nbhkdz.com冰点文库

高一不等式知识点详解


不等式知识要点
1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ?

a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性)

(3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性)

(8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b (异向不等式相除) ? c d

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b2 ? 2ab(或a 2 ? b2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时取等号) (3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 . 2

a=b 时取等号)

极值定理:若 x, y ? R? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 那么当 x=y 时,P 的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 3

a=b=c 时取等号)

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a b

a=b 时取等号)
| x |? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a

(6)a ? 0时,x |? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a 或 x ? a; |

(7) 若a、b ? R, 则 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b a 2 ? b 2 (当仅 ? . 2 2

当 a=b 时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正 数) :
2 2 2 2 特别地, ab ? ( a ? b ) 2 ? a ?b (当 a = b 时, ( a ? b ) 2 ? a ?b ? ab )

2

2

2

2

a ?b ?c ? a ? ?b ? c ? ?? ? (a, b, c ? R, a ? b ? c时取等) 3 3 ? ?
2 2 2 2

2 2 ?幂平均不等式: a12 ? a 2 ? ... ? a n ?

1 (a1 ? a 2 ? ... ? a n ) 2 n

注:例如: (ac ? bd ) 2 ? (a 2 ?b 2 )(c 2 ?d 2 ) . 常用不等式的放缩法:① 1 ? 1 ?
n n ?1 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? (n ? 2) n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

(2)柯西不等式:

若a1 , a2 , a3 ,?, an ? R, b1 , b2 , b3 ?, bn ? R; 则 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? ? ? an bn ) 2 ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? b3 ? ?bn ) a a a a 当且仅当 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 时取等号 b1 b2 b3 bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x) ? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 1 ○
? f ( x) ? 0 ? ? ? ? 定义域 f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? ?

2 ○

3 ○

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化
| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为0)或? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

2 ○应用数形思想;

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) : ① x(1 ? x) 2 ? ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? ② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?
1 2 1 2 2 3 4 27

2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9

类似于 y ? sin x cos 2 x ? sin x(1 ? sin 2 x) ,③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2
x x x

不等式解法举例: 一、含有绝对值的不等式的解法 方法 1:利用绝对值性质:
| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c
| ax ? b |? c ? ax ? b ? c或ax ? b ? ?c











| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)



| f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x)

特别地:① | f ( x) |? f ( x) ? x ? ?

| f ( x) |? f ( x) ? f ( x) ? 0

② a ?| f ( x) |? b(b ? a ? 0) ? a ? f ( x) ? b或 ? b ? f ( x) ? a 练习 1:不等式 | x 2 ? x |? 2 的解集为___________________ 2、解不等式 | x 2 ? 3 |? 2 x

3、不等式 1 ?| x ? 2 |? 5 的解集是 4、不等式 x 2 ? | x | ?2 ? 0( x ? R) 的解集是_____________________ 方法 2:利用绝对值定义: ? x, ( x ? 0) 将不等式同解变形为不等式组(即分类讨论思想) | x |? ?
?? x, ( x ? 0)

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 上面 5 题都可用此法 | ax ? b |? c ? ? a或? ?ax ? b ? c ?? (ax ? b) ? c

方法 3:零点分区间法, (含有多个绝对值的不等式时可用此法) 练习 1、解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3
2x ? 1 ? x ? 2 ? 0

.

方法 4:平方法: 若不等式两边均为非负数,对其两边同时平方,再解不等式。 (切记:若用平方法,则不等式两边必须都是非负数,只有这样,才能运用平方 法。 ) ①
| ax ? b |? c(c ? 0) ? (ax ? b) 2 ? c 2



| f ( x) |?| g ( x) |? [ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 ? [ f ( x) ? g ( x)][ f ( x) ? g ( x)] ? 0

练习 1、不等式 | x ? 1 |? 1 的解集为__________________________
x ?1

2、不等式 | x ? 2 |?| x | 的解集是 一、绝对值不等式性质定理的运用: | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别是用此定 理求函数的最值。 练习 1、不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1 |? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 为_______________________ 2、若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a ,对于 x ? R 均成立,那么实数 a 的取值范围是___ 二、一元二次不等式的解法 步骤①将二次项系数化为正数; ②△联系图象 (或因式分解) 口诀 , “>取两边,< 夹中间 练习 1、x 2 ? x ? 2 ? 0 2、 x 2 ? x ? 2 ? 0 3、x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ?

一元高次不等式的解法(数轴标根法,注意跨过偶次方项) 1、 2 x 3 ? x 2 ? 15x ? 0 2、 ( x ? 4)(x ? 5) 2 (2 ? x) 3 ? 0

四、分式不等式的解法(移项化一边 0,通分,因式分解+数轴标根,也可用等 号运算法则解分式不等式)
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x)
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x)

f ( x) f ( x) ? ag( x) ?a? ? 0 ? g ( x)[ f ( x) ? ag( x)] ? 0 g ( x) g ( x)

练习 1、不等式 x ? 1 ? 2 的解集是
x



2、不等式 x ? 5 ? 2 的的解集是 2
( x ? 1)

3、已知关于 x 的不等式 ax ? 1 <0 的解集是 (??, ?1) ? (? 1 , ??) .则 a ?
x ?1

.

2

五、对数不等式、指数不等式的解法(同底法,即化为同底后利用对数\指数函 数的单调性)
?a ? 1时, f ( x) ? g ( x) a f ( x ) ? a g ( x ) (a ? 0且a ? 1) ? ? ?0 ? a ? 1时, f ( x) ? g ( x)



?a ? 1时, f ( x) ? g ( x) ? 0 log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? ?0 ? a ? 1时,0 ? f ( x) ? g ( x)

练习:
1、已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3x ? y 的取值范围。 2、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求 c / a 的取值范围。 3、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 / x ? 1 / y 的最小值。

4、设实数 x, y 满足 x 2 ? ( y ?1)2 ? 1,当 x ? y ? c ? 0 时,求 c 的取值范围。

5、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足 1 ? f (?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 5 ,求 f (?3) 取 值范围。

6、已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ? 1 ,? ? a ? 值

1 1 , ? ? b ? ,求 ? ? ? 的最小 a b

7、已知集合 A ? x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0 与 B ? x | x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 , 若 B ? A ,求 a 的取值范围。

?

?

?

?

8、若关于 x 的方程 4 x ? a ? 2 x ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。


高一不等式知识点详解

高一不等式知识点详解_政史地_高中教育_教育专区。不等式知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0...

高中数学不等式知识点总结

高中数学不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? ...

高一数学不等式知识点

高一数学不等式知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。不等式知识点,自己整理不等式 1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 不等式的基本性质有: ...

高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

高中数学基本不等式知识点归纳及练习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学基本不...2 2 。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式...

高一数列和不等式知识点

高一数列和不等式知识点_数学_高中教育_教育专区。高一数列和不等式知识点 华卓教育 助你学习进步! 高一数学数列知识总结一、看数列是不是等差数列有以下三种方法:...

高中数学:复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答

高中数学:复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答_数学_高中教育_教育专区。不等式...a a?m 4 不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系 题型一:不等式的性质 1...

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。基本不等式知识点总结向量不等式: ? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||≤| a ? b |≤| a...

不等式知识点及常见题型精讲

不等式知识点及常见题型精讲_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学 ...//www.xjktyg.com/wxc/ 典型题例示范讲解 新疆源头学子 小屋 http://www....

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。第三章:不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ...

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一次方程组与不等式 知识... 10页 1下载券 高中数学典型例题解析不... 24页...不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2)不等式解集的端 点...