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三角函数的值在各象限的符号教案2


教学内容与教学目标
本节课的教学目标是使学生掌握三种常见三角函数的符号,并能处理相关的简单问 题.重点是各函数的符号及与终边位置的关系及特殊角三角函数值,难点是轴线角 的三角 函数是否存在及符号问题.建议由学生根据三角函数定义实行讨论得出符号法则.

课题引入
锐角三角函数定义是由直角三角形的两直角边与斜边之间的比给出的,它们总是正的, 而

任意角的三角函数的定义是由角 ? 终边上一点 P(x, y ) 的坐标 x、 y 与 OP ? r 之间的比给 出的,而坐标 x、y 在各象限内有正负之分,所以三角函数在各象限内也有正负之分,为了 进一步学习的需要,我们有必要研究各象限内三角函数的符号规律,本节课将要研究正弦、 余弦、正切函数在各象限内的符号规律.

知识讲解
正弦、余弦、正切函数值的符号规律是本章教材的重点内容,要求学生在理解的基础上 牢记,因为后面的内容经常用到它,讲解时注意以下几点: 1.正弦、余弦、正切函数的符号规律是由它们的定义导出的,因为从原点到角的终边 上注意一点的距离 r 总是正的,由 sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? 可知,角 ? 的正弦 r r x

的符号取决于 y 的符号,角 ? 的余弦的符号取决于 x 的符号,角 ? 的正切的符号取决于 x、 y 两者的符号,同号为正,异号为负.由此,总结出正弦、余弦、正切函数值在各象限内的
y y y

O

x

O

x

O

x

sin ?

cos?
(4-19)

tan ?

y 正弦 为正 O 余弦 为正 全正 x

符号规律还可以结合正弦线、余弦线、正切线进行印证. 为了便以记忆,我们也可以把上面的图归纳为一个图,如图 4-20, 其中各象限内所注明函数的函数值为正,未注明的为负(仅指正弦、余 弦、正切) .

正切 为正

(4-20)

2.如果 ? 不是象限角,而是轴线角,可以再复习一下 0?、90?、180?、270?的正弦、 余弦、正切值,与它们在各象限的符号联系起来,如 sin ? 在 90?< ? <180?时为正,在 180 ?< ? <270?时为负,中间 ? ? 180 ? 时, sin 180 ? ? 0 ,这样的联系不但便于记忆,还为后面 讲三角函数的图像作了准备. 3.加强练习,强化记忆,在安排例题与练习时,不但要配备正用符号规律的题目(如 确 定 cos 216? 的 符号 ) ,还 要配 备逆 用符 号规 律的 题目 . (如 根据 条件 : sin ? ? 0 且

tan ? ? 0 ,确定 ? 是第几象限角)

例题分析
例 1.确定下列各三角函数数值的符号 (1) cos 265 ? (2) sin

5? (3) tan 130 ? 3

(4) cos( ?

?
6

)

分析:先确定是第几象限角,后确定三角函数值的符号,即“符号看象限” ,这是基础 题. 解: (1)因为 265 ? 是第三象限角,所以 cos 265 ? ? 0 , (2)因为

5? 5? ? 0, 是第四象限角,所以 sin 3 3

(3)因为 130?是第二象限角,所以 tan 130 ? ? 0 , (4)因为 ?

?
6

是第四象限角,所以 cos( ?

?
6

) ? 0.

例 2 . 根 据 条 件 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 , 确 定 ? 是 第 几 象 限 角 ? 若 条 件 改 为

cos ? ? tan ? ? 0 呢?
分析: 逆用三角函数的符号规律, 注意 “且” 的含义, 而 cos ? ? tan ? ? 0 包含 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 和 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 两种情况,这是活用符号 规律的题. 解:对于 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,

cos ? ?0


? 在二、三象限或 ? 终边在 x 轴非正半轴上

t an ? ?0
∴ ? 在第在第三象限 对于 cos ? ? tan ? ? 0 ,化为

? 在一、三象限

cos ? ? 0
(1) 或(2)

cos ? ? 0

tan ? ? 0

tan ? ? 0

∴ ? 在第在第三象限或第四象限.

例 3.求证:角 ? 为第三象限角的充分必要条件是

sin ? ? 0 tan ? ? 0

① ②

分析:证明充分必要条件的题目, 必须从充分性和必要性两个方面进行证明,培养学 生分析问题更加严密的习惯. 解:先证充分性: 因为①式 sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于 y 轴 的非正半轴上. 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以 ? 角的终边只能位于第三象限 再证必要性: 由于 ? 是第三象限角,必有 sin ? ? 0 和 tan ? ? 0 同时成立. 例 4.当 ? 是第二象限角时, (A)3 (B)1

sin ? sin ?

?

cos ? cos ?

?

tan ? tan ?

的值是

( )

(C)-3

(D)-1

分析:可以由 sin ? 、 cos? 、 tan ? 在第二象限的符号规律求值 解:因 ? 为第二象限角,故 sin ? ? 0 、 cos ? ? 0 、 tan ? ? 0 .

?

sin ? sin ?

?

cos ? cos ?

?

tan ? tan ?

? 1 ? 1 ? (?1) ? 1

从而选(B)

例 5.求 y ? sin x ? ? cos x 的定义域. 分析:化为 sin x ? 0 且 ? cos x ? 0 ,再根据正弦、余弦的符号规律求出角 x 所在象限 与轴线角,从而写出 x 的范围. 解:化为:

sin x ? 0 cos x ? 0

x 在第一、二象限或 x 终边在 x 轴和 y 轴非负半轴上 x 在第二、三象限或 x 终边在 x 轴和 y 轴非正半轴上

∴x 在第二象限或 x 终边在 y 轴的非负半轴和 x 轴的非正半轴上 所以函数定义域是 {x

?
2

? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z} .

练习与讲评

1. 设 ? 是三角形的一个内角, 在 sin ? 、cos? 、tan ? 、tan 2.确定下列三角函数值的符号: (1) sin 156 ? (3) tan (2) cos

?
2

中哪些有可能取负值?

9? 8

6? 5

(4) sin( ?

?
7

)

3.根据下列条件,确定 ? 是第几象限角 (1) sin ? ? 0 且 cos ? ? 0 (2) sin ? 与 tan ? 同号 4.求证:角 ? 为第四象限角的充分必要条件是 sin ? ? 0 且 cos ? ? 0


1. cos? 、 tan ? 2. (1)>0 3. (1)第四象限 4. (略) (2)<0 (3)>0



(4)<0

(2)第一或第四象限

通过练习,检查学生对正弦、余弦、正切的符号规律是否掌握.

小结与总结
根据定义我们总结了各象限的正弦、余弦、正切的符号规律:第一象限全为正;第二 象限正弦为正,余弦、正切为负;第三象限正切为正,正弦、余弦为负;第四象限余弦为正, 正弦、正切为负,即“符号看象限” .掌握了符号规律,为后面学习诱导公式,三角函数的 图象与性质作好了准备.

习 题
A
1.确定下列各三角函数值的符号 (1) sin 186 ? (2) tan 105 ? (3) cos


9? 5

(? (4) sin

?
4



2.确定下列各值的符号 (1) sin 273 ? ? tan 125 ? (3) sin (2)

5? 4? 11? cos tan 4 5 6

tan 108 ? cos 305 ?

(4) sin( ?

?

8

) cos

23? 12

3.根据下列各条件确定 ? 是第几象限角 (1) sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 (2) sin ? ? 0 且 cos ? ? 0 (3) sin ? ? cos ? ? 0 (4)

cos ? ?0 tan ?

B组
1.在 ?ABC 中,根据下列条件确定此三角形是什么样的三角形: (1) cos A ? tan B ? 0 2.求函数 y ? 3.求证: (1)角 ? 为第三象限角的充分必要条件是 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 . (2)角 ? 为第一或第三象限角的充分必要条件是 sin ? cos ? ? 0 . 4.求下列函数的定义域: (1) y ? sin x ? cos x (2) y ? (2) cos A ? tan B ? 0

sin x sin x

?

cos x cos x

?

tan x tan x

的值域.

tan x ? lg(? cos x)





A组 1. (1)<0 2. (1)>0 3. (1)三 (2)<0 (2)<0 (2)三 B组 1. (1)钝角三角形 2. {-1,3 } 3. (提示:按充分性、必要性分别证明) 4. (1){ x 2k? ? x ? (提示 ? (2)直角三角形 (3)>0 (3)<0 (4)一、三 (4)<0 (4)<0 (4)三、四

?
2

? 2 k ? 或 ? ? 2 k? ? x ?


3? ? 2 k? , k ? Z } 2

?sin x ? 0 ?cos x ? 0

?sin x ? 0 ) ? ?cos x ? 0

(2) {x ? ? 2k? ? x ? (提示: ?

3? ? 2k? , k ? Z} 2

?tan x ? 0 ) ?cos x ? 0



考 题

根据正弦函数的符号规律及单位圆中正弦线的变化规律你能确定正弦函数的增减区间 吗?


(时间 10 分钟,满分 10 分) 一、选择题(每小题 1 分) 1.下列关系式中,不正确的是( (A) sin 215 ? ? 0 (C) cos(?84?) ? 0 2.若 sin x tan x ? 0 ,则角 x 是( (A)第二象限角 (C)第二或第三象限角 二、填空题(每小题 2 分)

试 题

) (B) tan 155 ? ? 0 (D) sin(?5?) ? 0 ) (B)第三象限角 (D)第二或第四象限角

1 . 判 断 下 列 三 角 函 数 值 的 符 号 : sin 195 ? _________ 、 cos( ?

?
8

) ________ 、

tan

6? __________. 5
2.函数 y ? lg(cosx) 的定义域是___________ 三、解答题(每小题 2 分) 1.若 sin ? ? sin 35? ,且 0 ? ? ? 360 ? ,求角 ?

2.求证 角 ? 为第三象限角的充分必要条件是 cos ? ? 0 且 tan ? ? 0 .


一、1.D 2.C



二、1.<0, >0, >0

2. {x ?

?
2

? 2k? ? x ?

?
2

? 2k? , k ? Z}

三、1.35?,145?(提示:结合单位圆中正弦线的长度相等,符号相同的角的关系考 虑) 2. (提示:分充分性、必要性来证)


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