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广西陆川县中学2015-2016学年高一下学期基础知识竞赛数学试题(PDF版)


陆川县中学 2016 年春季期 高一年级数学基础知识竞赛试题
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案,请把你认为正确的 答案填在答题卡上 ,答在试卷上的一律无效 .) ........ ..........
1 .已知 A ? x ? 2 ? x ?

7 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 ? ? ,若 A ? B ? A ,则

?

?

?

?





A. ? 3 ? m ? 4

B. ? 3 ? m ? 4
1

C. 2 ? m ? 4

D. 2 ? m ? 4 )

2 .设集合 M ? {y | y ? x 2 ,1 ? x ? 9} , N ? {x | y ? log2 (2 ? x)} ,则图中阴影部分表示的集合为 (

A. {x | 2 ? x ? 3}
1.1

B. {x |1 ? x ? 2}
3.1

C. {x |1 ? x ?

3} D. ?
( )

3 .设 a ? log 3 7, b ? 2 , c ? 0.8

,则 C. c ? b ? a

A. b ? a ? c

B. c ? a ? b

D. a ? c ? b )

4 . 一束光线自点 P(1,1,1) 发出, 遇到 xOy 平面被反射, 到达点 Q(3,3,6) 被吸收, 那么光所走的路程是 (

A. 37
5 .设函数 f ( x) ? ?

B. 47

C. 33 , f ( ?2) ? f (log 2 12) ? C. 9

D. 57 ( D. 12 )

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

A. 3

B. 6

6 .已知两个不同的平面 ?、? 和两个不重合的直线 m, n ,有下列四个命题:

①若 m / / n, m ? ?,则n ? ? ;

②若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? ;

③若 m ? ? , m / / n, n ? ? , 则? ? ? ; ④若 m / /? , ? ? ? ? n,则m / / n . 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( C. 12
2 2





7 .函数 f ( x) ? 2 x ? 18 ? 3 x 的最大值为



A. 10

B. 2 3

D. 15 ( )

8 .已知半径为 1 的动圆与圆 ( x ? 5) ? ( y ? 7) ? 16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是

A. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 25 C. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 9

B. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 17 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 15 D. ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 25 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 9

高一数学试卷 第 1 页 共四页

9 .已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为





1

1 1 2

3
1 侧视图

正视图 2

3
俯视图

19 19 ? D. ? 12 3 x?2 2 2 10.若实数 x, y 满足 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 的取值范围为 ( ) y?4 4? ? 3? ?4 ? ? ? 4 ? A. ? 0, ? B. ? , ?? ? C. ? ? ?,? ? D. ? ? ,0 ? 3? ? 4? ?3 ? ? ? 3 ? 9 11.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 3 的正三角形.若 P 为底面 4 PA A1 B1C1 的中心,则 与平面 A1 B1C1 所成角的大小为 ( ) 5? ? ? ? A. B. C. D. 12 3 4 6 12. 已知偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x 2 , 则关于 x 的方程 f ( x) ? 10?| x| 10 10 在 [ ? , ] 上根的个数是 ( ) 3 3
A. ? B. C. A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 共 90 分) 请把你认为正确的答案填在答题卡上 , ........

4 3

16 ? 3

第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 答在试卷上的一律无效 .) ..........
13. 经过两条直线 2 x ?

y ? 3 ? 0 和 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点,并且与直线
.

2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为
14.已知 f (

1 ? x 1 ? x2 )= ,则 f ( x ) 的解析式为____ 1? x 1 ? x2

___.

15.一个几何体的三视图如图所示,其侧(左)视图是一个等边三角形,则这

个几何体的体积是____________ .
高一数学试卷 第 2 页 共四页

16.若函数 f ( x ) ? log a ( x ? ax ? 2) 对于任意的 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 ?

2

a 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 a 2

的取值范围是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.答案写在答题卡上 ,答在试卷上的一律无效 , ........ ..........
解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知集合 A ? ? x |

? ?

2 x ?1 ? ? 1, x ? R ? ,集合 B ? ? x x ? a ? 1, x ? R? . x ?1 ?
(2)若 B ? ?R A ? B ,求实数 a 的取值范围.

(1)求集合 A ;

18.不用计算器求下列各式的值:
1 2 0 ?2 ? 9 ?2 ? 27 ? 3 (1) ? ? ? ? ?9.6 ? ? ? ? ? ?1.5 ? ? ?4? ? 8 ?

?? ? 4 ?

2



4

(2) log 3

27 ? 2 log 5 10 ? log 5 0.25 ? 71? log7 2 . 3

19.直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 .

(1) 求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)若 P 为 A1 B1 的中点, 求证: DP / / 平面 BCB1 ,且 DP / / 平面 ACB1 .

高一数学试卷 第 3 页 共四页

20.已知 x, y ? R 有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f

? y? .

(1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,证明: f ? x ? 在 R 上为增函数; (3)在条件(2)下,若 f ?1? ? 2 ,解不等式: f x ? 1 ? f ? 2 x ? 5 ? ? 4 .

?

2

?

21. 在三棱锥 S ? ABC 中,?ABC 是边长为 2 的正三角形, 平面 SAC ? 平面 ABC ,SA ? SC ?

3 ,E, F

分别为 AB, SB 的中点. (1)证明: AC ? SB ; (2)求锐二面角 F ? CE ? B 的余弦值.

22.已知圆 C : x

2

? y2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

(Ⅰ)若过定点( ?2, 0 )的直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程;

? 的直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求线段 AB 的中点 P 的坐标; 6 (Ⅲ) 问是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦为 EF ,且以 EF 为直径的圆经过原点?若存 在,请写出求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅱ)若过定点( ?1, 0 )且倾斜角为

高一数学试卷 第 4 页 共四页

陆川县中学 2015 级高一(下)基础知识竞赛试题参考答案
一、选择题 1. 2.

D A 解 析 : 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 (CU N ) ? M . ? N ? {x | y ? log 2 (2 ? x )} ? (??, 2) ,
1

? CU N ? [2, ??) ,又 M ? { y | y ? x 2 , x ? [1 , 9]} ? [1,3] ,故 (CU N ) ? M ? [2,3] .
3.

B 解析:1 ? log 3 3 ? a ? log 3 7 ? log 3 9 ? 2, b ? 211 ? 2 , c ? 0.83.1 ? 0.80 ? 1 ? c ? a ? b ,故答案为 B.

4.

D

解 析 : 设 Q 点 关 于 平 面 xOy 的 对 称 点 为 Q? , 则 所 求 路 程 为 PQ ? 的 长 . 由 题 意 知

Q?(3,3,?6) .?| PQ? |? (1 ? 3)2 ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 6)2 ? 57 .
5.

C 解析:由已知得 f ( ?2) ? 1 ? log 2 4 ? 3 ,又 log 2 12 ? 1 ,所以 f (log 2 12) ? 2

log 2 12 ?1

? 2log 2 6 ? 6 ,故

f (?2) ? f (log 2 12) ? 9 ,故选 C.
6.

D. 解析:对于①,因为 m ? ? ,所以直线 m 与平面 ? 所成的角为 90 ,又因为 m ∥ n ,所以直线 n 与 平面 ? 所成的角也为 90 ,即 n ? ? 命题成立,故正确; 对于②, 若 m ? ? ,m ? ? , 则经过 m 作平面 ? , 设 ? ? ? ? a ,? ? ? ? b , 又因为 a ? ? ,b ? ? , 所以在平面 ? 内, m ? a , n ? b ,所以直线 a 、 b 是平行直线.因为 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,所以
0

0

a ∥ ? .经过 m 作平面 ? ,设 ? ? ? ? c ,? ? ? ? d ,用同样的方法可以证出 c ∥ ? .因为 a 、c 是平
面 ? 内的相交直线,所以 ? ∥ ? ,故正确; 对于③,因为 n ? ? , m ∥ n ,所以 n ? ? .又因为 n ? ? ,所以 ? ? ? ,故正确; 对于④, 因为 m ∥ ? ,? ? ? ? n , 当直线 m 在平面 ? 内时,m ∥ n 成立, 但题设中没有 m 在平面 ? 内这一条件,故不正确.综上所述,其中正确命题的个数是 3 个,应选 D.
7.

C 解析:设18 ? 3 x ? 0 ,得 x ? 6 ,又函数 f ( x ) 在定义域上显然是增函数,所以当 x ? 6 时, f ( x ) 取 最大值 f (6) ? 12 ,选 C.

8.

D 解 析 : 设 动 圆 的 圆 心 为 ( x, y ) . 若 两 圆 外 切 , 则 圆 心 距 等 于 两 圆 半 径 之 和 , 所 以 有

( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 1 ? 4 ? 5 ,即 ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 25 ;若两圆内切,则圆心距等于两圆半径之
差,所以有 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,即 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 9 .故选 D
高一数学试卷 第 5 页 共四页

9.

D 解析 :由 三 视图 可知 此几 何 体为 正三 棱 柱,其 中 底面 边长 为 2, 高为 1 ,则 外接 球的 半 径

1 2 3 2 19 19? R ? ( )2 ? ( ) ? ,? S球 ? 4? R 2 ? ,选 D. 2 3 12 3
10. A 解析:令

x?2 2 2 =t,即 ty-x-4t+2=0,表示一条直线,又方程 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 化为 y?4

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 表示圆心为(1,1)半径为 1 的圆,由题意直线与圆有公共点,∴圆心(1,1)到直
线 ty-x-4t+2=0 的距离 d ?

t ? 1 ? 4t ? 2 1? t2

∴ 4t 2 ? 3t ? 0 , ∴0 ? t ? ? r ? 1,

3 3 , 又 t≠0, 故0 ? t ? , 4 4



x?2 的取值范围为,故选 A y?4

11. B 解析:如图所示,∵ AA1

? 底面 A1B1C1 ,∴ ?APA1 为 PA 与

平 面 A1 B1C1

所成角,∵平面 ABC ∥平面 A1 B1C1 ,∴ ?APA1 为 PA 与平面

ABC 所成角,
AA1 ? 3 , 又

∵ S ?A1 B1C1 ?

3 ? 4

? 3?

2

?

3 3 3 3 9 ,∴ V ? AA1 ? ,解得 4 4 4

P


为 底 面 正 三 角 形

A1B1C1 的 中 心 , Rt ?APA1
中 ,

PA1 ?

2 2 3 A1 D ? ? ? 3 ?1 在 3 3 2

tan ?APA1 ?
12. B

AA1 ? ? 3 ,∴ ?APA1 ? ,故选 B. 3 PA1

解析: 由 题意可得, f ( x ? 2) ? f ( x) .即函数 f ( x ) 为周期为 2 的周期函数, 又 f ( x ) 是偶函数, 所

以,在同一坐标系内,画出函数 f ( x ) , y ? 10?|x| ? ( 个数, 就是方程 f ( x) ? 10?| x| 在 [ ? 交点,故选 B .

1 | x| 10 10 ) 的图象,观察它们在区间 [ ? , ] 的交点 10 3 3

10 10 , ] 上根的个数, 结合函数图象的对称性, 在 y 轴两侧, 各有 3 个 3 3

二、填空题

高一数学试卷 第 6 页 共四页

13. 3x ? 2 y ? 4 ? 0 解析:由 ?

?x ? 2 ? 2x - y ? 3 ? 0 解得 ? ,则两直线的交点为 ?2, 1? ?4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?y ?1 3 2 ,则所求的直线的斜率为 3 2

直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 的斜率为 ?

故所求的直线为 y ? 1 ?
14. f ( x) ?

3 ?x ? 2 ? 即 3x ? 2 y ? 4 ? 0 2

2x 解析:这是复合函数的解析式求原来函数的解析式,应该首选换元法 x ?1 1? x t ?1 2t 2x 2x 令 ? t ,则 x ? ,∴ f (t ) ? 2 .∴ f ( x) ? 2 . 故应填 1? x t ?1 1 ? x2 t ?1 x ?1
2

15. 8 3 ?

4 3 ? 解析:观察三视图可知,该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体,圆锥底半径为 3

4 2 ,四棱锥底面边长分别为 3, 4 ,它们的高均为 42 ? ( )2 ? 2 3 , 2
所以,该几何体体积为 ? ? ? 22 ? 2 3 ? ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 8 3 ?
16. 解析:当 x1 ? x2 ?

1 1 2 3

1 3

4 3 ?. 3

a 2 2 时,函数 u ? x ? ax ? 2 单调递减,而此时 f ( x ) ? log a ( x ? ax ? 2) 也是单调递 2
?1? a ? 2 2 .

减,故 ?
三、解答题

?a ? 1
2 ?? ? a ? 8 ? 0

17.解析:(1)由

2 x ?1 x?2 ? 1 ,得 ?0 x ?1 x ?1

所以 A ? ? ?1, 2?

(2) ?R A ? ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? 由 B ? ?R A ? B ,得 B ? ?R A

B ? ? a ? 1, a ? 1?
所以 a ? 1 ? ?1 或 a ? 1 ? 2

所以 a 的范围为 ? ??, ?2? ? ? 3, ?? ?

2 18. 解:(1)原式 ? ?1? ( ( )

9 4

1

? 3? 27 ? 3 3 3 2? 3 ) ? ( ) ? 2 ? ? ? 4 ? ( ) 2 ? 1 ? (3) 3 ? ( ) ? 2 ? 4 ? ? 8 2 2 2

2

1

2

?

3 3 3 9 ? 1 ? ( ) ?2 ? ( ) ?2 ? 4 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2

(2) ? log 3
? 1 4

3 ? log 5 ?100 ? 0.25? ? 71 ? 7 log7 2 3

3 4

? log 3 3

? log 5 5 2 ?

7 1 7 21 ? ? ?2? ? . 2 4 2 4
高一数学试卷 第 7 页 共四页

19.证明: (Ⅰ) 直棱柱

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥平面 ABCD,? BB1⊥AC.……2 分

又? ∠BAD=∠ADC=90°, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , ∴ AC ? 2 ,∠CAB=45°,∴ BC ? 2 ,? BC⊥AC. ………… 5 分[ 又 BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,? AC⊥平面 BB1C1C.………… 7 分
1 (Ⅱ)证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖AB,且 PB1= 2 AB.…………2 分 P 1

又∵DC‖AB,DC= 2 AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1,…4 分 ∴DC B1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP. 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖面 ACB1…6 分 同理,DP‖面 BCB1. …………7 分
20. 解:1)? x, y ? R 有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f

? y?

令 x ? y ? 0 得 f ? 0 ? ? 0 又令 y ? ? x 得

即 x ? 2x ? 6 ? 0
21.

2

解得1 ? 7 ? x ? 1 ? 7

解:(1)证明:取 AC 中点 O ,连结 SO , BO . ∵ SA ? SC ,AB ? AC , ∴ AC ? SO 且 AC ? BO, ∴ AC ? 平面 SOB ,又 SB ? 平面 SOB ,∴ AC ? SB . (2)设 OB 与 C E 交于点 G,取 OB 中点为 M,作 MH 于点 H,连结 FM,FG. ? 平 面 SAC ? 平 面 ABC 且 AC ? SO ,

S

? C E 交 CE

? SO ? 平面ABC
O

F C G H A E M B

? SO // FM ? FM ? CE ,



? FM ? 平面BCE



高一数学试卷 第 8 页 共四页

从而 CE ? 平面FMH .? CE ? FH ,? ?FHM 是二面角 F ? CE ? B 的平面角.

由 ?GHM ~ ?GEB 得 HM ?

1 3 2 ,在 Rt ?FMH 中 FM ? , FH ? , 4 2 4

? cos ?FHM ?

HM 1 1 ? ,故锐二面角 F ? CE ? B 的余弦值为 . FH 3 3

22. 解析:(Ⅰ)根据题意,设直线 l 的方程为: x ? my ? 2

联立直线与圆的方程并整理得: m ? 1 y ? ? 4 ? 6 m ? y ? 4 ? 0

?

2

?

2

? ? 20 m 2 ? 48m 所以 20m 2 ? 48m ? 0, m1 ? 0, m2 ?
从而,直线 l 的方程为: x ? ?2或5 x ? 12 y ? 10 ? 0 (Ⅱ)根据题意,设直线 l 的方程为: x ?

12 5

3y ?1

代入圆 C 方程得: 4 y 2 ? 4 1 ? 3 y ? 1 ? 0 ,显然 ? ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则 y1 ? y2 ? 3 ? 1, x1 ? x2 ? 1 ? 3 所以点 P 的坐标为 ?

?

?

? 1? 3 3 ?1 ? , ? ? 2 2 ? ? ?

(Ⅲ)假设存在这样的直线 l : y ? x ? b 联立圆的方程并整理得: 2 x ? ? 2b ? 2 ? x ? b ? 4b ? 4 ? 0 当 ? ? ?4 b ? 6b ? 9 ? 0, ? ?3 ? 3 2 ? b ? 3 2 ? 3 设 E ? x3 , y3 ? , F ? x4 , y4 ? 则 x3 ? x4 ? ? ? b ? 1? , x3 x4 ? 所以 y3 y4 ?
2 2

?

2

?

1 2 ? b ? 4b ? 4 ? 2

1 2 ? b ? 2b ? 4 ? 2

因为以 EF 为直径的圆经过原点,所以 OE ? ? x3 , y3 ? , OF ? ? x4 , y4 ? , OE ? OF ? 0

?

?

?

?

? x3 x4 ? y4 y4 ? 0,即b 2 ? 3b ? 4 ? 0 ? b1 ? 1, b2 ? ?4

均满足 ?3 ? 3 2 ? b ? 3 2 ? 3 .

所以直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 (Ⅲ)法二:可以设圆系方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? ? ? x ? y ? b ? ? 0
2 2

高一数学试卷 第 9 页 共四页

则圆心坐标 ? ?

? ? ?2 ? ?4? , ? ,圆心在直线 y ? x ? b 上,且该圆过原点.易得 b 的值. 2 2 ? ?

高一数学试卷 第 10 页 共四页


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