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第五课时 三角函数图像与性质


第五课时

三角函数的图像与性质

1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的 点, 点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状. 2.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 函 y=sinx y=cosx y=tanx 数

图 象<

br />
注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ⑵ 余弦函数的对称中心为 ⑶ 正切函数的对称中心为

,对称轴为 ,对称轴为 .

. .

3.“五点法”作 y=Asin(ω x+ ? )(ω >0)的图象. 令 x'=ω x+ ? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 4.函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐 标都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得 到的. 周期变换:y=sinω x(ω >0,ω ≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横 坐标 (ω >1)或 (0<ω <1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到 的.由于 y=sinx 周期为 2π ,故 y=sinω x(ω >0)的周期为 . 相位变换:y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 ( ? >0)或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的.

由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ω x+ ? )的图象主要有下列两种方法:

y=sinx


相位 变换

周期 变换

振幅 变换

y=sinx

周期 变换

相位 变换

振幅 变换

1

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 方法第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位.

个单位.后一种

例 1. 已知函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)
⑴ 若 A=3,ω = 1 , ? =- ? ,作出函数在一个周期内的简图.
2

3

⑵ 若 y 表示一个振动量,其振动频率是

2 ?

,当 x=

?
24

时,相位是 ? ,求 ω 和 ? .
3

例 2.已知函数 y=3sin ( 1 x ? ? )
2 4

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

例 3.已知函数

f ( x) ? 3 sin ?xcox?x ? cos2 ?x ?
6

3 2

(? ? R , x ? R ) 的最小正周

期为 π 且图象关于 x ? ? 对称; (1) 求 f(x)的解析式; (2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在 [0, ? ] 上中有一个交点,求实数 a 的范围.
2

例4

设关于 x 的方程 cos2x+

3

sin2x=k+1 在[0, ? ]内有两不同根 α ,β ,求 α
2

+β 的值及 k 的取值范围.

2


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