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江苏省赣榆高级中学2016届高三上学期数学周练2


赣榆高级中学 2016 届高三数学试卷周练(2) 必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上, 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=________. 答案:0 或 3 解析:∵ A∪B=A,∴ B ? A.又 A={1,3, m},B={1,m

},∴ m=3 或 m= m.由 m= m得 m=0 或 m=1.但 m=1 不符合集合中元素的互异性,故舍去,故 m=0 或 m=3. 2.在 复平面内,复数 对应的点位于第________象限.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则与几何意义即可得出. 解答: 解:在复平面内,复数 于第 二象限. 故答案为:二. 点评:本题考查了复数的运算法则与几何意义,属于基础题. 3.函数 y ? 1 ? 2 ?
x

=

=

对应的点



1 的定义域为________. x?3

答案: (?3,0] π 4.设 0<θ< ,向量 a=(sin2θ ,cosθ ),b=(cosθ ,1),若 a∥b,则 tanθ =__________. 2 1 答案: 2 解析:因为向量 a∥b,所以 sin2θ-cos2θ=0.又 cosθ≠0,所以 2sinθ=cosθ,故 tanθ= 1 . 2 5.如图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低 分后,所剩数据的方差为________. 考点:茎叶图. 专题:概率与统计. 分析:利用茎叶图,先求出所剩数据的平均数,再求出方差. 解答: 解:该选手去掉一个最高分 96,去掉一个最低分 79,所剩数据的平均分是 = (84+84+84+86+87+91+93)=87, ∴方差为 s = [(84﹣87) +(84﹣87) +(84﹣87) +(86﹣87) +(87 ﹣87) +(91﹣87) +(93﹣87) ]=
2 2 2 2 2 2 2 2



故答案为:



点评:本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与方差的问题,是基础题. 6.执行如图所示的流程图,输出 n 的值为________. 答案:6
?n=2, ? ? ? ?n=3, ?n=4, 解析:由题知流程图执行如下:第 1 次? 第2次 ? 第3次 ? ?S=1, ?S=3, ?S=7, ? ? ? ? ? n = 5 , n = 6 , ? ? 第 4 次? 第5次 ? 停止输出 n=6. ?S=15, ?S=31. ? ?

7.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
答案:

.

1 2

8.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 . 答案:

2 5

9. 若有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是________.(填序号) ① 若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ② 若 m ? α,n ? α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③ 若 α⊥β,m ? α,则 m⊥β; ④ 若 α⊥β,m⊥β,m ? α,则 m∥α. 答案:④ 解析:如图(1),β∥α,m ? β,n ? β,有 m∥α,n∥α,但 m 与 n 可以相交,故①错; 如图(2),m∥n∥l,α∩β=l,有 m∥β,n∥β,故②错;如图(3),α⊥β,α∩β=l, m ? α,m∥l,故③错.故选④.

10.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f(2)=__________. 答案:- 2 2

π 3 8 2π 3 3 解析:由题知 T=2,从而 T= = ,∴ ω= π.令 x=1,得 π×1+φ= ,得 φ=- 4 3 ω 4 4 2 π , 4 π 2 3 从而 f(x)=sin? πx- ?,从而 f(2)=- . 2 4? ?4 11.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x ?m

?1( m ? R )为偶函数,则不等式 f ( x) ? 1 的解集



.

【答案】 ( ?1,1) 【解析】显然有 m ? 0 ,则 f ( x) ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 x2 y2 12. 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e.若椭圆上存在点 P, a b PF1 使得 =e,则该椭圆离心率 e 的取值范围是________. PF2 答案:[ 2-1,1) PF1 2ae 解析: ∵ = e ,∴ PF1 = ePF2 = e(2a - PF1) , PF1 = . 又 a - c≤PF1 ≤ a + c ,∴ a - PF2 1+e 2ae 2ae 2e c≤ ≤a+c,即 a(1-e)≤ ≤a(1+e),亦即 1-e≤ ≤1+e,解得 e≥ 2-1.又 0<e 1+e 1+e 1+e <1,∴ 2-1≤e<1. (备用题)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ,若 f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 ,则实数 m 的取值范围 为 . 答案:-2<m<1.
2 ? ?? x , x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为________. ? ? x ? 2 x, x ? 0
x x

答案: (??, 3]

? 2x ? a ? x ? 1? ? 14 .设函数 f ? x ? ? ? 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围 ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
________. 答案:

1 ? a ? 1或a ? 2 . 2

二、解答题:本大题共 6 小题.15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) x2 y2 ? ? 1 为双曲线的实数 t 的集 已知集合 A ? t t ? 2 ? a, a ? 0 , B 表示使方程 2t ? 1 2t ? 7 合. (1)当 a ? 3 时,判断“ t ? A ”是“ t ? B ”的什么条件; (2)若“ t ? A ”是“ t ? B ”的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

?

?

解(1)由已知 A ? {t | 2 ? a < t < 2 ? a ,a > 0} . 又 a ? 3 ,∴ A ? {t | ?1 ? t ? 5} , ∵方程

????????1 分 ????????2 分

x2 y2 ? ? 1 要表示双曲线,∴ (2t ? 1)(2t ? 7) ? 0 , 2t ? 1 2t ? 7

7 1 ? t ? ,∴集合 B ? {t | ? 7 ? t ? 1 }. 2 2 2 2 ∵“ t ? A ” ? / “t ? B ” 且“ t ? B ” ? / “t ? A” ∴“ t ? A ”是“ t ? B ”的既不必要也不充分条件. (2)∵“ t ? A ”是“ t ? B ”必要不充分条件, ∴ B 是 A 的真子集.
解得 ?
? ?a ? 0 ∴? 1 ? ?a ? 2 ? 2 ? 7 ? 2?a ? ? ? 2 ?

???????4 分

???????7 分 ???????9 分

???????12 分

11 11 . 所以 a 的取值范围 [ , ?? ) . ??14 分 2 2 16. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a、b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程
∴ a≥ f(x)=2x 有等根. (1) 求 f(x)的解析式; (2) 是否存在实数 m、n(m<n),使 f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]?如果存 在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由. 解:(1) f(x)=-x2+2x. 1 (2) 由 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,知 fmax(x)=1,∴ 4n≤1,即 n≤ <1.故 f(x)在 4 [m,n]上为增函数, ? ? ?f(m)=4m, ?m=-1, ∴ ? 解得? ?f(n)=4n, ?n=0, ? ? ∴ 存在 m=-1,n=0,满足条件. 17.(本小题满分 14 分) 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1) 求证:f(x)是周期函数; (2) 当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3) 计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)的值. (1) 证明:因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2) 解:因为 x∈[2,4],所以-x∈[-4,-2],4-x∈[0,2],所以 f(4-x)=2(4-x)-(4- x)2=-x2+6x-8.又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+ 8,x∈[2,4]. (3) 解:因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=0, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2)=1. 18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1) 若 a=3 时,求 f(x)的单调区间;

(2) 若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存 在,说明理由. 解:(1) 当 a=3 时,f(x)=x3-3x-1, ∴ f′(x)=3x2-3,令 f′(x)>0 即 3x2-3>0,解得 x>1 或 x<-1,∴ f(x)的单调增区间为 (-∞,-1)、(1,+∞),同理可求 f(x)的单调减区间为(-1,1). (2) f′(x)=3x2-a.∵ f(x)在实数集 R 上单调递增, ∴ f′(x)≥0 恒成立,即 3x2-a≥0 恒成立,∴ a≤(3x2)min. ∵ 3x2 的最小值为 0,∴ a≤0. (3) 假设存在实数 a 使 f(x)在(-1,1)上单调递减, ∴ f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立,即 a≥3x2.又 3x2∈[0,3),∴ a≥3.∴ 存在实数 a 使 f(x)在(-1,1)上单调递减,且 a≥3. 19.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? a, a2 ? p (常数 p ? 0) ,其前 n 项和 S n 满足 S n ? (1)求 a 的值; (2)判断数列 ?an ? 是否为等差数列?若是,求出其通项公式,若不是,请说明理由; (3)令 bn ?

n(a n ? a1 ) . 2

S n? 2 S n?1 ? (n ? N ? ) , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? 2n ? 3 . S n?1 S n? 2
???????3 分

1(a1 ? a1 ) ? 0 ,∴ a ? 0 . 2 na (n ? 1)a n ?1 ⑵由⑴知 S n ? n ,则有 S n ?1 ? , 2 2
解:⑴ n ? 1 时, a1 ? S1 ?

∴ 2an?1 ? 2(S n?1 ? S n ) ? (n ? 1)an?1 ? nan ,即 (n ? 1)an?1 ? nan , n ? N ?????5 分 ∴ nan?2 ? (n ? 1)an?1 , 两式相减得 2an?1 ? an?2 ? an , n ? N ? ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , n ? N ∴数列 ?an ? 是等差数列. 又 a1 ? 0, a2 ? p ,∴ an ? a1 ? (n ? 1) p ? p(n ? 1) ⑶由⑵知 ?an ? 为等差数列,∴ S n ? na1 ? ∴ S n ?1 ? ∴ bn ?
?

?

???????7 分 ???????9 分

n(n ? 1) p , S n?2 2

n(n ? 1) n(n ? 1) p p? , 2 2 (n ? 1)( n ? 2) p ? . ???????10 分 2
???????12 分

S n? 2 S n?1 n ? 2 n 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2( ? ) S n?1 S n? 2 n n?2 n n?2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2n ? 2?(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 )? ? 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 ? ? ?

? 2n ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ) ? 2n ? 3 ? 2( ? ) ? 2n ? 3 ,??????15 分 2 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2
???????16 分

即 Tn ? 2n ? 3 . 20.(本小题满分 16 分) 己知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x, a ? R 2

(1)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; (3) 若

a ? ?2 , 正 实 数

x1 , x2 满 足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 , 证 明 :

x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

解: (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,………………………………………1 分 2 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 ,
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x
……………………………………… 2 分

f ?( x) ?

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) . ………………………………………… 4 分

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.……………………………………6 分

当 a ? 0 时,

?ax2 ? (1 ? a) x ? 1 g ?( x) ? ?? x
1 . a 1 a

1 a( x ? )( x ? 1) , a x

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ?? ) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ?? ) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

……………………………………………………………………8 分 令 h( a ) ?

1 ? ln a , 2a 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. …………………………………………………………10 分

方法二: (2)由 f ( x) ≤ ax ? 1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

ln x ? x ? 1 问题等价于 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2 ln x ? x ? 1 g ( x) ? 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .………………………………………… 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 ( x 2 ? x) 2 2 a≥
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 x 2

不妨设 ?

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 . 2

当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? .………………………8 分 所以 g ( x) max ? g ( x0 ) ? 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2 1 1 1 因为 h( ) ? ln 2 ? ? 0 , h(1) ? ? ? 0 2 2 4
所以

1 1 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2 ,即 g ( x)max ? (1, 2) . x0 2

所以 a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.……………………………………………… 10 分 (3)当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
2

………………………………… 13 分

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ,
2

………………………………………………………15 分

所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 , 因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 ………………………………………………………… 16 分欢迎 成立. 2

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