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四川省树德中学2014-2015学年高一数学下学期4月月考试题

时间:2016-03-15


高 2014 级第二期 4 月阶段性测试数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的). 1. sin15? cos15? 的值等于 1 2 1 4 ( )

A.

B.

C.

>
3 2

D.

3 4
( )

2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为 A. 5 B. 6 C . 8 D. 10 (

3.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形

)

D.正三角形 ( D.30 ( ) )

4.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= 5 A. 6 B. 6 5

n 1 ,则 等于 n+1 a5
C. 1 30

5.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 B.最小正周期为 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

6. 如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在点 A 的同侧的河岸边选定一点

C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点
的距离为 A. 50 2 C. 100 2 B. 25 2 D.10 2 ( D.
2 2





7.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A·tan B,则 C 等于 A. 2π 3 B. π 3 C. π 6

) π 4

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc,sin C=2 3sin B, 则 A 等于 A.30°
*

( B.60° C.120° D.150°

)

9.设{an} (n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误 .. 的是

-1-

( A.d<0

) B.a7=0
*

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

10.已知数列{an}满足 an+2+an =2an+1(n∈N ) ,且 a5= 记 yn ? f (an ) ,则数列{yn}的前 9 项和为 A.0 B.-9

? 2 x ,若函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos , 2 2
( ) D.1 1 4 , 面积 S 满足 1≤S≤2, 记 a, ( )

C.9

11.已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin C[cos(A-B)+cosC]=

b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是
A.bc(b+c) ≤8 B.bc(b+c)>8 C.12≤abc≤24

D.6≤abc≤12

12.函数 f(x)=

x x 2sin cos ? 1 2 2 ( 0 ? x ? 2? )的值域是 x x 3 ? 2cos x ? 4sin cos 2 2
B.[-1,0] C.[- 2,0 ]





A.[-

2 ,0 ] 2

D.[- 3,0 ]

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上). 13.

1 ? tan15? = ____________. 1 ? tan15?

14.设 ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,向量 m ? ( 3 sin A,sin B) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若

?? ?

?

?? ? ? m ? n ? 1 ? cos( A ? B ) ,则 C =____________.
15. 数列{an}满足

1 1 1 a1+ 2 a2+?+ n an=2n+5,则 an= 2 2 2

.

16.如图,A 是两条平行直线 l1 , l2 之间的一个定点,且 A 到 l1 , l2 的距离分别为 AM ? 1, AN ? 2 , 设 ?ABC 的另两个顶点 B,C 分别在 l1 , l2 上运动,且 AB ? AC ,
N C l1

AB AC ,则以下结论正确的序号是____________. ? cos ?ABC cos ?ACB 1 2 ① ?ABC 是直角三角形;② 的最大值为 2 ; ? AB AC
③ (S四边形MBCN )min ? (S?ABC )min ? (S?AMB ? S?ACN )min ; ④设 ?AMB 的周长为 y1 , ?ACN 的周长为 y2 ,则 ( y1 ? y2 )min ? 10

A l2 M B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

-2-

π? π? ? 2? 16.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) = 3sin?2x- ?+2sin ?x- ? (x∈R). 6? ? ? 12? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求使函数 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合.

17.(本题满分 10 分)在等差数列{an}中,a3=k,a9=12. (1)当k=6 时,求数列{an}的前 n 项和为 Sn; (2)若 bn=n +6an 且对于任意 n∈N ,恒有 bn+1>bn 成立,求实数k 的取值范围 .
2 *

18.(本题满分 12 分)树德中学高一数学兴趣班某同学探究发现:?ABC 的内角 A, B, C 所对的
2 边为 a, b, c ;在 ?ABC 中有以下结论:①若 ab ? c ;则 0 ? C ?

?
3

;②若 a ? b ? 2c ;则
2 2 2

0?C ?

?
3

;③若 a,b,c 成等比数列(即 b =ac), 则 0 ? B ?
2

?

3

;④若 a ,b ,c 成等比数

列,亦有 0 ? B ?

?
3;

他留下了下面两个问题,请你完成:

(I)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); 2 2 2 (II)若 a ,b ,c 成等差数列,求 B 的取值范围. (参考公式: (1) x, y ? R, x ? y ? 2xy;(2) x, y ? R , x ? y ? 2 xy ;当且仅当x=y时取等 )
2 2 ?

19.(本题满分 12 分)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点

sin 2( ? ? ) ? 4cos 2 ? 2 P(3,1),α ∈(0,π ), β ∈(0,π ), tan(? ? ? ) ? . 3? 2 10cos ? ? cos( ? 2? ) 2
(1)求 tan(α —β )的值; (2)求 tan β 的值. (3)求 2α -β 的值.

?

20. (本题满分 12 分)△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若二次函数满足 f (? x) ? f ( x) ,
-3-

f (0) =- , f (1) =

1 4

3 B 且 f (cos ) =0. 4 2
3 7 ,△ABC 的外接圆半径为 3 3

(1)求角 B 的大小; 15 (2)若△ABC 的面积为 4

,求△ABC 的周长.

21.(本题满分 14 分)已知△ABC 中, AC ? 2BC ; (1)若 CD 是角 C 的平分线,且 CD=kBC,求 k 的取值范围; (2)在(1)的条件下,若 S?ABC =1,当 k 为何值时,AB 最短? (3)如果 AB=2,求三角形 ABC 的面积的最大值。

高 2014 级第四期 4 月阶段性测试数学试题参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1—5: B A C D D ; 6—10: A B A C C ; 11—12: B B .

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)
-4-

13. 3 ;

14.

?14(n ? 1) 2? ; 15. an ? ? n?1 ; 16.① ② ④; ? 3 ?2 (n ? 2, n ? N )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) π? π? 1 3 ? ? π? ? 16.解 (1)因为 f ( x ) = 3sin?2x- ?+1-cos 2?x- ?=2[ sin?2x- ?- 6 12 6? 2 2 ? ? ? ? ? π? π? π? π? ?? ? ? cos?2x- ?]+1=2sin??2x- ?- ?+1=2sin?2x- ?+1,所以 f ( x ) 的最小正周期 T= 6 6 3? ? 6? ? ? ? ?? 2π =π . ????5 分 2 π? π π 5π ? (2)当 f ( x ) 取得最大值时, sin?2x- ?=1, 此时 2x - =2kπ + (k∈Z), 即 x=kπ + 3 3 2 12 ? ? 5π (k∈Z),所以所求 x 的集合为{x|x=kπ + ,k∈Z}.??????10 分 12

?a1 ? 2d ? 6 ?a1 ? 4 , , ? ? a1 ? 8d ? 12 d ?1 ? ? 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则由已知,得 解得
n( n ? 7) . ??????5 分 2 (12 ? k )n ? 9k ? 36 (2)由 bn+1>bn 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an= ’所以 6
则 an=a1+(n-1)d=n+3.所以 Sn= bn=n +6 an=n +(12-k)n+9k-36,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N , 所以
2 2 *

k ? 12 3 < ,即得 k<15.??????10 分 2 2

18.解:(I)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).????6 分

(II)∵a , b, c 成等差数列, ∴2b =a +c .由余弦定理得 cosB=

2

2

2

2

2

2

a +c -b = 2ac

2

2

2

a2 ? c2 ?

a2 ? c2 2 2ac

(????10 分)

a2 ? c2 1 1 = ≥ ,当且仅当 a=c 时等号成立,∴cosB 的最小值为 .(也可转化为“对勾函数” 2 2 4 ac
做。) ∴0 ? B ?

?
3

???12 分

-5-

1 19.解 (1)由已知 tanα = .∵tan(α —β )= 3
2 2

π 2 sin 2? -α ?+4cos α 2 = 2 10cos α -sin 2α

sin 2α +4cos α 2sin α cos α +4cos α 2cos α ?sin α +2cos α ? = = = 2 2 10cos α -sin 2α 10cos α -2sin α cos α 2cos α ?5cos α -sin α ?

1 ?2 sin α +2cos α tan α +2 3 1 = = ? .??3 分 5cos α -sin α 5-tan α 1 2 5? 3 1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 (2)tan β =—tan[(α —β )-α ]=— = 2 3 ? ? ??????7 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 1 ? 1 7 2 3
分 1 2× 3 1 π 2tan α 3 π (3)∵tan α = >0,∴0<α < ,又∵tan 2α = = = >0,∴0<2α < ,∴ 2 3 2 1-tan α 1 4 2 ? ?2 1-? ? ?3? 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β 1 π tan(2α -β )= = =1.∵tan β =- <0,∴ <β <π ,-π <2α 1+tan 2α tan β 3 1 7 2 1- × 4 7

-β <0,
3π ∴2α -β =- .??12 分 4

(如果多个答案,没判断范围扣 2 分)

1 1 1+cos B 1 B 2B 2 20.解:(1)由已知易得 f ( x) ? x - ,又 f (cos ) =0,∴cos = ,即 = , ∴cosB 4 2 4 2 4 2 1 2π =- .又 B∈(0,π ),∴B= .??????6 分 2 3 (2)∵△ABC 的外接圆半径为 7 3 3 ,∴根据正弦定理 =2R 得, = sin B 2π sin 3

b

b

14 3

3



1 15 3 2 2 2 ∴b=7.又 S△ABC= acsinB= ,∴ac=15.在△ABC 中,根据余弦定理得,b =a +c - 2 4 2accos B,即 a +c -30cos
2 2

2π 2 2 2 2 2 =49,a +c =34,∴(a+c) =a +c +2ac=64, 3

∴a+c=8,∴△ABC 的周长等于 15.??????12 分

21.解:(1) 设 BC= x ,则 AC= 2 x , ?ACD ? ?BCD ? ? ,则

-6-

S?ABC =
k?

1 1 2 x.x sin 2? = kx sin ? ( x ? 2 x) ,∴ 2 2

2 sin 2? 2 2 cos ? ? ? , ? ? (0, ),? k ? (0, 4 ? 2 2) .(4 分) 2 (1 ? 2)sin ? 1? 2
2 2 2 2 2 2

(2)据余弦定理 AB ? x ? 2 x ? 2 2 x cos 2? ? 3x ? 2 2 x cos 2? ,又 S?ABC =

1 2 2 x sin 2? =1, 2

AB 2 ? x 2 ? 2 x 2 ? 2 2 x 2 cos 2? ? 3x 2 ? 2 2 x 2 cos 2? ?

2(3 ? 2 2 cos 2? ) = sin 2?

2? (3 ? 2 2)sin 2 ? ? (3 ? 2 2) cos 2 ? ? 2(3 ? 2 2 cos 2? ) ? ? ? 2sin ? cos ? 2sin ? cos ?
?
2 2 ? 2? ?(3 ? 2 2)sin ? ? (3 ? 2 2) cos ? ?

2sin ? cos ?

?

2? ( 2 ? 1)2 ? 2 ( 2 ? 1) tan ? ? ? ? ? 2 .当 2 ? tan ? ?

且仅当= tan ? ?

2 ?1 2 2 cos ? 2 2 2 ?1 2 3 时取等,∴ k ? 时 AB ? ? ? 3 1? 2 1 ? 2 ( 2 ? 1)2 ? ( 2 ? 1) 2 1? 2

最短 2. ??????9 分 (3)设 BC= x ,则 AC= 2 x ,根据面积公式得 S?ABC = 根据余弦定理得 cos B ?

1 AB ? BC sin B ? x 1 ? cos 2 B , 2

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 ? x 2 ? 2 x 2 4 ? x 2 ? ? ,代入上式得 2 AB ? BC 4x 4x
2

2 ? 128 ? ? x2 ? 12 ? ? 4 ? x2 ? ? 2x ? x ? 2 , 由三角形三边关系有 解得 S?ABC = x 1 ? ? ? ? ? 16 x ? 2 ? 2 x ? 4x ? ? ?

2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 ,故当 x2 ? 12, x ? 2 3 时 S?ABC 取最大值

128 ? 2 2 .?14 分 16

-7-


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