nbhkdz.com冰点文库

第十四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


中学生数学 # 2011 年 9 月上 # 第 425 期( 高中)

第十四届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考解答
试 题
( 3) 根据 经验和 分析, 判断 小王、 小李的 测量方 案 及其结 果哪个更精确一些? 为什么? 2. ( 满分 16 分) 2011 年 3 月 11 日, 日本发 生了 强 烈地震 并引起巨大 海啸

, 美国 地震 勘探局 测得 震级 为 里氏 8. 9 级, 称这是日本历史上/ 近 1200 年一遇0 的 地 震, 该局知名地质学家布莱恩 # 阿 特沃特说: 这次地 震 释放的 能量/ 将 近美 国全 国一 个月 的能 量消 耗0. 3 月 13 日, 日本将这次地震的级别修正为里氏 9 级. 而每一 级地震 释放的能量都是次一级地震的 31. 7 倍, 若按 照 日本修 正后的震级 计算, 这次 地震 释放的 能量 相当 于 美国全 国多长时间的能量消耗? 3. ( 满 分 16 分) 中 华 老 字号传统 小吃 周村烧 饼的 包 装纸 为图 2 的正 方 形. 其 包 装方 式 是: 先 将 几 个 烧 饼 摞 成圆 柱 形, 围 在 圆 柱 侧 面 的 恰是包装 纸对 角线上 的条 形 图案, 上下 底 面 则 是 包 装 纸 上的 圆 形 图 案, 熟 练 师 傅 的
图2

1. ( 满分 16 分) 如图 1, 要得 到底部不 能到 达的一 个建筑物 A B 的高 h, 可以先选定与该建筑底部在同一 水平直线上的 C、 两处, 通 过分别测 量这两 处该建筑 D 物的 仰角 A和 B, 以及 CD 的距离, 便可计算出 h. 小王、 小李自己选定 了 C, D , 用高 度为 1m 的 测角 仪器 分别 测得 A 和 B, 具体数据如下 :
在点 C 处 测得的 A 小王测 的数据 小李测 的数据 21 5 1 b 15 b 在点 D 处 测得的 B 23b CD 之间 的距离 10m

应 用 与 建 模

23b

100m

图1

包装既 保证包装纸 不破 损, 又 能将 包装纸 的大 部分 空 白地儿 都通过折叠 后掖 藏在图 案下 面, 使 包装 表面 较 平整. 已知圆柱的高为 7cm, 底面直径为 12cm, 请你计算 出包装纸的边长. ( 精确到 1cm) . 4. ( 满分 16 分) 以下 是某省 电视 台卫星 频道 2007 年广告 价格表.
广告费用

( 1) 若将 CD 之间的距 离记 作 a, 测角 仪器 的高度 记作 b, 求用 A B、 b 表示 h 的公式. 、 a、 ( 2) 根据小王、 小李 的测 量数 据, 分别计 算出 相应 的 h小王 和 h 小李 .
广告时段 早 7: 20 档 5阳光剧场一6 插播 5阳光剧场二6 插播 5阳光剧场三6 插播 5阳光剧场四6 插播 5播报多看点6 插播 5独播偶像剧场一6 插播 5独播偶像剧场二6 插播 5独播偶像剧场三6 插播 5超级剧场一6 插播 播出时间

5秒 07: 20- 08: 00 08: 00- 08: 50 08: 55- 09: 50 09: 50- 10: 50 10: 50- 12: 20 12: 20- 12: 50 12: 50- 14: 00 14: 00- 15: 00 15: 00- 16: 00 16: 00- 17: 00 3800 3800 4900 4900 5300 5300 5300 4900 4900 4900

10 秒 6300 6300 8100 8100 8800 8800 8800 8100 8100 8100

15 秒 9000 9000 11500 11500 12500 12500 12500 11500 11500 11500

20 秒 12600 12600 16200 16200 17600 17600 17600 16200 16200 16200

25 秒 15300 15300 19800 19600 21300 21300 21300 19600 19600 19600

30 秒 18000 18000 23000 23000 25000 25000 25000 23000 23000 23000

网址: zxs s. chin ajourn al. n et . cn

# 41 #

电子邮箱: zx ss@ ch inaj ou rnal . net . cn

中学生数学 # 2011 年 9 月上 # 第 425 期( 高中)
广告费用 广告时段 播出时间 5秒 5超级剧场二6 插播 B1 5娱乐无极限6 插播 5音乐不断6 插播 A6 新闻 X T 段 黄金时刻 A1 快乐中国 730 节目插播( 周一至周四) A2 5晚间6 插播 A3 5金鹰剧场6 一片头插播 5金鹰剧场6 一中插播 5金鹰剧场6 一片尾、 二片头插播 5金鹰剧场6 二中、 片尾插播 A4 5纪实剧场上6 插播 5纪实剧场下6 插播 C 17: 00- 17: 40 17: 40- 17: 45 17: 45- 18: 10 18: 10- 18: 20 18: 25- 18: 30 18: 52- 18: 55 18: 58- 19: 00 19: 30- 19: 35 19: 35- 21: 00 21: 00- 21: 10 21: 10- 21: 50 21: 50- 21: 55 21: 55- 22: 05 22: 05- 22: 40 22: 40- 23: 08 23: 08- 00: 05 00: 05- 00: 10 00: 10- 00: 55 00: 58- 01: 40 02: 10- 07: 20 4900 5300 6100 6100 6100 7600 7600 12200 13400 12500 13400 12500 14100 14900 11300 10100 8800 8800 5000 3800 10 秒 8100 8800 10200 10200 10200 12600 12600 20300 22300 20900 22300 20900 23500 24900 18900 16800 14600 14600 c 6300 15 秒 11500 12500 14500 14500 14500 18000 18000 29000 31800 29800 31800 29800 33500 b 27000 24000 20800 20800 12000 9000 20 秒 16200 17600 20400 20400 20400 25200 25200 40600 44600 41800 44600 41800 47000 49800 37800 33600 29200 29200 16800 12600 25 秒 19600 21300 24700 24700 24700 30600 30600 a 54100 50700 54100 50700 57000 60400 45900 40800 35400 35400 20400 15300 30 秒 23000 25000 29000 29000 29000 36000 36000 58000 63600 59600 63600 59600 67000 71000 54000 48000 41600 41600 24000 18000

应 用 与 建 模

( 1) 当广告播放时间长度 n 一定, 电视广 告费 y 是 广告起播时刻 t 的函数, 请画出 当 n= 5 时, 从 17: 00 至 22: 00, y 与起播时 刻 t 的 函数 图像. 为 了简 便, 粗略 地 将表中的广告 时段中任意时刻都可 以作为 广告起 播时 刻. ( 2) 当广告起播时 刻 t 一定, 电视广 告费 y 是 广告 播放时间 长度 n 的函数, 若 将 t= 19: 32 时 的 y 记作 y = f ( n) , 请观察并写 出对于 以下 的 n: 10, 15, 20, 25, 30, 函数 y = f ( n) 之间的关系. ( 3) 试求表内阴影格中 a、 c 的值. b、 5. ( 满 分 18 分) 在 除夕 , 辞旧迎新张贴 福字. 现有 九张 同 样 的 正 方 形 福 字, 边 长 为 16cm, 想摆 成图 3 的/ 九福 临 门0 样式 贴 在墙 壁上. 将它 们 排上号, 正 上方 的福 字记 作 1 号, 按顺时针顺序 记其它 福字
图3

分别为 2~ 8 号, 中间 的福 字为 9 号. 现在 手头 并没 有 尺子和圆规, 只有 一张 A 4 纸 ( 21cm @ 29 7cm) 作为 辅 1 助工具, 且不能 在福字上、 上做标 记, 不能折 叠福字, 墙 不准撕开 A 4 纸. 请问: 若最先固定 了 1 号 福字, 采 用 什么 方法, 能 使图案/ 九福临 门0 摆 得 端正. 具 体 写出 2 号 福 字和 9 号福字的摆放方法. 6. ( 满分 18 分 ) 一个 上山 的旅 客知 道沿 途有 四 个 旅馆, 他只知 道 旅馆 的 档次 各 不 相同, 但不 知 哪 家 最 好, 而他想 住最 好的 那一个, 又 不想 走回头 路. 下面 有 三种选择办法: ( 1) 选择第 一个遇到的旅馆. ( 2) 不选 第一 个遇 到的 旅馆, 继 续向 前, 如 果遇 到 比前面的旅馆都好, 则选择它. ( 3) 不选 第一 个遇 到的 旅馆, 继 续向 前, 如 果遇 到 比前面都好的旅馆, 仍不选, 之 后再遇 到比前 面都好 的 旅馆, 则选它.

网址: zxs s. chin ajourn al. n et . cn

# 42 #

电子邮箱: zx ss@ ch inaj ou rnal . net . cn

中学生数学 # 2011 年 9 月上 # 第 425 期( 高中) 请问哪种 办法找到最好旅馆 的概率 最大. ( 由 于旅 客的目标是住 最好 的旅 馆, 而只 有碰 见一 个比 前面 见 到的旅馆都好时, 这个旅馆才 可能是 最好的. 旅客 只应 在这时决定是 否选择)

参考答案
1. 解 ( 1) h= a + b; cotA cotB 图5 图6

( 2) 和 h 小王 U 57m, h小 李 U 74m; ( 3) 小王测 量时, 由于 数值 a 较小, A 和 B 过于 接 近, 对测量和计算的误差影响 比较大. 因此 判断小 李测 得的数据及其 结果相对精确一些. 2. 解 根据/ 每一 级地 震释 放的 能量 都是 次一 级 地震的 31 7 倍0 , 用 E( m) 表示 m 震级释放 的能量, 对 1 E( m+ k) 于正 整数 k, = 31. 7k . 显见, 这 是自变 量为 正 E( m) 整数的指数函 数变化规律. E( m+ x ) 若考虑任意级差, 即取实数 x , 则 = 31 7 x . 1 E( m) 所以 E( 9) = 31. 70. 1 U 1. 413. 也就是, 这 次日本大地震 E( 8. 9) 3. 解 设计方案如 图所示.

( 2) 进而再 用同样的方法粘贴 3、 5、 7 号福字. 4、 6、 ( 3) 下面考 虑摆放 9 号福字, 经计 算知道 7、 号 福 3 字近端点( 点 C 和点 D ) 的 连线 长度 为 32cm, 而 A4 纸 的长边为 29 7cm, 小于 32cm, 但 A 4 纸 的对 角线 长 约 1 为 36 37cm, 于是 沿 对角 线 折 叠形 成 长 度为 36 37cm 1 1 的/ 直 尺0 . 然后 实施如下操作: 1 比对着福字对 角线, 在/ 直 尺0 中间 部分 折出 这 b 个长度印记 M , N ; 2 折叠出 M N 的中点折痕 O ; b 3 在点 O 两侧分别折出福字边长印记 P , Q; b 4 利用/ 直尺0 摆放 9 号福字, 使/ 直尺0 上的点 P、 b Q 分别与 点 C 和点 D 重合, 福字的 横向 的对角 线两 端 分别与点 M , N 重合.

应 用 与 建 模

释放的能量相当于美国全国近一个半月的能量消耗. 如 图 4, 正 方形 包 装 纸 A BCD 边 长 32cm. 印刷图 案 关 于 正 方 形 对 角 线 DB 对 称. 圆 O1 与 O2 的圆心在 对 角线 A C 上, 直径均为 12cm. O1 与 EF 的 距离 及 O 2 与 GH 的 距离均 在 6mm 至 8mm 之间. 4. 解 ( 1) 图略. ( 2) f ( 20) = 2f ( 10) , f ( 25) = f ( 10) + f ( 15) , f ( 30) = 2f ( 15) . ( 3) a= 49300, b= 35500, c= 8400. 5. 解 利用 A 4 纸的矩 形性质, 边是 直线 段, 角是 直 角, 由 于 福 字 的 对 角 线 长 度 约 为 16 @ 11 414 = 22 63cm, A 4 纸的长 边 29 7cm, 它大 于 22 63cm, 于是 1 1 1 即把 A4 纸当作直尺, 又把 A 4 纸 作为直角板. 为了减少 累进误差, 1 号 福字摆 好后, 采 用两 边对 称方法进行粘 贴. 摆放过程: ( 1) 例用 A 4 纸 的一 个直 角, 一边对 齐 1 号福 字的 对角线, 另一边就确定了 2 号福字的顶点 A 和边 A B , 2 号福字也就摆 放妥当. 同理摆放 8 号福字.
图4

图7

6. 解

我们用 1、 3、 来表示旅馆的 好坏, 其中 1 2、 4

最好, 2 次之, 3 再次之, 4 最差. 旅客碰到 的所有可能 情 形相当于 1、 3、 的全排 列( 共 24 种) . 例 如, 排列 4、 2、 4 2、 3, 表示旅客最早 见到 的是 4, 即 最差的 旅馆, 然 后 1、 见到 2, 这是 第二 好的旅 馆, 再往 前走, 见到 1, 即最 好 的旅馆, 最后见到 3. 第一种方法能找到最好 旅馆的 充分必要 条件是: 1 排在最前面. 显然 其概 率为 有 6 钟. ) 如果 2 排在 最前 面( 这 种排 法也 有 6 种) , 此 时 第 二种方法一定能 选到 最好 的旅 馆. 但 还有 其它 排列 方 法也能使第二种方法 找到 最好的 旅馆. 例 如, 1 排在 第 二位的情形. 1 . ( 1 排在 最前 面的 排 法 4

( 下转第 34 页)

网址: zxs s. chin ajourn al. n et . cn

# 43 #

电子邮箱: zx ss@ ch inaj ou rnal . net . cn

中学生数学 # 2011 年 9 月上 # 第 425 期( 高中) 即 f ( 0) 1 2
2

[ 0, 1 . 2

代 入 f ( 1) =

数 学 竞 赛 之 窗

1 得 2 1 2 1 . 2 ?

由于 f ( 0) 是一个 实数, 所以 f ( 0) = 再令 x = y = z = 1, 1 1 1 有 f ( 1) + f ( 1) - ( f ( 1) ) 2 \ , 2 2 4 1 即 f ( 1) 2
2

对 任意实数 x , 都有 f ( x ) \

综 合 ? 、 可得, 对任意实数 x , 都有 f ( x ) = ? 验证: 函数 f ( x ) =

[ 0, 于是

1 满 足题设 条件, 取 的是 等 2 1 . 2

号, 所以满足题设条件的 函数 的唯一 解为 f ( x ) =

1 由于 f ( 1) 是一个 实数, 所以 f ( 1) = . 2 又令 y = z = 0, 有 1 1 1 f ( 0) + f ( 0) - f ( x ) f ( 0) \ , 2 2 4 1 得 2 1 2 ?

[ 1 @ f ( 1) ] + [ 2 @ f ( 2) ] + [ 3 @ f ( 3) ] + , + [ 2011 @ f ( 2011) ] = 1 + 2 2 + 2 3 2 + 4 2 + ,+ 2011 2

代入 f ( 0) =

= 0+ 1+ 1+ 2+ 2+ 3+ 3+ ,+ 1005+ 1005 = 2 @ ( 1+ 2+ 3+ ,+ 1005) = ( 1+ 1005) @ 1005 = 1011030.

对任意实 数 x , 都 有 f ( x ) [ 又令 y = z = 1, 有

1 1 1 f ( x)+ f ( x ) - f ( x ) f ( 1) \ , 2 2 4

( 北京数学会普及委员会提供)

( 上接第 43 页)
为此, 我们用穷举的方法, 把 各种排列 写出来: ( 前 面已讨论过 1、 排在最前面的情 形, 这里可以略去. ) 2 3, 1, 2, 4, 4, 1, 1, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 4, 2, 1; 4, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 4, 3, 2, 1. 3, 2, 1, 4, 3, 2, 来稿须知 1. 稿 件的 内容 要新 颖、 形式 要活 泼, 以适 合 中学生阅读, 应避免写成教学交流文章. 2. 提倡短小精悍 的文章, 讲清 一、 个问 题, 两 不要追求"大 而全" . 稿 一般不 超过 1500 字, 中学 生习作栏目的稿件更要注意求简求精. 3. 来稿请用 300 或 400 字稿 纸誊清, 打 印稿 应留有一定的行距、 距( 每行 40 个 字) ; 文 稿中 字 的外文字母 要分清语 种、 大写 、 小写 、 正体 、 体; 斜 数学符号、 图形 要清 楚、 范, 容 易混 淆的 字 母、 规 符号在第一次出现时请 用铅笔 注明; 文稿中 的计 算要准确. 4. 来稿请在 左上 方 注明 文稿 适 合初 中生 还 是高 中 生 阅读, 标题 下 方请 写 明 作者 的 通讯 地 址、 邮编、 作者姓名. 如果排列 是 4, 3, 2, 1, 那么上述三种方法都无法 找到最好旅馆 . 第二种方 法找到最好旅馆的概率最大. 5. 来稿切 忌一稿多 投, 如 发现抄袭现 象我们 将作出公开 批评. 来 稿一 律不 退, 请 作者 自留 底 稿. 4, 2, 1, 3, 4, 2, 3,

欢迎投稿

不难看出 用第二种 方法 能找 到最好 旅馆 的排 列, 除了前面所说- 2 排在最前面. 的 6 种外, 还有这里的下 述 排法: 3, 1, 2, 4, 2, 3, 11 . 24 3, 4, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 共 5 种. 因此, 用第二种方法找到最

好旅馆的概率 是

用第三种 方法能找到最好旅馆的排列是: 3, 2, 1, 4, 1, 1 . 4 3, 2, 4, 1, 4, 3, 1, 2, 共 6 种. 因 此, 第三 种方法找 到最好旅

馆的概率, 和 第一 种 方法 找 到旅 馆 的概 率 一样 , 也是

( 北京高中数学知识应用竞赛组委会提供)

网址: zxs s. chin ajourn al. n et . cn

# 34 #

电子邮箱: zx ss@ ch inaj ou rnal . net . cn


第十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

第十一届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题参考解答 2008 年 3 月 23 日 1.(满分 20 分) 北京市出租车计价是如下规定的:行程在 3 公里以内 10 元;大于...

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案

高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、(满分...尝试用数学分析出合理的解答。 3. (满分 20 分)...第四届北京高中数学知识... 7页 免费 第四届北京...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题答案解析(扫描版)

高中教育 学科竞赛第​十​六​​北​京​高​中​数​学​知​识​应​用​竞​赛​决​赛​试​题​答​案​解​...

第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答_学科竞赛_高中教育_教育专区...第十届北京高中数学知识... 4页 免费 第十四届北京高中数学知... 4页 免费...

第03届北京高中数学知识应用竞赛决赛

第03届北京高中数学知识应用竞赛决赛_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。第三届北京高中数学知识应用竞赛试题 1、 (满分 15 分) 《中华人民共和国个人所得...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题(扫描版无答案)

第五届北京高中数学知识... 3页 免费 第十四届北京高中数学知... 4页 1下载...​应​用​竞​赛​决​赛​试​题​,​可​为​竞​...

北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案 参考答案: 四、解 要估算 2000 年 18 岁的人口数.由于 2000 年的统计资料我们还不能按集到,我们根据以往的 算...

第05届北京高中数学知识应用竞赛决赛

第05届北京高中数学知识应用竞赛决赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。 今日推荐 180份文档 2014证券从业资格考试 2014证券资格证券交易高分突破试卷及答案 2014年证券考试...

第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第十六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答 ©2014 Baidu 使用百度前必读 | 文库协议...