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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】精要课件 直线与圆锥曲线

时间:2013-11-11


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2.5

【学习要求】 1.通过类比直线与圆的位置关系,学会判断直线与椭圆、双曲 线、抛物线的位置关系.
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2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长,以及直线与圆锥曲线 的综合问题. 【学法指导】 用直线与圆锥曲线的方程研究它们的位置关系, 是典型的数形

结合思想; 在解方程组的过程中体会“设而不求法”并培养学 习毅力和探索、创新精神.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.5

相交 相切 相离 1.直线与圆的位置关系有________、________或________三种情
两个 况 , 可 以 分 别 由 直 线 与 圆 有 ________ 不 同 的 公 共 点 、
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没有 有且只有一个 ________________公共点或________公共点来确定.直线与圆
公共点 的____________问题,可以转化为它们的方程所组成的方程组

求解 ____________的问题,从而用代数的方法来判断直线与圆的 位置 ________关系.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.5

两 2.直线与椭圆的公共点个数存在三种可能,分别为______个、 没有 相交 ______个、________公共点,相应地就说直线与椭圆______, 一 相离 相切 ________,________. 一个 3.直线与双曲线、抛物线相切时有________公共点,但当直线与
本 双曲线、抛物线有一个公共点时,直线与它们的位置关系可能 专 题 相切 相交 ________,也可能________. 栏 目 4.若直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 开 关 2 2 2

则弦长|AB|=

1+k |x2-x1| = ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2] .

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2.5

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 问题 1 怎样判断直线与圆锥曲线的交点个数?
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答案

直线和圆锥曲线的交点个数问题可以转化为它们的方

程联立而成的方程组解的个数问题. 如果由方程组得到一个二 次方程,则可以根据根的判别式确定交点个数.

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2.5

问题 2 直线和圆锥曲线只有一个交点,是否可以说直线与 圆锥曲线相切? 答案 不可以.因为当直线与椭圆只有一个公共点时,直线
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与椭圆相切;而当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的 轴平行时,也只有一个公共点,但不是相切. 问题 3 一条直线过椭圆内一点,能否确定直线和椭圆的交

点个数?
答案 能.若直线过椭圆内一点,则该直线与椭圆一定有两 个交点.

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2.5

y2 例 1 已知双曲线 x2- =1,直线 l 过点 P(1,1),当 k 为何 2 值时,直线 l 与双曲线 C:(1)有一个公共点;(2)有两个公
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共点;(3)无公共点?
解 设直线 l:y-1=k(x-1),即 y=kx+(1-k). ?y=kx+?1-k?, ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1, ? 得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.(*)

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2.5

当 k2-2=0,即 k=± 2时,(*)式只有一解,直线 l 与双曲线 相交,只有一个公共点. 当 k2-2≠0 时,Δ=24-16k, 3 若 Δ=0,即 k= ,方程(*)只有一解,直线与双曲线相切, 2 只有一个公共点; 3 若 Δ>0,即 k< ,方程(*)有两解,直线与双曲线相交,有两 2 个公共点; 3 若 Δ<0,即 k> ,方程(*)无解,直线与双曲线无公共点. 2 3 综上,(1)当 k=± 2或 k= 时,直线 l 与双曲线只有一个公 2 共点;

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3 (2)当 k< 且 k≠± 2时,直线 l 与双曲线有两个公共点; 2 3 (3)当 k>2时,直线 l 与双曲线无公共点.
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2.5

小结 在讨论直线与双曲线的位置关系时, 要先讨论得到 的方程二次项系数为零的情况,再考虑 Δ 的情况,而且 不要忽略直线斜率不存在的情形.

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2.5

跟踪训练 1 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公 共点,求此直线方程.

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显然,直线存在斜率 k,

设其方程为 y-2=k(x+3),
?y-2=k?x+3? ? 由? 2 ?y =4x ?

消去 x,整理得 ky2-4y+8+12k=0



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(1)当 k=0 时,方程①化为-4y+8=0,即 y=2, 此时过(-3,2)的直线方程为 y=2,满足条件.
(2)当 k≠0 时,方程①应有两个相等实根.
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?k≠0 ? 由? ?Δ=0, ? ?k≠0 ? 即? ?16-4k?8+12k?=0 ?

2.5



1 得 k= 或 k=-1. 3 1 ∴直线方程为 y-2= (x+3)或 y-2=-(x+3), 3 即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0. 故所求直线有三条,其方程分别为 y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.

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探究点二 中点弦及弦长问题

2.5

问题 1 圆锥曲线的弦长是否一定要先求交点坐标,再利用 两点间距离公式求得?
答案
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弦长问题一般采用“设而不求”法,利用根与系数

的关系来求. 设直线 y=kx+b 与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1),B(x2, 1 2 y2),则|AB|= 1+k |x1-x2|或|AB|= 1+ 2|y1-y2|. k 另外要注意直线斜率不存在的情形.

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问题 2
答案

2.5

处理中点弦问题一般采用什么办法?
处理中点弦问题的基本方法是点差法,根与系数的

关系,直线与抛物线方程联立时消 y 有时更简便些.此类
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问题还要注意斜率不存在的情况,避免漏解.一般地,抛 物线 y2=2px (p>0)上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)及 AB 中点 p p P(x0,y0),则 kAB= ,直线 AB 的方程:y-y0= (x-x0), y0 y0 y0 线段 AB 的垂直平分线的方程:y-y0=- (x-x0).使用 p 此种方法要验证直线与抛物线有两个交点.

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2.5

例2
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已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它

恰好被点 P 平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

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解 方法一 设直线上任意一点坐标为(x,y), 弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).
2 2 ∵P1,P2 在抛物线上,∴y1=6x1,y2=6x2.

2.5

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两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). y1-y2 6 ∵y1+y2=2,∴k= = =3, x1-x2 y1+y2 ∴直线的方程为 y-1=3(x-4), 即 3x-y-11=0.经验证适合题意.
?y2=6x ? 由? ?y=3x-11 ?

,得 y2-2y-22=0,

∴y1+y2=2,y1y2=-22, 1 2 230 ∴|P1P2|= 1+ 22-4×?-22?= . 9 3

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2.5

方法二

由题意易知直线方程的斜率存在,

设所求方程为 y-1=k(x-4).
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?y2=6x ? 由? ?y=kx-4k+1 ?

,得 ky2-6y-24k+6=0.

设弦的两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 6-24k 6 ∴y1+y2= ,y1y2= . k k 6 ∵P1P2 的中点为(4,1),∴ =2,∴k=3, k ∴所求直线方程为 y-1=3(x-4),

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即 3x-y-11=0, ∴y1+y2=2,y1y2=-22, 1 ∴|P1P2|= 1+ 2 ?y1+y2?2-4y1y2 k 1 2 2 230 = 1+ 2 -4×?-22?= . 9 3

2.5

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小结 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程 联立得到的一元二次方程,利用弦长公式和根与系数的关 系解决(要考虑特殊情形);对于中点弦问题可采用点差法, 但要验证得到的直线适合题意.

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2.5

跟踪训练 2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线 x+y -1=0 相交于 A、B,C 是 AB 中点,若|AB|=2 2,OC 的斜 2 率为 ,求椭圆的方程. 2
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设椭圆方程为 ax2+by2=1 (a>0,b>0).

设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得: a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0, y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =k = , x1-x2 x1+x2 OC 2 代入上式可得 b= 2a,

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2.5

再由|AB|= 2|x2-x1|=2 2, 其中 x1,x2 是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根, ? 2b ? b-1 ? ?2 故? -4· =4, a+b? a+b ? ? 1 2 将 b= 2a,代入得 a= ,∴b= . 3 3 ∴所求椭圆的方程是 x2+ 2y2=3.

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探究点三 圆锥曲线中的最值及范围问题 例 3 已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程;
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2.5

(3)设直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.

?4x2+y2=1, ? (1)由? ?y=x+m ?

得 5x2+2mx+m2-1=0,

因为直线与椭圆有公共点, 5 5 所以 Δ=4m -20(m -1)≥0,解得- ≤m≤ . 2 2
2 2

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(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知:5x2+2mx+m2-1=0, 2m 1 2 ∴x1+x2=- ,x1x2= (m -1), 5 5
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2.5

所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 2?x1-x2?2= 2[?x1+x2?2-4x1x2] ?4m2 4 ? 2 = 2? - ?m -1? ? 25 5 ? ? 2 = 10-8m2. 5 ∴当 m=0 时,|AB|最大,此时直线方程为 y=x.

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|m| (3)可求得 O 到 AB 的距离 d= , 2 2 又|AB|= 10-8m2, 5 1 ∴S△ AOB= |AB|· d 2 12 2 |m| = · 10-8m · 25 2 ? 2 ?5 2 ? -m ? m2 = 5 ?4 ? ?5 ? 2 ? -m ? +m2 2 ?4 1 ? ≤ · = . 5 2 4

2.5

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2.5

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5 当且仅当“ -m2=m2”时,上式取“=”. 4 10 ? 5 5? ? 此时 m=± ∈?- , ?. 4 2 2 ? ? ?
10 ∴所求直线方程为 x-y± =0. 4

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2.5

小结

(1)求参数范围的方法

据已知条件建立等式或不等式的函数关系,再求参数范围.
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(2)求最值问题的方法 ①几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象来解决. ②代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函 数,再求这个函数的最值,求最值的常见方法是基本不等式法, 单调性法等.

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x2 y2 跟踪训练 3 如图,椭圆 C: 2+ =1 (a>2)的 a 2 焦点在 x 轴上,左、右顶点分别为 A1、A,
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2.5

上顶点为 B.抛物线 C1、C2 分别以 A、B 为焦 点,其顶点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于 直线 y= 2x 上一点 P. (1)求椭圆 C 及抛物线 C1、C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同两点 M、 → → N,已知点 Q(- 2,0),求QM· 的最小值. QN

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2.5



(1)由题意,得 A(a,0),B(0, 2),

∴抛物线 C1 的方程可设为 y2=4ax, 抛物线 C2 的方程为 x2=4 2y.
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?y2=4ax, ? 2 由?x =4 2y, 得 a=4,P(8,8 2). ?y= 2x, ? x2 y2 ∴椭圆 C: + =1,抛物线 C1:y2=16x, 16 2 抛物线 C2:x2=4 2y.

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2.5

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2 (2)由(1)知,直线 OP 的斜率为 2,故直线 l 的斜率为- ,可 2 2 设直线 l 的方程为 y=- x+b, 2 2 2 ?x y ?16+ 2 =1, 由? 消去 y,整理得 ?y=- 2x+b 2 ? 5x2-8 2bx+(8b2-16)=0.

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2.5

∵动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点, ∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0, 解得- 10<b< 10.
8b2-16 8 2b 本 专 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= 5 ,x1x2= 5 , 题 ? ?? ? 2 2 栏 ? ?? y1y2=?- x1+b??- x2+b? ? 目 2 2 ? ?? ? 开 2 关 =1x x - 2b(x +x )+b2=b -8. 2 1 2 2 1 2 5

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2.5

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→ → ∵QM=(x1+ 2,y1),QN=(x2+ 2,y2), → → ∴QM· =(x1+ 2,y1)· 2+ 2,y2) QN (x 9b2+16b-14 =x1x2+ 2(x1+x2)+y1y2+2= . 5 8 → → ∵- 10<b< 10,∴当 b=- 时,QM· 取得最小值,其最小 QN 9 9 ? 8?2 16 ? 8? 14 38 ?- ? + ×?- ? - =- 值等于 × 5 ? 9? 5 ? 9? 5 9

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2.5

x2 y2 1.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 总有公共点,则 m 的取 5 m
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值范围是 A.m>1 C.0<m<5 且 m≠1 B.m≥1 或 0<m<1 D.m≥1 且 m≠5

( D )

解析 ∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点,若 5>m,则 m≥1, 若 5<m,则必有公共点,∴m≥1 且 m≠5.

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2.5

2.抛物线 y=4x2 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点 坐标为 A.(1,2) ?1 ? C.? ,1 ? ?2 ? B.(0,0) D.(1,4) ( )

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解析 因为 y=4x2 与 y=4x-5 不相交,设与 y=4x-5 平行 的直线方程为 y=4x+m.
?y=4x2 ? 则? ?y=4x+m ?

?4x2-4x-m=0.



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2.5

设此直线与抛物线相切有 Δ=0, 即 Δ=16+16m=0,∴m=-1. 1 将 m=-1 代入①式,x= ,y=1, 2 ?1 ? 所求点的坐标为? ,1?. ?2 ?
答案 C

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2.5

x2 y2 3. 过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交 5 4 于 A, 两点, 为坐标原点, B O 则△OAB 的面积为_________.
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解析 由已知可得直线方程为 y=2x-2,联立方程得方程 2 2 ?x y ? + =1, ?5 4? 5 4 组? 解得 A(0,-2),B?3,3?. ? ? ?y=2x-2, ? 1 5 ∴S△AOB=2|OF||yA-yB |= 3. 答案 5 3

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2.5

x2 y2 4.过点 A(6,1)作直线 l 与双曲线 - =1 相交于两点 B、C, 16 4 且 A 为线段 BC 的中点,则直线 l 的方程为__________. 解析 设 B(x1,y1),C(x2,y2),
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2 2 ? x1 y1 ?16- 4 =1 x2-x2 y2-y2 1 2 1 2 则? 2 ,∴ - =0. 2 16 4 x2 y2 ? - =1 ?16 4 y1-y2 x1+x2 12 3 ∴ = = = . x1-x2 4?y1+y2? 4×2 2 3 3 即 kBC=2,∴直线 l 的方程是 y-1=2(x-6).

即 3x-2y-16=0,经验证符合题意. 答案 3x-2y-16=0

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x2 y2 5.已知椭圆 + =1,求其内接矩形的最大面积. 9 4
解 如图所示. 设第一象限内矩形的顶点为
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2.5

P(x0,y0),则 S 矩形=4x0y0. 2 x2 y2 x0 y2 x0y0 0 0 0 ∵1= + ≥2 ·= , 9 4 9 4 3 x0 y0 2 3 2 ∴当 3 = 2 = 2 ,即 x0= 2 ,y0= 2时,等号成立,此时 S 矩形≤12. 故所求内接矩形的最大面积为 12.

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2.5

1.解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二 次方程,判断其解的个数.确定斜率与直线的倾斜角时,应
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特别注意斜率为 0 和斜率不存在的两种情形,以及在双曲线 和抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切. 2.与弦中点有关的问题,求解的方法有两种: (1)一般方法:利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解; (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标 分别代入曲线方程,然后作差构造出中点坐标和斜率的关系.

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2.5

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3.在探求最值时,常结合几何图形的直观性,充分利用平面 几何结论,借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获 解.同时,要注意未知数的取值范围、最值存在的条件.


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