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湖南省衡阳县第三中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题

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衡阳县三中 2014-2015 年下学期高二期末考试数学试卷(文)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知 i 是虚数单位,则 2i(1 ? i) ? D. ? 2i 3 4 2.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(- , ),则 cos α 的 5 5 值为 ( ) 4 3 4 3 A. B.- C.- D.

- 5 4 5 5 3 3.曲线 y=2x -3x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 D.y=3x-3 C. 2i 4.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ( ) A. ?2 ? 2i B. 2 ? 2i

B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ) D. 2

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B. 2 C. 3

? x≥1, ? y≥0, ? 6. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则实数 a 的取值范围是 ?2 x ? y ≤ 6, ? ? x ? y≤a
A. a 1 ? a ? 3或a ? 5 C. a 1 ? a ? 5

?

?

B. a 1 ? a ? 3或 a ? 5? D. a 3 ? a ? 5

?

?

?

?

?
x

7. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2 ? 3 .若函数

f ( x) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为
A. 1 或 ? 8 B. 2 或 ? 8 C. 1 或 ? 7 D. 2 或 ?7 )

8.设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于( A. ?

?

?

?

?

?

?

?

3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2
) 9? B.? ?-6,-8? D.[-4,-3]

9.当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.[-5,-3] C.[-6,-2]

1 x ? ?2 ? ( 3 ) , x ? 0 10.已知直线 y=mx 与函数 ? 的图象恰好有 3 个不同的公共点,则实数 m 的取 1 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2
值范围是( ) A.( ,4) B.( ,+∞) C.( ,5) D.( , )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,4,5?,则集合 A ? B 中元素的个数为_______. 12.在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 13.在 ???C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?

2? ,则 ?? ? 3



14.不等式 | x ? 1| ? | x ? 5 |? 2 的解集是___________

15.已知 M (x0, y0) 是双曲线 C:

????? ????? x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1、 F2 是 C 上的两个焦点, 若 MF 1 ? MF2 2

<0,则 y0 的取值范围是_______ 三、解答题 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2x
2

(1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

17.(本题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 .

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

18.(本题满分 12 分) 如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等 边三角形, ?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? (Ⅰ)求证: V? // 平面 ??C ; (Ⅱ)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.

19.(本题满分 13 分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职 工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分 组区间为 [40,50],[50,60],? ? ? ,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

20.(本题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

21. (13 分)如图,点 F1(﹣c,0) 、F2(c,0)分别是椭圆 C: 的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线,交椭圆 C 的上半部分于

点 P,过点 F2 作 PF2 的垂线交直线

于点 Q.

(1)如果点 Q 的坐标为(4,4) ,求椭圆 C 的方程; (2)试判断直线 PQ 与椭圆 C 的公共点个数,并证明你的结论.

参考答案 一、选择题 1 题号 答案 A 二、填空题、

2 D

3 D

4 C

5 C

6 B

7 D

8 A

9 C

10 B

11. 【答案】5 12.【答案】 10 . 13. 【答案】

?
4

14. ( ??, 4)

15. (-

3 3 , ) 3 3

16.【答案】 (1) ? ; (2)最大值为 1 ? 2 ,最小值为 0

17.【答案】 (1) an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ; (2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转 化成 a1 和 d,解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利用 第一问的结论得到 b2 和 b3 的值, 再利用等比数列的通项公式, 将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q, 解出 b1

和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出 n 的值,即项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2,?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等.

18.【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、 三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑 推理能力、转化能力、计算能力.第一问,在三角形 ABV 中,利用中位线的性质得 OM / /VB , 最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问,先在三角形 ABC 中得到 OC ? AB ,再利用 面面垂直的性质得 OC ? 平面 VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱锥进 行等体积转化,利用 VC ?VAB ? VV ? ABC ,先求出三角形 VAB 的面积,由于 OC ? 平面 VAB,所 以 OC 为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 MOC, 所以 VB / / 平面 MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点,

所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以 OC ? 平面 VAB. 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 VAB 的面积 S ?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S ?VAB ?

2,

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为 19.【答案】 (1)0.006(2)

3 . 3
2 1 (3) 5 10

(Ⅲ)由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为 0.004×40×50=2(人) 在[50,60)内的人数为 0.006×10×50=3(人)

设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A1, A2 , A3 ,则从[40,60)的受伤职工中随 机抽取 2 人, 基本事件有 ( a1 , a2 ) , ( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , A3 ) , ( a2 , A1 ) , ( a2 , A2 ) , ( a2 , A3 ) , (A 1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) ,

( A2 , A3 )共 10 种;其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为

1 . 10

20.【答案】 (1)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值

f ( k) ?

k (1 ? ln k ) ; (2)证明 2

详见解析.

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.
1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 21.分析: (1)先求得 P 点的坐标,根据 PF2⊥QF2,可得 QF2 的方程,将 代入,结

合点 Q 的坐标为(4,4) ,即可求椭圆 C 的方程; (2)求出直线 PQ 的方程,代入椭圆 C 的方程,求出方程的解,即可得出结论.

解答: 解: (1)解方程组

得 P 点的坐标为



∴ ∵PF2⊥QF2, ∴ ∴ 将 ∴ ,



代入上式解得 y=2a, ; ,

∵Q 点的坐标为(4,4) ,∴ ∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3, ∴ ;

(2)∵

,P 点的坐标为







∴ 即 将 PQ 的方程代入椭圆 C 的方程得 ∴(b2+c2)x2+2a2cx+a4﹣a2b2=0① ∵a2=b2+c2





∴方程①可化为 a2x2+2a2cx+a2c2=0 解得 x=﹣c ∴直线 PQ 与椭圆 C 只有一个公共点.


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