nbhkdz.com冰点文库

均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答:经典)

时间:2016-01-16


利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典)
一.基本不等式的常用变形 1.若 x ? 0 ,则 x ?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” );若 x ? 0 ,则 x ? ? ? 2 (当且仅当 x x
(当且仅当____________时取“=” )

_____________时取“

=” ) 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 2.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a 若 ab ? 0 ,则

(当且仅当____________时取“=” )

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

(当且仅当_________时取“=” )

注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时,可 以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例 1 已知 x, y ? R ,且满足
?

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 ________。 3 4 x y xy (当且仅当 ? ,即 x=6,y=8 时取等号), 3 3 4

解:因为 x>0,y>0,所以

x y x y ? ?2 ? ? 3 4 3 4

于是

xy ? 1 ,? xy ? 3. ,故 xy 的最大值 3. 3

变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求 解:∵ log 4 x ? log 4 y ? 2

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y
?log4 xy ? 2
即 xy=16

1 1 11 2 1 ? ? ?2 ? ? x y xy xy 2
技巧二:配凑项求 例 2:已知 x ? 解:? x ?

当且仅当 x=y 时等号成立

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

5 1 1 ? ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x ? 例 3. 当 解: 当

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。
1

变式:设 0 ? x ? 解:∵ 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 4. 求 y ? x ?1

解: 当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

练习:1、已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 2、 0 ? x ?

x(1 ? x) 的最大值.;

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x)
1 9 ? ? ? ? 1 , ? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y xy ? x y?

技巧三: “1”的巧妙利用(常数代换) 错 .解 .: ? x ? 0, y ? 0 , 且 故

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y? 2
1 9 ? ?2 x y 9 等号成立条件是 1 x xy

xy等 号 成 立 条 件 是 x ? y , 在

?

9 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此, y

在利用基本不等式处理问题时, 列出等号成立条件是解题的必要步骤, 而且是检验转换是否 有误的一种方法。

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解:? x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y
当且仅当

1 9 y 9x ? 时, 上式等号成立, 又 ? ? 1, 可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值
2

2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
a b

(3) 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 A .8
a

1 1 ? 的最小值为( a b

) .

B .4
b

C. 1

D.

1 4

解析:因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 。 又 a ? 0, b ? 0, 所以 当

1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅 a b a b a b a b

b a 1 ? 即 a ? b ? 时取“=” 。故选(B) . a b 2

技巧五: 注意: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 应结合函数 f ( x ) ? x ? 的单调性。例:求函数 y ?

a x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增, 所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数, 故y? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. ( 1 )

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

y?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) x



2



y ? 2x ?

1 ,x ?3 x ?3

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x
y2 =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

的最大值. 技巧六、已知 x,y 为正实数,且 x 2+

a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 x· 1 y2 + 2 2
3

1 , 2

x 1+y 2 = x

1 +y 2 2· 2

= 2

下面将 x,

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2
2



1 y + 2 2

x 2+( ≤ 3 4 2

1 y2 + 2 2 2

)2

y2 1 x 2+ + 2 2 = 2



3 4

即 x

1+ y 2 = 2 · x

1 y2 + 2 2



1 技巧七:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数 问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不 等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值, 考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1 16 t· t

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1, 1<t<16, ab= =-2 (t+ ) +34∵t+ ≥2 t t t =8 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;② 2

如 何 由 已 知 不 等 式 ab ? a ? 2b ? 30 出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到 (a, b ? R ?)

a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换 2

为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧八、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2 3x + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y) =20 ∴ W≤ 20 =2 5
4

变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些 变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。

技巧 9:消元
y2 x, y, z 为正实数, x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 xz 的最小值是_________. 例 1.设 x ? 3z 解:由x, z ? 0, y ? , 可得 2 y 2 x 2 ? 9 z 2 ? 6 xz 6 xz ? 6 xz = ? ? 3, xz 4 xz 4 xz y 当且仅当x ? 3z,即x ? y, z ? 时,取“=”. 3 2 y 故 的最小值为3. xz 技巧 10.换元

y?
例 1. 求函数

x?2 2 x ? 5 的最大值.

解:令 x ? 2 ? t , t ? 0, x ? t 2 ? 2, 则 (t ? 0) 2t ? 1 当t ? 0时,y ? 0;
2

y?

t

当t ? 0时,y ?

1 2t ? 1 t

?

1 2 2t ? 1 t

?

2 4

1 2 当且仅当2t = ,即t ? 时,取等号. t 2 3 2 所以x ? ? 时,取最大值为 . 2 4

练习题:
1 1 1 1.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且 α=a+ ,β=b+ ,则 α+β 的最小值为( 2 a b A.2 B.3 C.4 D.5 8 x y 2. 已知三个函数 y=2x,y=x2,y= 的图象都过点 A,且点 A 在直线 + =1(m>0,n>0) x m 2n
5

)

上,则 log2m+log2n 的最小值为________. 1 1 1 3. 已知正数 a,b,c 满足:a+2b+c=1 则 + + 的最小值为________. a b c → → 4. 设 M 是△ABC 内一点,且AB· AC=2 3,∠BAC=30° ,定义 f(M)=(m,n,p),其 1 1 4 ? 中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(M)=? ?2,x,y?,则x+y的最小值 是________. 5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量 Q(万件)与广 3x+1 告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= (x≥0).已知生产此产品的年固定投入为 3 万元, x+1 每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元, 若每件销售价为“年平均每件生产成本的 150%” 与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?

2 1 2 xy ? ? x, y, z 满足 x ? 3xy ? 4 y ? z ? 0 , 则当 z 取得最大值时 , x y z 的最大 6. 设正实数
2 2

值为





A.0

B.1
2 2

9 C. 4
2

D.3

7.已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则a ? 4b ? 9c 的最小值为 ______.

1 4 ? 8. 已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a b 的最小值是 7 9 A. 2 B.4 C. 2
9. 设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2 x ? y 的最大值是 10.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是
2 2

D.5 . 。

11. 设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 的最小值是 ? ab a ? a ? b ?
(D)4

(A)1 B. 4 11.

(B)2 C.

(C)3 D.

11 2

a+b 1 1 1 1 1 1 习题答案: 1. ∵ 为 a、 b 的等差中项, ∴a+b= ×2=1.a+ +b+ ?1+ + =1+ 2 2 a b a b ab a+b ?a+b?2 1 1 =1+ ,∵ ab≤ ,∴ab≤ = .∴原式≥1+4.当且仅当 a=b=1/2 时,∴α+β 的 ab 2 4 4

6

最小值为 5.故选 D. 2. x y 由题易得,点 A 的坐标为(2,4),因为点 A 在直线 + =1(m>0,n>0)上,所以 1 m 2n 2 4 · ,∴mn≥16,所以 log2m+log2n=log2(mn)≥4,当且仅当 m=n=4 时,故 m 2n

2 4 = + ≥2 m 2n

log2m+log2n 的最小值为 4. 3.[答案] 6+4 2 [ 解析 ] 1 1 1 a+2b+c a+2b+c a+2b+c ?2b a? ?c a? ?c 2b? + + = + + = ? a +b? + ?a+ c? + ?b+ c ? + a b c a b c

4≥2 2+2+2 2+4=6+4 2, 2b a c a c 2b 等号在 = , = , = 同时成立时成立. a b a c b c 即 a=c= 2b=1- 4.[答案] 18 → → → → [解析] ∵AB· AC=|AB|· |AC|cos30° = 3 |AB|· |AC|=2 3,∴|AB|· |AC|=4, 2 2 时等号成立. 2

1 由 f(M)的定义知,S△ABC= +x+y, 2 1 又 S△ABC= |AB|· |AC|· sin30° =1, 2 1 ∴x+y= (x>0,y>0) 2 1 4? 1 4 y 4x 1 ? y 4x? ∴ + =2(x+y)? ?x+y?=2?5+x+ y ?≥2(5+2 4)=18,等号在x= y ,即 y=2x=3时 x y 1 4? 成立,∴? ?x+y?min=18. 5. [解析] (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为 x ×150%+ ×50%, Q 32Q+3 x ∴年销售收入为( ×150%+ ×50%)· Q Q Q 3 1 = (32Q+3)+ x, 2 2 3 1 ∴年利润 W= (32Q+3)+ x-(32Q+3)-x 2 2 -x2+98x+35 1 = (32Q+3-x)= (x≥0). 2 2?x+1? (2)令 x+1=t(t≥1),则
7

32Q+3 Q

W=

-?t-1?2+98?t-1?+35 t 32? =50-? ?2+ t ?. 2t t 32 · =8,即 W≤42, 2 t

t 32 ∵t≥1,∴ + ≥2 2 t

t 32 当且仅当 = ,即 t=8 时,W 有最大值 42,此时 x=7. 2 t 即当年广告费为 7 万元时,企业利润最大,最大值为 42 万元.

2 10 5 6.B;7.12;8.C;9.

10.解析:考察均值不等式

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 11. 解 析 :

2

a2 ?

1 1 ? ab a ? a ? b ?

w_w

w.

k#s 5_u.c

o*m



a 2 ? ab ? ab ?

1 1 ? ab a(a ? b)



ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ≥2+2=4,当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 ab a (a ? b)

如取 a= 2 ,b= 答案:D

2 满足条件. 2

8


均值不等式求最值的常用技巧

均值不等式求最值的常用技巧_初三数学_数学_初中教育...x +1 练习:1、已知 0 < x < 1 ,求函数 y ...绝对经典搞笑照片 78份文档 笑翻神图 爆笑图片汇集...

经典均值不等式练习题

经典均值不等式练习题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式均值不等式又名基本不...5 4 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4x ? 5 技巧 2:分离...

均值不等式求最值的十种方法

均值不等式求最值的方法技巧一、几个重要的均值不等式 a2 ? b2 (a、b...评注:本题借助取等号的条件,创造性地使用基本不等式,简洁明了。 例8 若 x3 ...

利用均值不等式求最值的九种技巧

利用均值不等式求最值的九种技巧_高三数学_数学_高中...不等式易错题剖解 利用均值(基本)不等式求最值是...绝对经典搞笑照片 68份文档 新市场营销法则 助推企业...

均值不等式基本解题技巧

均值不等式基本解题技巧_数学_高中教育_教育专区。均值不等式解题技巧基本不等式求最值常用技巧(一正,二定,三相等) 例 1:求下列函数的值域 1 1 2 (1)y=3x...

用均值不等式求最值的方法和技巧

2 二、用均值不等式求最值的常见的方法技巧 1、求几个正数和的最小值。 ...评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利 ? a?b ...

用均值不等式求最值的方法和技巧1

b2 。 2 二、用均值不等式求最值的常见的方法技巧 1、求几个正数和的最...评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利 2 ? a?...

用均值不等式求最值的方法和技巧

2 二、用均值不等式求最值的常见的方法技巧 1、求几个正数和的最小值。 ...评注 本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利 ? a?b ...

基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式(均值不等式)技巧_数学_高中教育_教育专区。基本不等式习专题之基本不...2 解析:由知, ,利用基本不等式求最值, 必须和为定值或积为定值, 此题为...

高中均值不等式讲解及习题

技巧二:凑系数 例 1. 当时,求 y ? x (8 ? 2 x ) 的最大值。 解析:由知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为 定值,此题为两个式子积的...