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数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题


高中数学课题研究

几何体与球切、接的问题
纵观近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题 综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看, 这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不 易之外,主要是学生没有

形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年 高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在 这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见. 首先明确定义 1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这 个球是这个多面体的外接球。 定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是 这个多面体的内切球.

1 球与柱体的切接
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合, 通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体

如图所示,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,设正方体的棱长为 a , E , F , H , G 为棱的中点, O 为球的球心.常 见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形 EFGH 和其内切圆,则 OJ ? r ?

a ;二 2

是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFGH 和其外接圆,则 GO ? R ?

2 a ;三是球为正方体的 2

? 外接球,截面图为长方形 ACAC 1O ? R ? 1 1 和其外接圆,则 A

3 a .通过这三种类型可以发现,解决正方 2

体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的 位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.

1

(1) 正方体的内切球, 如图 1. 位置关系: 正方体的六个面都与一个球都相切, 正方体中心与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ? a .

(2) 正方体的外接球, 如图 2. 位置关系: 正方体的八个顶点在同一个球面上; 正方体中心与球心重合; 数据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ? 3a .

(3)正方体的棱切球,如图 3. 位置关系:正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球心重合; 数 据关系:设正方体的棱长为 a ,球的半径为 r ,这时有 2r ? 2a .
2

例 1 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别是棱 AA1 , DD1 的 中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为( A. ) D. 2

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

思路分析:由题意推出,球为正方体的外接球.平面 AA1DD1 截面所得圆面的半径 R ? 线 EF 被球 O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面 AA1DD1 截面所得圆面的半径

AD1 2

?

2 , 得知直 2

R?

AD1 2

?

2 , ? EF ? 面AA1DD1, ? 直线 EF 被球 O 截得的线段为球的截面圆的直径 2 R ? 2 . 2

点评:本题考查球与正方体“接”的问题,利用球的截面性质,转化成为求球的截面圆直径. 1.2 球与长方体 例 2 自半径为 R 的球面上一点 M , 引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC , 求 MA ? MB ? MC 的值.
2 2 2

思路分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉 的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联. 【解析】以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥 M ? ABC 补成一个长方体,则另外四个 顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.

? MA2 ? MB 2 ? MC 2 = (2R) 2 ? 4R 2 .
点评:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.. 例 3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为( A. 16? B. 20? C. 24?
3

).

D. 32?

思路分析:正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2,可得长方体的 长、宽、高分别为 2,2,4,长方体内接于球,它的体对角线正好为球的直径. 【解析】正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2,因此,长方体 的长、宽、高分别为 2,2,4,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径.长方体体对角线 长为 2 6 ,故球的表面积为 24? .故选 C. 点评:本题考查球与长方体“接”的问题,利用长方体的性质,转化成为求其体对角线.

2

球与锥体的切接

规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态 进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 正四面体与球的切接问题 (1) 正四面体的内切球,如图 4. 位置关系:正四面体的四个面都与一个球相切,正四面体的中心与球 心重合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有 4 R ? h ? 明)

6 a; (可以利用体积桥证 3

(2) 正四面体的外接球,如图 5. 位置关系:正四面体的四个顶点都在一个球面上,正四面体的中心与 球心重合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有 4R ? 3h ? 6a ; (可用 正四面体高 h 减去内切球的半径得到)

4

(3) 正四面体的棱切球,如图 6. 位置关系:正四面体的六条棱与球面相切,正四面体的中心与球心重 合; 数据关系:设正四面体的棱长为 a ,高为 h ;球的半径为 R ,这时有 4 R ? 3h ?

2a , h ?

6 a. 3

例 4 设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之 比. 思路分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之 间的关系,依靠体积分割的方法来解决的. 【解析】如图,正四面体 ABCD 的中心为 O , ?BCD 的中心为 O1 ,则第一个球半径为正四面体的中心到 各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离. 设 OO1 ? r, OA ? R ,正四面体的一个面的面积为 S .

5

依题意得 V A? BCD ?

1 S (R ? r) , 3

又 V A? BCD ? 4VO ? BCD ? 4 ?

1 r?S 3

? R ? r ? 4 r 即 R ? 3r .

4 3 ?r 内切球的表面积 4?r 2 1 内切球的体积 1 3 ? ? 所以 . . ? ? 2 4 3 27 外接球的表面积 4?R 9 外接球的体积 ?R 3

点评:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面 体高的四等分点,即定有内切球的半径 r ? 2.2 其它棱锥与球的切接问题 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截 面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三 棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面 的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如, 四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置. 例 5 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积. 思路分析:此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积法可得:

1 h ( h 为正四面体的高),且外接球的半径 R ? 3r . 4

VP? ABC ? VO?PAB ? VO?PAC ? VO?PBC ? VO? ABC ,得到 R ?

2 3 ? 6 ?2. 2 3 ?3

【解析】如图,球 O 是正三棱锥 P ? ABC 的内切球, O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径 R .

6

是正三棱锥的高,即 PH ? 1 .是 BC 边中点, H 在 AE 上,

?ABC 的边长为 2 6 ,∴ HE ?

3 ?2 6 ? 2 . 6
1 BC ? PE ? 3 2 . 2

∴ PE ?

3

可以得到 S ?PAB ? S ?PAC ? S ?PBC ?

S ?ABC ?

3 (2 6 ) 2 ? 6 3 4

由等体积法, VP? ABC ? VO?PAB ? VO?PAC ? VO?PBC ? VO? ABC ∴ ? 6 3 ?1 ?

1 3

1 1 ?3 2 ? R?3? ?6 3 ? R 3 3

得: R ?

2 3 ? 6 ?2, 2 3 ?3
4 3 4 ?R ? ? ( 6 ? 2) 3 . 3 3

∴ S球 ? 4?R2 ? 4? ( 6 ? 2)2 ? 8(5 ? 2 6 )? .

∴ V球 ?

点评:球心是决定球的位置关键点,本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径 R 来求出 R , 以球心的位置特点来抓球的基本量,这是解决球有关问题常用的方法. 例 6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是. 思路分析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径.而作为 填空题,我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造 长方体,由侧棱长均相等,所以可构造正方体模型. 【解析】此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径.而作为填 空题,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上 构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图 1,则 AC=BC=CD ? 3 ,那么三棱锥的外 接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是 9? .(如图 1)

7

E A
A

D
D

B
B C

C

图1

图2

点评:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题,这是解决几何体 与球切接问题常用的方法. 例 7 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 是球 O 的 直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( A. )

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

思路分析:?ABC 的外接圆是球面的一个小圆, 由已知可得其半径, 从而得到点 O 到面 ABC 的距离.由 SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离即可求得棱锥的体积.

?ABC 的外接圆半径为 r ? 【解析】

3 6 2 2 , SC 为球 O 的直径 ? , 点 O 到面 ABC 的距离 d ? R ? r ? 3 3

点 S 到面 ABC 的距离 2d ?

1 1 3 2 6 2 2 6 ? ? ,选 A . , 此棱锥的体积为 V ? S?ABC ? 2d ? ? 3 3 3 4 3 6

点评:本题难度不大,主要是利用转化与化归思想,将棱锥高应用球的几何性质计算得到.

3

球与球相切问题

对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题,要根据丰富的空间想象力,通过准确确定各个小球的球心的 位置,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解. 例 8 已知有半径分别为 2、3 的球各两个,且这四个球彼此相外切,现有一个球与此四个球都相外切,则此球 的半径为. 思路分析:结合图形,分析四个球的球心 A、B、C、D 的位置,知 AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设 AB 中点为 E、CD 中点为 F,连结 EF.在△ABF 中可得 BF ?

21 ,在△EBF 中可得 EF ? 2 3 .
8

由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上,连结 OA、OD.设第五个球的半径为 r,根据 OE+OF=EF 建立 r 的方

程. 【解析】如图:设四个球的球心分别为 A、B、C、D,则 AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设 AB 中点为 E、CD 中点 为 F,连结 EF.在△ABF 中求得 BF= 21 ,在△EBF 中求得 EF= 2 3 . 由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上,连结 OA、OD.设第五个球的半径为 r,则 OA=r+3,OD=r+2,于是 OE=

? r +3?

2

? 32 = r 2 +6r ,OF=

? r +2?

2

? 22 = r 2 +4r ,∵OE+OF=EF

∴ r 2 +6r + r 2 +4r =2 3 ? r 2 +6r =2 3 ? r 2 +4r 平方整理再平方得

11r 2 +60r ? 36=0 解得 r =
D

6 6 或 ?6 (舍掉) ,故答案为 . 11 11

5

5

F
4

O
5

C
5

A E 6 B

点评:本题通过分析球心的位置,根据它们构成的几何体特征,转化成平面几何中三角形边角关系,利用 方程思想得解. 例 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与 前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离. 思路分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体 的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2. 【解析】四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点,则正四面体的高 h ?

2 2 ? (2 ?

3 2 2 6 . ) ? 3 3

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1,且三个球心到桌面的距离都为 1,故第四个球的 最高点与桌面的距离为 2 ?

2 6 . 3
9

点评:本题难度不大,主要是利用转化与化归思想,将棱锥高应用球的几何性质计算得到.

4

球与几何体的各条棱相切问题

球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通 过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半: r ? ?

2 a. 4

例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内, 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为() A.l0 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30cm

思路分析:根据题意球心 O 在图中 AP 上,过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N,ON=R,OM=R,由各个棱都 为 20,得到 AM=10,BP=20,BM=10,AB= 10 2 ,设 ?BPA ? ? ,在 Rt ? BPM 中,由 BP ? BM ? PM ,
2 2 2

得 PM ? 10 3 .在 Rt ? PAM 中, 由 PM ? AM ? AP ,得 PA ? 10 2 .在 Rt ? ABP 中得,
2 2 2

sin ? ?

ON R AB 10 2 2 R 2 ? ? ? ? ,在 Rt ? ONP 中得, sin ? ? ,从而 , OP ? 2 R .在 OP OP OP 2 BP 20 2

Rt ? OAM 中, 由 OM 2 ? AO 2 ? AM 2 ,建立方程 R2 ? (10 2 ? 2R)2 ? 100 即可得解.

【解析】如图所示,由题意球心在 AP 上,球心为 O,过 O 作 BP 的 垂线 ON 垂足为 N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为 20,所以 AM=10,BP=20,BM=10,AB= 10 2 ,设 ?BPA ? ? , 在 Rt ? BPM 中, BP ? BM ? PM ,所以 PM ? 10 3 .在 Rt ? PAM 中, PM ? AM ? AP ,所以
2 2 2 2 2 2

10

PA ? 10 2 .在 Rt ? ABP 中, sin ? ?

ON R AB 10 2 2 ? ? ? ,在 Rt ? ONP 中, sin ? ? ,所以 OP OP BP 20 2

R 2 2 2 2 2 2 ? ,所以 OP ? 2 R .在 Rt ? OAM 中, OM ? AO ? AM ,所以, R ? (10 2 ? 2R) ? 100 ,解 OP 2
得, R ? 10 或 30(舍),所以, R ? 10cm, 故选 B.

点评:本题难度较大,主要是利用转化与化归思想,将问题转化成平面几何问题,应用三角形中的边角关 系,建立 R 的方程.

5

球与旋转体切接问题

首先画出球及其它旋转体的公共轴截面,然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系. 例 11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 思路分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与几何体之间元 素的关系. 【解析】如图,等边 ?SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形 C1CDD1 ,截球面得球的大圆圆 O1 . 设球的半径 OO1 ? R ,则它的外切圆柱的高为 2 R ,底面半径为 R ;

OB ? O1O ? cot30? ? 3R ,
∴ V球 ?

SO ? OB ? tan60? ? 3R ? 3 ? 3R ,
1 V锥 ? ? ? ( 3R) 2 ? 3R ? 3?R 3 , 3

4 3 ?R , V柱 ? ?R2 ? 2R ? 2?R3 , 3

V柱∶ V锥 ? 4 ∶ 6 ∶ 9. ∴ V球∶

点评:本题充分利用轴截面,将问题转化成平面几何问题,应用三角形中的边角关系,建立与球半径 R 的
11

联系. 例 12 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和; (2)球的半径 为多少时,两球体积之和最小. 思路分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球的球心连线也 应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图的截面图,在图中,观察 R 与 r 和棱长间的 关系即可. 【解析】如图,球心 O1 和 O2 在 AC 上,过 O1 , O2 分别作 AD, BC 的垂线交于 E , F . 则由 AB ? 1, AC ? 3 得 AO1 ? 3r, CO2 ? 3R .

? r ? R ? 3(r ? R) ? 3 ,

?R ? r ?

3 3 ?1

?

3? 3 . 2

(1)设两球体积之和为 V , 则V ?

4 4 ? ( R 3 ? r 3 ) ? ? (r ? R)( R 2 ? Rr ? r 2 ) 3 3

=

? 4 3 3? 3 3 2 3 3 4 3 3 ) ? 3R ( ? R)? ? ( R ? r ) 2 ? 3rR ? ? ?( 3 2 ? 2 2 3 2 ?

?

?

=

4 3 3 ? 2 3(3 ? 3 ) 3? 3 2? ? R?( ) ? ?3R ? 3 2 ? 2 2 ?

当R ?

3? 3 3? 3 时, V 有最小值.? 当 R ? r ? 时,体积之和有最小值. 4 4

点评:本题充分利用轴截面,将问题转化成平面几何问题,应用三角形中的边角关系,建立与球半径 r , R 的 联系,将球的体积之和用 r 或 R 表示,应用二次函数的图象和性质确定其最小值.本题综合性较强,是函 数与立体几何相结合的典例.

12

综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点, 通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体 的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶 点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊 的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相 结合,题目的难易不一,在复习中切忌好高骛远,应重视各种题型的备考演练,重视高考信息的搜集,不 断充实题目的类型,升华解题的境界.

13


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