .对与两项分布有关的一些问题的 探究是很有意义的 .例如, 在上面的例4中, 我 们还可以提这样的问题:

如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 立, 那么它在10 次 射击中 , 最有可能击中目标几次 ?

设他在10次射击中, 击中目标的次数为X.由 于射击中每次射击的结果是相互独立的,因 此X ~ B?10,0.8 ?.

于是可得他恰好k次击中目标的概率为 P?X ? k ? ? C ? 0.8 ? 0.2
k 10 k 10 ?k

,0 ? k ? 10.从而

? P?X ? k ? 10 ? k ? 1? ? 0.8 11? 0.8 ? k ? ? 1? P?X ? k ? 1? k ? 0.2 k ? 0.2 0 ? k ? 10.于是,当k ? 8.8,P?X ? k ? 1? ? P?X ? k ?; 当k ? 8.8时,P?X ? k ? 1? ? P?X ? k ?. 由以上分析可知, 他在10 次射击中,最有可能8次 击中目标.
思考 如果X ~ B?n,p?, 其中0 ? p ? 1 ,那么当k由0增大到 n时,P?X ? k ?是怎样变化的 ? k取何值时 ,P?X ? k ?最大?

作业 :P60习题2.2B组(1—3)

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9.8n次独立重复试验与二项分布

第八节 n次独立重复试验与二项分布 [备考方向要明了] 考什么 1.了解条件...?3? =27, 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 27 1 2 9 2 4 27 3 8...

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