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2015年广州市二模理(文)科数学试题及答案


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试 卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:球的表面积公式 S ? 4?R ,其中 R 是球的半径.
2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.命题“若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是
2 2 A.若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 2 C.若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2

B.若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2
2 2 D.若 x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0

2.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A. sin a ? sin b B. log 2 a ? log 2 b C. a 2 ? b 2
1 1

D. ? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

?? x , x ? 0, ? 4 3.已知函数 f ? x ? ? ?? 则f ? ? f ? 2 ?? ?? 1? x ? , x ? 0, ?? ? x? ?? 1 1 A. B. C. 2 4 2
数学(理科)试题 A 第 1 页 共 30 页

D. 4

4.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图 1 所示, 则此函数的解析式为 A. y ? 3sin ?

y 3 5

?? ?? x? ? ?? ??

B. y ? 3sin ?

?? ? ?? x? ? ? ? ?? ?? ? ?? x? ? ? ? ??

O 1 -3 图1

x

C. y ? 3sin ?

?? ?? x? ? ?? ??

D. y ? 3sin ?

5.已知函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为

1 2 C. D.1 2 3 6.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A.

4 25

B.

V C

A. 13

B. 7

C.

4 3 3

D.

3 3 2

A 图2

B

7.已知两定点 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,若直线 l 上存在点 M ,使得 MA ? MB ? 3 ,则称直线 l 为“ M 型 直线” . 给出下列直线: ①x ? 2; ② y ? x ? 3; ③ y ? ?2 x ? 1 ; ④ y ? 1; ⑤ y ? 2x ? 3 . 其中是 “M 型直线”的条数为 A.1

B.2

8. 设 P ? x, y ? 是函数 y ? f ? x ? 的图象上一点, 向量 a ? 1, ? x ? 2 ?

?

C.3
5

? ,b ? ?1, y ? 2x? ,且 a / / b .数列?a ?
n

D.4

是公差不为 0 的等差数列,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a9 ? A.0 B.9 C.18 D.36

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

1? i ,则 z ? 1? i 10.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是
9.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 开始

. . 是

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否

x=y

y=z

图3 数学(理科)试题 A

输出 z

结束

第 2 页 共 30 页

11.已知 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

3 ?? ? ,若 cos ? ? 5 6?

?? ? ? 0 ? ? ? ? ,则 2? ?

?? ? f ?? ? ? ? 12 ? ?



12.5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,则不同的安排方案共 有_________种(用数字作答) . 13.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , a3 ;以 C 为起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 c1 , c2 , c 3 . 若 m 为 ai ? a j ? ? cs ? ct ? 的 最 小 值 , 其 中

?

?

?i, j? ? ?1, 2,3? , ?s, t? ? ?1, 2,3? ,则 m ?
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)

. F D G 图4 B E

如图 4,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点,

AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE ,
垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为 15. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? 数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个. . A

C

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? ( t 为参 2 y ? 2 t ? y ? 1 ? 2t ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的 年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如 下面的图表所示. 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 的人数 28 27 5 答对全卷的人数 占本组的概率 频率/组距 0.035 c 0.025 0.010 0
20 30 40 50 60

b
0.9 0.5 0.4

a

年龄

(1)分别求出 a , b , c , n 的值;

(2)从第 3,4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人授予 “环保之星” ,记 X 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的分布列与数学期望. 数学(理科)试题 A 第 3 页 共 30 页

18. (本小题满分14分) 如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 的侧棱 F1 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; F (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值. A1

E1

D1 C1 B1

E N

D C

A

M 图5

B

19. (本小题满分14分)

n ? N * 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是公差为1 已知点 P n ? an , bn ?
的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求证:

?

?

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

1 ? . 6

20. (本小题满分14分)
2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;
b ?b (2)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图象 C 的切

?

?

?

?

线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 30 页

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 5 6 B 7 C 8 C

A B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 1 10 32 11 12 30 13 14 15

7 2 10

?5

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,??????????????????????2 分 由余弦定理得,

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? cos A ? ??????????????????????3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? .????????????????????????????????????4 分 2 1 (2)由(1)知, cos A ? ? , 2 A ABC 因为 是△ 的内角,
所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

3 .???????????????????????????6 分 2

由(1)知 b ? 5k , c ? 3k , 数学(理科)试题 A 第 5 页 共 30 页

因为△ ABC 的面积为 45 3 ,所以

1 bc sin A ? 45 3 ,?????????????????8 分 2



1 3 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 , 2 2

解得 k ? 2 3 .??????????????????????????????????10 分 由正弦定理

a 7k 14 3 ? 2 R ,即 2 R ? ,???????????????????11 分 ? sin A sin A 3

2
解得 R ? 14 . 所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 . ?????????????????????????12 分 17. (本小题满分12分) 解: (1)根据频率直方分布图,得 ? 0.010 ? 0.025 ? c ? 0.035? ?10 ? 1 , 解得 c ? 0.03 .???????????????????????????????????1 分 第 3 组人数为 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 .???????????????????2 分 第 1 组人数为 100 ? 0.35 ? 35 ,所以 b ? 28 ? 35 ? 0.8 .?????????????????3 分 第 4 组人数为 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 a ? 25 ? 0.4 ? 10 .?????????????????4 分 (2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 ? 1: 2 , 所以第 3,4 组应依次抽取 2 人,4 人.?????????????????????????5 分 依题意 X 的取值为 0,1,2.?????????????????????????????6 分
2 C0 2 2 C4 ???????????????????????????????7 分 P ? X ? 0? ? 2 ? , C6 5 1 C1 8 2 C4 ? ,??????????????????????????????8 分 2 C6 15 0 C2 1 2 C4 ? ,??????????????????????????????9 分 2 C6 15

P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

所以 X 的分布列为:

X
P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

2 5

8 15

1 ???????????????10 分 15

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ????????????????????????12 分 5 15 15 3
数学(理科)试题 A 第 6 页 共 30 页

18. (本小题满分14分) 第(1)问用几何法,第(2)问用向量法:

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B1 D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A1E1

E1 F1 A1 E F N

D1 C1 B1 D C

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A1B

A

M

B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3, 所以

AM AN , ? AB AA1

所以 MN 所以 MN

BA1 .??????????????????????????????????4分 DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 B 3 3,3, 0 , C ? F1 A1 E F N

z
E1 D1 C1 B1 D C

?

?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,??????????8分
则 BC ? ? ?

?

?

y

? 3 3 3 ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ?

x

A

M

B

DM ? 3 3, ?2, 0 .????????????????????????????????10分
设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量, 则?

?

?

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.
数学(理科)试题 A 第 7 页 共 30 页

即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12分 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

?

? ? ? ?
2

? 3 3

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用向量法:

174 .??????????????????14分 116

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

?

?

z
E1 F1 A1 E F N D1 C1 B1 D C

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,?????2分
所以 DE1 ? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? . ??????3分 因为 DE1 ? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1

?

?

?

?

y

MN .????????????????5分

x

A

M

B

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解:由(1)知 BC ? ? ? ?

? 3 3 3 ? , ,0? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 .??????10分 2 2 ? ?

?

?

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2分在此加2分) 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量, 数学(理科)试题 A 第 8 页 共 30 页

则?

? ?n DE1 ? 0, ? ?n DM ? 0.

即?

? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? ?3 3 x ? 2 y ? 0.

取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量.??????????????????12分 设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

?

?

n BC n BC
? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 2 ? 3 3
2

?

? ? ? ?3 3 ?
2

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 2 2 ? ? ? ?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用几何法:

174 .??????????????????14分 116

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B1 D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1 在四边形 BB1D1D 中, BD 所以 A1E1

B1D1 且 A1E1 =B1D1 , B1D1 且 BD=B1D1 ,

BD 且 A1E1 =BD ,
E1 F1 A1 E D1 C1 B1 D C

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形. 所以 A1B

E1D .????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AB ? AA 1 ? 3,

AM AN ? 所以 , AB AA1
所以 MN

F

N

B M BA1 .??????????????????????????????????4分

A

数学(理科)试题 A

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所以 MN

DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面.???????????????????????????6分 (2)连接 AD ,因为 BC

AD ,

所以直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角.???????7分 连接 DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

h .???????????????????????????????????8分 AD 1 1 因为 VA? DMN ? VD? AMN ,即 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .????????????????9分 3 3
则 sin ? ? 在边长为3的正六边形 ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 , 在△ ADM 中, DA ? 6 , AM ? 1 , ?DAM ? 60 , 由余弦定理可得, DM ? 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , AN ? 1 ,所以 DN ? 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ? 在△ DMN 中, DM ? 31 , DN ? 37 , MN ? 由余弦定理可得, cos ?DMN ? ?

2. 2,

2 29 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

所以 S?DMN ? 又 S ?AMN ? 所以 h ?

1 58 .???????????????????11分 ? MN ? DM ? sin ?DMN ? 2 2

1 ,???????????????????????????????????12分 2

S?AMN ? DB 3 3 .????????????????????????????13分 ? S?DMN 58
h 174 ? . AD 116 174 .??????????????????14分 116
第 10 页 共 30 页

所以 sin ? ?

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为

数学(理科)试题 A

19. (本小题满分14分)

l y 轴的交点 ? 0,1? , (1)解:因为 P 1 ? a1 , b 1 ? 是直线 : y ? 3x ? 1 与
所以 a1 ? 0 , b1 ? 1 .????????????????????????????????2分 因为数列 ?an ? 是公差为1的等差数列, 所以 an ? n ?1 .???????????????????????????????????4分

l 因为点 P n ? an , bn ? 在直线 : y ? 3x ? 1 上,
所以 bn ? 3an ? 1 ? 3n ? 2 .
* 所以数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ?1 , bn ? 3n ? 2 n ? N .?????????6分

?

?

(2)证明:因为 P 1 ? 0,1? , P n ? n ?1,3n ? 2? ,所以 P n?1 ? n,3n ? 1? .

? n 2 ? ? 3n ? ? 10n 2 . 所以 P ???????????????????????????7分 1P n ?1
2 2

所以

1 PP 1 2
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
2

?

1?1 1 ? ? ? 10 ? 12 22

?

1 ? ? .??????????????8分 n2 ?

因为

1 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ,???????????10分 2 1 4n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? n 2 n ? 1 2 n ? 1 2 ? ? n ? 4

所以,当 n ? 2 时,

1 PP 1 2
?
2

?

1 PP 1 3
2

?

?

1 PP 1 n ?1
?
2

1 ? ?1 1 1? 2 ? ? ? ? 10 ? ?3 5

1 1 ?? ? ? ???????????????????????11分 2n ? 1 2n ? 1 ?? ?

?
?

1 ?5 1 ? ? ? ? ?????????????????????????????????12分 10 ? 3 2n ? 1 ?
1 . 6

又当 n ? 1 时,

1 PP 1 2 1
2 2

?

1 1 ? .???????????????????????????13分 10 6 ? 1 PP 1 n +1
2

所以

1 PP 1 2
2

?

PP 1 3

?

1 ? .???????????????????????14分 6
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数学(理科)试题 A

20. (本小题满分14分)
2 2 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ,???????????????1 分 2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,
2 2 ? ?a ? r , 所以 ? ??????????????????????????????3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ? 解得 a ? ?1 , r ? 1 .
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .????????????1 分 因为直线 l 的方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,????????????????????2 分 2 2

所以圆心 C 的坐标为 ? ?1,0? .????????????????????????????3 分
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? , 同理可得点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

2 2 2 即 k1 , k2 是方程 x0 ? 2 x0 k ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,????????????7 分

?

?

数学(理科)试题 A

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? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ?????????????????9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2

.????????????????????????????10 分

设 f ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6



则 f ? ? x0 ? ?

?5x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.??????????????????????????????11 分

由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2,

? 22 ? ? 22 ? ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,????????12 分 ? 5 ? ? 5 ?

所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ?? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 设点 A? 0, a ? , B ? 0, b ? , 则直线 PA : y ? a ?

y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0
数学(理科)试题 A 第 13 页 共 30 页

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

a ? y0 ? ax0

? y0 ? a ?

2

? x0 2

?1,

化简得 ? x0 ? 2? a2 ? 2 y0a ? x0 ? 0 . 同理得 ? x0 ? 2? b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,

① ②

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????????????????7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?
所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0 ? x0 ? 2 ?

? x0 ? 2 ?
2

2

.??????????????????????????9 分

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ,

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

?????????????????????????????10 分

?2 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

?

5 . ????????????????????????11 分 x0 ? 2

令t ?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
2

所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ?

? ?

5 ? 25 ,???????????????12 分 ? ? 32 ? 64

2

当t ? 当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4 1 时, AB min ? 2 . 4

所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?
第 14 页 共 30 页

数学(理科)试题 A

21. (本小题满分 14 分) (1)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .???????????????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即a ?

2x

? x ? 1?

2

???????????????????????????????????2 分

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立, 1 x? ?2 2 x 1 所以 a ? . 2 ?
故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .??????????????????????????4 分 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

?1 ?2

? ?

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .???????????????????????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即 ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? , ?????????????????????????2 分
2

设 g ? x ? ? ax ? 2 ? a ?1? x ? a ,
2

当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意. 当 a ? 0 时,需满足 ?

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 当 a ? 0 时,需满足 ? ? 2 ? a ? 1? ? ? ? 4a ? 0 或 ? g ?1? ? 0, 或 ? g ?1? ? 0, ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
数学(理科)试题 A 第 15 页 共 30 页

1 或 a ? 1, 2 1 所以 a ? . 2
解得 a ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????????????4 分 (2)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g ? ? x ? ? e .
x x
b ?b 过点 P b, e , Q ?b, e 作曲线 C 的切线方程为:

?1 ?2

? ?

?

?

?

?

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb ,

l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ??????????????????????????????6 分 ?b ?b ? ? y ? e ? x ? b? ? e ,

消去 y ,解得 x0 ?

b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①????????????????7 分

下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 e ? t ,?????????????????????????????????8 分
b

因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t . 所以 x0

?t ?
?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

. ????????????????????????????9 分

2 2 设 h ? t ? ? t +1 ln t ? t ? 1

?

?

? ?t ? 1? ,

1 ?t ? 1? .???????????????????????????10 分 t 1 令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? ? t ? 1? , t 1 则 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 . t 1 1 当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ? 2 ? 0 ,所以 u? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,????????????11 分 t t
则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ? 所以函数 u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 数学(理科)试题 A 第 16 页 共 30 页

所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,?????????????????????????12 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数, 所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .???????????????????????????????13 分
2 因为当 t ? 1 时, t ? 1 ? 0 ,

所以 x0

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0 .?????????????????????????14 分

方法二:由①得 x0 ? 设e
?2 b

b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

?1.

? t, ?????????????????????????????????????8 分
2b ,???????????????????????????????????9 分 ln t

因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b . 于是 ?1 ? 所以 x0 ?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .??????????????????????10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

1 x ?1 1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,??????????11 分 2 x ?1 2 ln t t ? 1 ? ? f ?1? ? 0 , 所以 f ? t ? ? 2 t ?1 ln t t ? 1 ? 即 . ??????????????????????????????????12 分 2 t ?1 2 1? t ? ? 0 ,?????????????????????????????????13 分 即 ln t 1 ? t 已知 b ? 0 ,
由(1)知当 a ? 所以 x0 ? b ?

? 2 1? t ? ? ? ? 0 .????????????????????????????14 分 ? ln t 1 ? t ?

试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 数学(理科)试题 A 第 17 页 共 30 页

注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试 卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 h S1 ? S1S2 ? S2 ,其中 S1 , S2 分别是台体的上,下底面积, h 是台体的高. 台体的体积公式 V ? 3
锥体的体积公式 V ?

?

?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. sin 240 的值为

A.

3 2
x

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.已知函数 f ? x ? ? 3 A. ? log3 2

? x ? R? 的反函数为 g ? x ? ,则 g ? ?
B. log3 2

1? ?? ?2?
D. log2 3

C. ? log2 3

x2 y 2 ? ? 1 经过点 ? 4,3? ,则双曲线 C 的离心率为 3.已知双曲线 C : 4 b2
A.

1 2

B.

3 2

C.

7 2

D.

13 2

4.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 z 的值是

开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否 图1 输出 z



x=y

y=z

结束 D. 64

A. 21

B. 32 数学(理科)试题 A

C. 34 第 18 页 共 30 页

5.已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 0 ,命题 q : ?? , ? ? R ,使 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ,则下列命 题为真命题的是 A. p ? q B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? q D. p ? ? ?q ?

2 6.设集合 A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

?

?

?

?

A. ?1,3?

B. ?1,3?

C. ? ?3, ?1?

D. ? ?3, ?1?

* 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 ,且 an?1 ? 4an ? 3 n ? N ,则数列 ?an ? 的通项公式为

?

?

A. 2

2 n ?1

?1

B. 2

2 n ?1

?1

C. 2

2n

?1

D. 2

2n

?1

8.已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为
2

A.

4 25

B.

1 2

C.

2 3

D.1 V C

9.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A. 13 B. 7

C.

4 3 3
3 2

D.

3 3 2

A 图2

B

10.设函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3bx 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?? ?1 ,0 ? , x2 ??1,2? ,则点 ? a, b ? 在 aOb 平面上所构成区域的面积为 A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 i 为虚数单位,复数 z ?

1? i ,则 z ? i

. .
2

12.已知向量 a ? ? x,1? , b ? ? 2, y ? ,若 a + b ? ?1, ?1? ,则 x ? y ?

13. 某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离 y ? km ? 与刹车时的速度 x ? km/ h ? 的关系可以用 y ? ax 来描 数学(理科)试题 A 第 19 页 共 30 页 F D E

C

述,已知这种型号的汽车在速度为 60 km / h 时,紧急刹车后滑行的距离为 b ? km ? .一辆这种型号的 汽车紧急刹车后滑行的距离为 3b ? km ? ,则这辆车的行驶速度为 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点, AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE , 垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题) 在在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? 参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个.

km / h .

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? (t 为 2 ? y ? 2t ? y ? 1 ? 2t

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 外接圆的半径为 14,求△ ABC 的面积. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的 年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 100 份,统计结果如下面的 图表所示. 频率/组距 年龄 抽取 答对全卷 答对全卷的人数 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 份数 40
n

的人数 28 27 4

占本组的概率 0.7 0.9

0.04 0.03 c 0.01 0 30 40 50 60 年龄

10 20

b
0.1

a

(1)分别求出 n , a , b , c 的值;

(2)从年龄在 ? 40,60? 答对全卷的人中随机抽取 2 人授予“环保之星” ,求年龄在 50,60 的人中至少有 1 人被授予“环保之星”的概率. 18. (本小题满分14分)

?

?

M , N 分别是 如图4,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为3,
棱 AA1 , AB 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , C , D1 四点共面; M 数学(理科)试题 A 第 20 页 共 30 页 A1

D1

C1 B1

D

C N B

A

(2)平面 MNCD1 将此正方体分为两部分,求这两部分的体积 之比.

图4 19. (本小题满分14分)
* l 已知点 P 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P 1 是直线 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是公差为1 n ? an , bn ? n ? N

?

?

的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 f ? n ? ? ?

? an , ?bn ,

n为奇数, n为偶数,

是否存在 k ? N ,使 f ? k ? 3? ? 4 f ? k ? 成立?若存在,求出所有
*

符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ? a ? R ? .
2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求实数 a 的值,并求此时函数 f ? x ? 的极值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

21. (本小题满分14分)
2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 数学(理科)试题 A 第 21 页 共 30 页

2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 6 7 D 8 B 9 B 10 D

C A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 11 12 13 14 15

2

?3

60 3

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,??????????????????????2 分 由余弦定理得,

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? ??????????????????????3 分 ? 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

1 ? ? .????????????????????????????????????4 分 2 1 (2)由(1)知, cos A ? ? , 2
因为 A 是△ ABC 的内角,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 由正弦定理

3 .????????????????6 分 2

a ? 2R , ???????????????????????????????7 分 sin A

得 a ? 2 R sin A ? 2 ?14 ?

3 ?????????????????????????8 分 ? 14 3 . 2

由(1)设 a ? 7 k ,即 k ? 2 3 , 所以 b ? 5k ? 10 3 , c ? 3k ? 6 3 .????????????????????????10 分

数学(理科)试题 A

第 22 页 共 30 页

所以 S ?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ?10 3 ? 6 3 ? ????????????????????11 分 2 2 2

? 45 3 .
所以△ ABC 的面积为 45 3 .????????????????????????????12 分 17. (本小题满分12分) 解: (1)因为抽取总问卷为 100 份,所以 n ? 100 ? ? 40 ?10 ? 20 ? ? 30 .????????????1 分 年龄在 ? 40,50? 中,抽取份数为 10 份,答对全卷人数为 4 人,所以 b ? 4 ? 10 ? 0.4 .?????2 分 年龄在 ?50,60? 中,抽取份数为 20 份,答对全卷的人数占本组的概率为 0.1 , 所以 a ? 20 ? 0.1 ,解得 a ? 2 .????????????????????????????3 分 根据频率直方分布图,得 ? 0.04 ? 0.03 ? c ? 0.01? ?10 ? 1, 解得 c ? 0.02 .???????????????????????????????????4 分 (2)因为年龄在 ? 40,50? 与 ?50,60? 中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人. 年龄在 ? 40,50? 中答对全卷的 4 人记为 a1 , a2 , a3 , a4 ,年龄在 ?50,60? 中答对全卷的 2 人记为 b1 ,

b2 ,则从这 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是: ? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? ,? a1 , a4 ? ,

? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? b1 , b2 ? 共 15 种.???????????????????????????????8 分
其中所抽取年龄在 ?50,60? 的人中至少有 1 人被授予 “环保之星” 的情况是: ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? ,

? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? b1 , b2 ? 共 9 种.??????????????11 分
故所求的概率为

9 3 ? . ??????????????????????????????12 分 15 5

18. (本小题满分14分) (1)证明:连接 A 1B , 在四边形 A 1BCD 1 中, A 1D 1

BC 且 A1D1 ? BC ,
A1 第 23 页 共 30 页 M

D1

C1 B1

所以四边形 A 1BCD 1 是平行四边形. 数学(理科)试题 A

D

C N B

A

所以 A 1B

D1C .????????????????2分

在△ ABA1 中, AM ? AN ? 1 , AA 1 ? AB ? 3 , 所以

AM AN , ? AA1 AB

所以 MN 所以 MN

A1B .??????????????????????????????????4分 D1C .

所以 M , N , C , D1 四点共面.???????????????????????????6分 (2)解法一:记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ,上部分体积为 V2 , 连接 D1 A , D1 N , DN , 则几何体 D1 ? AMN , D1 ? ADN , D1 ? CDN 均为三棱锥, 所以 V1 ? VD1 ? AMN ? VD1 ? ADN ? VD1 ?CDN D 1 1 1 M C ? S?A M N D S ? ?S C D N 1D D 9分 ??? 1 A 1? ? ADN D 1 D 3 3 3 A 1 1 1 3 1 9 B ? ? ?3? ? ?3? ? ?3 N 3 2 3 2 3 2 13 ? .???????????????????????????????????11分 2 13 41 ? ,???????????????????13分 从而 V2 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VAMN ? DD1C ? 27 ? 2 2 所以 A1 D1 C1 B1

V1 13 ? . V2 41
13 .?????????????????14分 41

所以平面 MNCD1 分此正方体的两部分体积的比为

解法二:记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ,上部分体积为 V2 , 因为平面 ABB1 A 1 平面 DCC1D1 ,所以平面 AMN 平面 DD1C .

延长 CN 与 DA 相交于点 P , 因为 AN

DC ,
数学(理科)试题 A 第 24 页 共 30 页

AN PA 1 PA 3 ? ,即 ? ,解得 PA ? . DC PD 3 PA ? 3 2 3 延长 D1M 与 DA 相交于点 Q ,同理可得 QA ? . 2
所以 所以点 P 与点 Q 重合. 所以 D1M , DA , CN 三线相交于一点. 所以几何体 AMN ? DD1C 是一个三棱台.???????????????????????9分 所以 V1 ? VAMN ? DD1C ?

1 ?1 1 9 9? 13 ,??????????????????11分 ?? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 2 2 2 2 2 ? ?
13 41 ? ,???????????????????13分 2 2

从而 V2 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VAMN ? DD1C ? 27 ? 所以

V1 13 ? . V2 41
13 .?????????????????14分 41

所以平面 MNCD1 分此正方体的两部分体积的比为 19. (本小题满分14分)

l 解: (1)因为 P 1 ? a1 , b 1 ? 是直线 : y ? 3x ? 1 与 y 轴的交点 ? 0,1? ,
所以 a1 ? 0 , b1 ? 1 .????????????????????????????????2分 因为数列 ?an ? 是公差为1的等差数列, 所以 an ? n ?1 .???????????????????????????????????4分

l 因为点 P n ? an , bn ? 在直线 : y ? 3x ? 1 上,
所以 bn ? 3an ? 1 ? 3n ? 2 .
* 所以数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别为 an ? n ?1 , bn ? 3n ? 2 n ? N .?????????6分

?

?

(2)因为 f ? n ? ? ?

?n ? 1, ?3n ? 2,
*

n为奇数, n为偶数,

假设存在 k ? N ,使 f ? k ? 3? ? 4 f ? k ? 成立.?????????????????????7分 ①当 k 为奇数时, k ? 3 为偶数, 则有 3? k ? 3? ? 2 ? 4 ? k ?1? , 数学(理科)试题 A 第 25 页 共 30 页

解得 k ? 11 ,符合题意.??????????????????????????????10分 ②当 k 为偶数时, k ? 3 为奇数, 则有 ? k ? 3? ?1 ? 4 ?3k ? 2? ,

10 ,不合题意.??????????????????????????????13分 11 综上可知,存在 k ? 11 符合条件.???????????????????????????14分
解得 k ? 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,??????????????????????????1 分 因为 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ,
2

所以 f ? ? x ? ?

1 ? 2ax ? 1 ,??????????????????????????????2 分 x

依题意有 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?1 .??????????????????3 分 此时 f ? ? x ? ?

?2 x 2 ? x ? 1 ? ? x ? 1?? 2 x ? 1? ? , x x

所以当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,在 ?1, ?? ? 上是减函数,???????????????5 分 所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 取得极大值,极大值为 0.??????????????????6 分 (2)因为 f ? ? x ? ?

2ax 2 ? x ? 1 1 ? 2ax ? 1 ? , x x

(ⅰ)当 a ? 0 时,?????????????????????????????????7 分 因为 x ? ? 0, ??? ,所以 f ? ? x ? ?

2ax 2 ? x ? 1 ? 0, x

此时函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 是增函数. ??????????????????????????9 分
2 (ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 2ax ? x ? 1 ? 0 .

因为 ? ? 1 ? 8a ? 0 , 此时 f ? ? x ? ?

2ax 2 ? x ? 1 2a ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? , x x

其中 x1 ? ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? ? . 4a 4a
数学(理科)试题 A 第 26 页 共 30 页

因为 a ? 0 ,所以 x2 ? 0 ,又因为 x1 x2 ?

1 ? 0 ,所以 x1 ? 0 .??????????????11 分 2a

所以当 0 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上是增函数,在 ? x2 , ??? 上是减函数.?????????????13 分 综上可知,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ??? ;当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增 区间是 ? 0, ?

? ? ?

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ? ,单调递减区间是 ? ? , ?? ? ? ? ? ? .??????????????14 分 4a 4 a ? ? ?

21. (本小题满分14分)
2 2 解: (1)方法一:设圆 C 的方程为: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ,???????????????1 分 2

因为圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? , 所以 ?
2 2 ? ?a ? r , ??????????????????????????????3 分 2 2 2 ? 1 ? a ? 1 ? r . ? ? ? ?

解得 a ? ?1 , r ? 1 .
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

方法二:设 O ? 0,0? , A ? ?1,1? , 依题意得,圆 C 的圆心为线段 OA 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C .????????????1 分 因为直线 l 的方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,????????????????????2 分 2 2

所以圆心 C 的坐标为 ? ?1,0? .????????????????????????????3 分
2 所以圆 C 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 .?????????????????????????4 分 2

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 数学(理科)试题 A 第 27 页 共 30 页

设 PA 的方程为: y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , PB 的方程为: y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ? , 则点 A 的坐标为 ? 0, y0 ? k1x0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, y0 ? k2 x0 ? , 所以 AB ? k1 ? k2 x0 , 因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

?k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,

2 2 2 即 k1 , k2 是方程 x0 ? 2 x0 k ? 2 y0 ? x0 ? 1? k ? y0 ? 1 ? 0 的两根,????????????7 分

?

?

? 2 y0 ? x0 ? 1? , ?k1 ? k2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 即? 2 ?k k ? y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 ? 2 x0 ?
所以 AB ? k1 ? k2 x0 ? x0
2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? , 2

2 ? 2 y0 ? x0 ? 1? ? 4 ? y0 ? 1? ?????????????????9 分 ? 2 ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
2

5 x0 ? 6
2

.????????????????????????????10 分

设 f ? x0 ? ?

? x0 ? 2?

5x0 ? 6



则 f ? ? x0 ? ?

?5 x0 ? 22

? x0 ? 2?

3

.??????????????????????????????11 分

由 2 ? x0 ? 6 ,可知 f ? x0 ? 在 ? 2,

? 22 ? ? 22 ? ? 上是增函数,在 ? , 6? 上是减函数,????????12 分 ? 5 ? ? 5 ?

所以 ? ?f

? x0 ?? ? max ?

? 22 ? 25 , f ? ?? ? 5 ? 64

?1 3? 1 ? ? f ? x0 ? ? ? min ? min ? f ? 2 ? , f ? 6 ?? ? min ? 4 , 8 ? ? 4 , ? ?
所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? , 数学(理科)试题 A 第 28 页 共 30 页

2 则 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , 2 2 即 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ? 0 , 2

解得 2 ? x0 ? 6 .??????????????????????????????????5 分 设点 A? 0, a ? , B ? 0, b? , 则直线 PA : y ? a ?

y0 ? a x ,即 ? y0 ? a ? x ? x0 y ? ax0 ? 0 , x0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

a ? y0 ? ax0

? y0 ? a ?

2

? x0

2

?1,

化简得 ? x0 ? 2? a ? 2 y0a ? x0 ? 0 .
2

① ②

同理得 ? x0 ? 2? b ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
2 2

由①②知 a , b 为方程 ? x0 ? 2? x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,????????????????7 分

2 y0 ? ?a ? b ? x ? 2 , ? 0 即? ?ab ? ? x0 . ? x0 ? 2 ?
所以 AB ? a ? b ?

?a ? b?
2

2

? 4ab

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2
? 4 y0 2 ? 4 x0 ? x0 ? 2 ?

? x0 ? 2 ?
2

2

.??????????????????????????9 分

2 因为 y0 ? 4 ? ? x0 ? 4 ? ,

所以 AB ? 2 2

? x0 ? 2 ?
16

5 x0 ? 6
2

?????????????????????????????10 分

?2 2 ?

? x0 ? 2 ?

2

?

5 . ????????????????????????11 分 x0 ? 2

令t ?

1 1 1 ,因为 2 ? x0 ? 6 ,所以 ? t ? . 8 4 x0 ? 2
数学(理科)试题 A 第 29 页 共 30 页

5 ? 25 ? 所以 AB ? 2 2 ?16t ? 5t ? 2 2 ?16 ? t ? ,???????????????12 分 ? ? ? 32 ? 64
2

2

当t ? 当t ?

5 5 2 时, AB max ? , 32 4
1 时, AB min ? 2 . 4

所以 AB 的取值范围为 ? 2,

? ?

5 2? ? .?????????????????????????14 分 4 ?

数学(理科)试题 A

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